LA SURFACE ADJOINTE D 0. BONNET

Si l'on joint la dernière des équations précédentes à la seconde des formules (8), on pourra déterminer les rapports mutuels de dx0, dy0, dz-0 ; ce qui donnera

dx0 dy0 dz0

Z dy — X dz X dz — Z dx Y dx — X dy

La somme des carrés des numérateurs est égale, en vertu des formules (8) et (10), à la somme des carrés des dénominateurs. La valeur commune des rapports précédents est donc égale à ±i. Mais, si l'on remplace dans l'un quelconque d'entre eux X, Y, Z, dx, ..., dx0j ... par leurs valeurs déduites des formules (5), (6) et (9), on obtient — 1 pour Ja valeur commune des trois rapports. On a donc

!dx0 = Ydz — Z dy, dy0 = Z dx — X dz, dz0 = X dy — Y dx ;

el x0, j'o, ^0 seront déterminés par l'intégration de ces trois différentielles à deux variables indépendantes, que l'on peut toujours former quand on connaît l'équation de la surface.

Lagrange, nous l'avons vu (n° 17o), avait déjà remarqué que l'expression

XJy-Y**=Pdr-*dx

doit être une différentielle exacte.

213. jNous avons reconnu que deux surfaces associées sont applicables l'une sur l'autre, et que les plans tangents aux points correspondants sont parallèles. Réciproquement, sideux surfaces sont applicables l'une sur Vautre et si les plans tangents aux points correspondants sont parallèles, elles sont nécessairement deux surfaces minima associées. Pour établir cette proposition, nous emploierons Je système de coordonnées tangentielles (a, (3, £) du n° 165, dans lequel l'expression de l'élément linéaire est

dsï = {z d\i -+- dp ) ( z du -+- dq ) .

Pour deux plans tangents parallèles, on peut toujours supposer que les coordonnées a et [j ont la même valeur. 11 faut donc

rechercher si deux. valeurs différentes !■, ^ de la fonction \ peuvent donner la même valeur de l'élément linéaire, c'est-à-dire si l'on peut avoir

(12) (z d$ -+- dp) (z du. ■+- dq) — (zt d[i -+- dpx) (ztdx -+- dqi), :• et zt ayant d'ailleurs les valeurs suivantes, indiquées au n° 165: £— />* — ?3 îi — Pi* — ?iP

i-t- aB

L'équation (12) peut être vérifiée de deux manières différentes. On peut avoir : soit

1 z d$ -+- dp = X (zt d$ -+- dpx ),

J z dx -+- dq = y ( z{ dx -h dq j ) ;

soit

1 z r/,3 -+- dp = X (zi dx -+- dq^), (i5)

j z dx -\- dq = - (-^1 <^S -t- df>\),

À désignant, dans les deux systèmes de formules, une fonction inconnue. Le premier système donne les équations

Si donc la somme z -f- a- n'est pas nulle, il faudra que A soit égal à ± 1 . Alors la fonction

devra satisfaire aux trois équations

R = o, T = o, 2— Pa — Q3+-S(i + oc3) = o, que l'on résoudra facilement et qui donnent

S = A(a3 — i)4-Ba + C8,

A, B, C étant trois constantes quelconques.

On reconnaîtra aisément qu'en imprimant une translation convenable à l'une des deux surfaces, on peut annuler S et avoir,

LA SURFACE ADJOINTE d'o. BONNET. 385

par conséquent,

5±Êi=o.

Les deux surfaces proposées sont donc égales ou symétriques. Cette solution pouvait être prévue a priori.

Mais, si Ton a

^ -+- s = o et, par conséquent,

z{-\- Si = o,

les deux, surfaces considérées sont des surfaces minima (n° 194). Revenons aux. notations du Chapitre III et soient

\ =2»l/i«) + ÎB/l(»l)-(l+ UUi) [/'(«) +/l(Ml)L

| = 2tt1<p(w)-4-2MÇi(a1) — (i H- Miti) [ç'(w) -+- «pi(wi)]

les équations de nos deux surfaces. Si, dans les formules (16), nous remplaçons les dérivées r, t, /',, t{ par leurs valeurs, nous trouverons

/'"(») = X'f'"("),. y"(Ml)=^?ï(Ml)-

Ces deux équations montrent que \ est une constante. Si on la désigne par eia, on passera de l'une des surfaces à l'autre en remplaçant $"(«), §\ («i ) par eioL^(u), e~ia ét ( uK ). C'est la substitution que nous étudions dans ce Chapitre.

Le système (i5), que nous devons maintenant examiner, nous conduit aux équations

z -h s = Kti, z -+- s = — , A

r = (zl-i-sl)h, t= — j — ;

d'où l'on déduit, en particulier,

(* + *)* — rt = rit1-^(z1-+-s\y.

Cette équation exprime (n° 16o) qu'aux points correspondants des deux surfaces, le produit des rayons de courbure principaux prend des valeurs égales et de signes contraires pour les deux surfaces. D'après le théorème fondamental de Gauss que nous démontrerons plus tard, il est impossible que les surfaces soient applicables l'une sur l'autre; et notre réciproque est ainsi complètement démontrée.

214. Les méthodes précédentes se prêtent à l'examen d'une question qui, sous un énoncé différent, a été l'objet des savantes recherches de Mathet ( ' ).

Nous avons vu (Livre II, Chap. III) que, dans le plan, on peut imaginer une infinité de méthodes de transformation avec similitude des éléments infiniment petits, dans lesquelles, à tout élément linéaire passant par un point M correspond un élément passant par le point correspondant M' et faisant avec son homologue un angle qui ne dépend que de la position du point M et demeure constant quand le premier élément tourne autour de M. Peut-on transporter ces propriétés à l'espace ? Est-il possible d'établir, entre deux surfaces différentes (2), (S(), une correspondance point par point avec similitude des éléments infiniment petits, pour laquelle l'angle de deux éléments correspondants passant respectivement par deux points M, M' des deux surfaces ne dépende que de la position de M ou de M' et nullement de la direction de l'un des éléments? Telle est la question générale dont nous allons chercher la solution.

Soient x, y, z; X\, yt, z-{ les coordonnées de deux points correspondants sur les deux surfaces, qui seront six fonctions inconnues de deux paramètres. Les propriétés de la transformation se traduiront par les deux équations

dx\-\- dy\ -t- dz\ = À(^2-t- dy2-\- dz%),

dx dxy -+- dy dyt-\- dz dzi = \'\/dx- -t- dy- -+- dz~ \/dx\ -+- dy\ -\^dz\.

En tenant compte de la première, on peut remplacer la seconde par la suivante :

(17') dx dxi -+- dy dyt -\- dz dz{ = \x( dx2 -+- dy2 -t- dz2 ),

qui est rationnelle ; "k et u. seront d'ailleurs des fonctions que l'énoncé de la question n'assujettit à aucune condition.

Prenons comme variables indépendantes les paramètres a, (3 des

(!) Mathet, Solution d'un problème de Géométrie (Journal de Liouville, 2e série, t. VIII, i863, p. 3i3); Étude sur un certain mode de génération des surfaces d'étendue minimum (même tome, p. 3a3).

LA SURFACE ADJOINTE d'o. BONNET. 387

lignes de longueur nulle de la surface (S). On aura

dx \ "2 / dy \ -

'dx\* (ty\* (à£\* —

dp/ ^\M) +\d$) -°-

Les équations précédentes nous donneront les relations nouvelles

t'~iV dx dx\ dy dyY àz dzt

. dx / ' da da doc dx dx dx ~ ' (19) <

/ dxA'2 /àyi\"2 /^i\2 — dx dxi dy dy{ dz dzr

\dj) ~h\~df) +V^3"/ = °' d? dp" + dp "dp + dp dp = °*

Les deux premières de ces relations déterminent très simplement

, ! da;. dvi dz* -^ -, , . , n.

les rapports de — — , —• > — • Jkn tenant compte des équations (18),

on trouve

dxi dy\ dzi

= "dJ'

~àx~

et l'on aura, de même,

dxx

df dx

"dT

d(3 djK "dp

dp d^ ' dp

Si l'on désigne respectivement par 9 et 0( les valeurs communes des rapports précédents, on pourra écrire

. . dxt „ dx àxi A dx

(22) "d7 = ed;.' dp" = 6ldp'

et les équations analogues enyet z. En éliminante), on obtiendra l'équation

dp(6S) = d^(6ld|)'

d-x d8 dx d%i dx ( l}dTdp + dp dï~ d^ dp -°'

à laquelle satisferont également y et z. Par suite (n° 84), a et (3 seront les paramètres de deux familles conjuguées ; et la surface (2),

388 LIVRE III. — CIIAP. V.

admettant pour lignes conjuguées ses lignes de longueur nulle, sera une surface minima. Il en sera évidemment de même de la surface (Si). De plus, les formules (20) et (21) montrent qu'aux points correspondants des deux surfaces, les lignes de longueur nulle correspondantes auront la même direction ; et, par conséquent, les plans tangents aux deux surfaces seront parallèles.

Réciproquement, si l'on prend deux surfaces minima quelconques et si l'on établit la correspondance entre les points de ces surfaces par la condition que les plans tangents y soientparallèles, pour ces points correspondants les quantités u et ut qui figurent dans les formules de Weierstrass auront les mêmes valeurs; et ces formules nous permettent de vérifier que toutes les relations (19) seront satisfaites. Ces deux surfaces donneront donc effectivement la solution générale du problème proposé.

Si deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre, la correspondance établie entre leurs points détermine évidemment un tracé géographique de l'une d'elles sur l'autre. La proposition que nous venons d'établir, jointe à celle que nous avons obtenue au n° 213, nous permet donc d'énoncer les résultais suivants :

Si deux surfaces sont applicables V une sur Vautre, de telle manière que les éléments correspondants fassent entre eux un angle constant, ce sont nécessairement deux surfaces minima associées et les plans tangents aux points correspondants sont parallèles.

Si deux surfaces sont applicables V une sur Vautre, avec orthogonalité des éléments correspondants , elles ne peuvent être que deux surfaces minima, dont V une est adjointe à Vautre.

215. JNous ne quitterons pas ce sujet sans remarquer que les formules (7) donnent un nouvel exemple d'une surface se déformant d'une manière continue sans cesser d'être applicable sur elle-même. Lorsque a varie, chaque point de la surface décrit une ellipse ayant son centre à l'origine des coordonnées. Il y a ici une remarque essentielle à faire. Dans l'exemple du n° il, une portion de la surface ne pouvait se déformer indéfiniment sans se plier ou se déchirer dès que l'on dépassait certaines positions