X-t-iY= — / u~ $ (u) du — / u\ ffi(u1)dul

Le plan tangent au point (u, u t) sera représenté (n° 229) par l'équation

(20) X -+- t'Y — k«i(X — iY) -+- (u -h Ui)Z -+- ç = o,

et le calcul de £ donnera [n° 229, formule (18)]

— - .Pi-t- X, j I /^i + Xi

Il est à remarquer qu'on pourrait réduire à des polynômes les séries qui constituent les seconds membres des formules (19) et (21) en y supprimant tous les termes de degré positif, qui sont négligeables lorsque u et u, deviennent infiniment petits.

242. Les formules précédentes étant établies, supposons d'abord qu'aucune des deux courbes (T), (T,) ne soit tangente au plan de l'infini. On aura alors

Lorsque u et u{ tendront vers zéro, Z etX + i Y auront zéro pour limite. Quant à X — z'Y, comme il présente plusieurs termes infinis, les uns contenant u, les autres contenant wt, il pourra prendre toutes les valeurs possibles. En égalant, en effet, la valeur de X — i'Y à une constante quelconque, on obtient une équation qui admet des solutions pour lesquelles u et u, sont aussi petits qu'on le veut; car, si l'on y regarde u et ut comme les coordonnées rectangulaires d'un point, celte équation de condition représente une courbe qui passe à l'origine des coordonnées.

Ainsi, dans le cas qui nous occupe, les points de la surface minima qui proviennent des points de (T) et de (T,) infiniment rapprochés de m ont pour lieu géométrique la droite

qui est tout entière à distance finie. L'équation (20) du plan tan-

gent se réduit à la suivante :

On voit qu'il est le même pour tous les points de la droite (').

Supposons maintenant que l'une des courbes (T), (T,) soit

tangente en m au cercle de l'infini, c'est-à-dire que l'une au moins

des fractions —, — soit inférieure à l'unité. Dans ce cas, les expres-

sions de Z et de X — t'Y contiennent, l'une et l'autre, des termes de degré négatif, et il arrivera généralement que l'une au moins de ces deux quantités deviendra infinie quand u et uK tendront vers zéro d'une manière quelconque.

Si une seule des fractions —7 — est inférieure à l'unité, la coor-

donnée Z deviendra certainement infinie quand u et w, tendront

vers zéro. Si, au contraire, les deux fractions — > — sont l'une et

l'autre inférieures à l'unité, X — iY ne pourra demeurer finie que si les termes de degré le plus faible en u et ux sont du même ordre, c'est-à-dire si l'on a approximativement

et, de même, Z ne pourra demeurer finie que si l'on a approximativement

a0u1 bail'1' 1 = o.

L El —

q qi

(l) Si l'on restitue aux courbes (T), (ri) leur position la plus générale en leur imprimant des translations convenables, les résultats obtenus dans le texte donnent le théorème suivant, que l'on pourrait établir par la Géométrie :

Si les deux courbes (T), (Tl) ont en commun un point m du cercle de l'infini et si aucune d'elles n'est tangente à ce cercle, les points de la surface qui proviennent des portions des deux courbes infiniment voisines de m forment une droite située dans le plan des tangentes en m aux deux courbes et à égale distance de l'une et de l'autre. Le plan tangent en un point quelconque de cette droite est fixe; il contient à la fois la droite et la tangente en m au cercle de l 'infini.

bou'h

Or, ces deux équations ne peuvent être compatibles que si l'on a

i. = El,

et, même alors, comme elles sont de degrés différents, iq — p et q — p, par rapport à u, il y aura toujours des solutions de l'une qui ne conviendront pas à l'autre. On peut donc affirmer que, dans le cas où l'une au moins des deux courbes minima est tangente en m au cercle de l'infini, les points des courbes (T), (T, ) infiniment voisins de m ne pourront donner de point de la surface à distance finie que si l on a — = — et qu'ils donneront

toujours des points de la surface qui seront situés à V infini. Il reste à indiquer le lieu formé par ces derniers points. Or, si l'on se reporte à l'équation (20) du plan tangent écrit sous forme homogène

X + /Y- uu^X — iY) -+-(«-+- Mt)Z-t-^T = o,

on voit que, u et uK devenant nuls, la section de ce plan par le plan de l'infini aura pour équations

X + iY = o, T = o.

Les points cherchés de la surface sont évidemment distribués sur cette droite, qui est la tangente en m au cercle de l'infini. Réciproquement, chaque point de cette droite peut être obtenu pour des valeurs infiniment petites de u et de u, ; car, à chacun de

ces points, correspond une valeur déterminée du rapport^ ^3

et l'on reconnaîtra, en répétant le raisonnement donné au début de ce numéro, que ce rapport peut prendre toutes les valeurs possibles. Ainsi :

Toutes les fois que V une des courbes (T), (T,) est tangente en un point m au cercle de l'infini, tous les points de la surface situés à l'infini et provenant des branches voisines du point m ont pour lieu géométrique la tangente en m au cercle de V infini.

En réunissant les résultats précédents nous obtenons, par conséquent, la proposition suivante, qui est celle de Lie :

Lorsque les deux courbes (T), (r\) ont un point commun m

à l'infini, les branches de ces deux courbes voisines de m ne peuvent donner de point à V infini de la surface . que si l'une des courbes est tangente en m au cercle de l'infini; dans ce cas, tous les points à l'infini de la surface ont pour lieu géométrique la tangente en m au cercle de l'infini.

243. Mais la méthode indiquée dans les numéros précédents nous permet aussi de résoudre une question nouvelle et, après avoir étudié la section de la surface par le plan de l'infini, de déterminer, quand ils existent, les points à distance finie de la surface qui peuvent provenir des points à l'infini situés sur les courbes (T), (T,). Nous avons vu plus haut que cette circonstance ne peut se présenter que si l'on a

L = El.

Supposons cette condition remplie et reprenons les formules déjà démontrées

X — i Y = / §(u) du -+- / §i ( m, ) duu

Z= / ii $ (u) du -r- / ulffi(ui)dui, qui donnent

(11) dZ — u d(X — î'Y) = (u\ — ■ u) $i(ui) du{.

Pour résoudre la question proposée, nous couperons la surface

par le plan

X — îY = et,

où a désigne une constante quelconque et nous chercherons s'il existe, dans ce plan, un point de la surface, à distance finie, provenant de valeurs infiniment petites de u et de m,.

Si nous substituons la valeur a de X — iY dans la première des formules (19), nous aurons une relation entre u et uK qui nous donnera pour u un certain nombre de développements en série suivant les puissances positives de ut, développements dont les coefficients pourront contenir a, à partir d'un certain rang. Il faudra que l'une au moins de ces valeurs de u, portée dans les expressions de Z et de X + iY, donne des développements de ces quantités demeurant finis pour ;/, = o et ne contenant, par con-

i|2 LIVRE III. — CHAP. VII.

séquent, aucune puissance négative de uf . Si l'on se reporte à la formule (22) et si l'on y l'ait

X — i Y = x, rf( X — t"Y) = o, on en déduira

Tous les termes de Z étant, par hypothèse, de degré positif, — — ne contiendra que des termes de degré supérieur à — 1 et, si l'on remarque que le degré de 3$ii$ est — — 3, on est conduit à l'inégalité

degré (u — u, ) -+- — — 3 > — 1 , qui donne

(a3) u — iii = 0 ux '/',

0 étant une fonction de uf qui s'annule pour m, = o.

Portons la valeur de u tirée de l'équation précédente dans les expressions de Z et de X -r iY. On a

« '/ = a, 7 VU- 8m. '/«/ '/

= u,1 \ 1 i a M '/' 1 — u. '/ -\-au',.

t étant, comme Q, une fonction qui s'annule pour ut = o. On voit donc que, dans tous les termes de l'expression (19) de Z qui contiennent?/, on pourra remplacer u par ?/,, en négligeant seulement des quantités qui s'annulent pour U\ = o et peuvent être supprimées. On aura ainsi la valeur approchée

= / «1 [cfl ( «1 ) H- $( Kl )] rftt,

Un raisonnement analogue donnera de même

X -4- j'Y = — I u\ [^(«1) + #(«i)] rfui. Pour que Z reste finie, il faudra que tous les termes de degré

négatif en u , se détruisent mutuellement. Si donc on pose

§(u) =-- *(m) -)-W(tt), &(Ml) = *j(a,) + W,(m,),

<I> et $, contenant tous les termes de degré inférieur à — 2, il faudra que l'on ait

<Pl(u) = — •£(«)•

Telle est la condition cherchée. On reconnaîtra aisément qu'elle est suffisante et que la somme X -f- «Y demeure aussi finie. En réunissant les résultats précédents, on obtient la proposition suivante :

Pour que les points à l'infini des deux courbes (T), (T,) donnent des points de la surface situés à distance finie, il faut et il suffit que les termes de degré inférieur à — 2 dans les fonctions §{u), $\(u) soient deux à deux égaux et de signes contraires. Si cette condition est remplie, les points à distance finie qui proviennent des deux branches infinies considérées de (F), (T,) seront distribués sur une droite passant par le point du cercle de l'infini qui est commun à ces deux branches.

Pour terminer l'étude de cette question, il faudrait rechercher l'ordre de multiplicité des différentes droites de la surface situées soit à l'infini, soit à distance finie, qui proviennent des branches infinies de (T) et de (T,). Mais il suffira, pour obtenir ces ordres de multiplicité, d'appliquer les méthodes connues.

241. Il nous resté à dire quelques mots des points multiples et des lignes multiples des surfaces minima.

La surface minima la plus générale, ayant été définie par Lie comme lieu géométrique du milieu d'un segment dont les extrémités décrivent les courbes (T), (1^), a, généralement, une ligne double, lieu des points qui sont les milieux de deux segments, et des points triples, situés sur cette ligne double, qui sont les milieux de trois segments différents. Sans nous arrêter à l'étude des singularités de ce genre, qui sont en quelque sorte normales, nous dirons quelques mots des surfaces minima qui admettent des points coniques.

Pour que Ja surface minima ait un point conique O, il faut et il suffit que ce point O soit le milieu d'une infinité de segments, c'est-à-dire que les deux courbes (F), (T,) soient symétriques l'une de l'autre par rapport au point O. Cette proposition montre immédiatement comment on engendrera les surfaces minima à point conique. Il suffira de prendre pour la courbe (r<) la symétrique de (T) par rapport à un point déterminé. Un raisonnement géométrique très simple permet, d'ailleurs, de reconnaître que le cône des tangentes au point multiple est exclusivement formé des droites qui vont rencontrer le cercle de l'infini (').

La théorie des surfaces minima à point conique se rattache immédiatement à celle des surfaces doubles. Nous avons vu au n° 210 comment on passe d'une surface minima à son adjointe. Les résultats analytiques déjà signalés peuvent s'interpréter comme il suit :

Étant donnée une surface minima, lieu des milieux des segments dont les extrémités s' appuient sur les deux courbes (F), (T,), soient (V), (T[) les homothétiques de (T), (T,) respectivement, prises par rapport au même pôle O avec des rapports d'homothétie respectivement égaux à -\- i et à — i. La surface adjointe est le lieu des milieux des segments dont les extrémités décrivent les courbes (T'), (T'j).

Par suite, si les deux courbes (T), {V {) sont symétriques l'une de l'autre par rapport au point O, les courbes (T'), (T\) seront identiques, et vice versa. On est ainsi conduit au théorème suivant :

Pour obtenir toutes les surfaces à point conique, il suffira de prendre les adjointes des surfaces doubles.

On voit ainsi qu'il y a des surfaces réelles à point conique et l'on sait comment on les obtiendra. Le lecteur déduira facilement de ce qui précède la construction suivante :

(') Voir au sujet des points coniques, l'article déjà cité de Geiser (Malhematische Annalen, t. III). Il peut arriver exceptionnellement, si la courbe (T) a des points doubles, que le point conique soit sur la ligne double de la surface; alors, au cône indiqué dans le texte viennent s'ajouter un ou plusieurs plans tansents.

Pour obtenir l'adjointe de la surface double lieu des milieux des cordes d'une courbe minima (D), on mènera par le point fixe O des parallèles à ces cordes, d'une longueur égale ci la longueur de la corde multipliée par i. Les extrémités de ces parallèles décriront la surface cherchée, qui aura le point O pour point conique.