CHAPITRE VIII
Détermination de la surface miniina tangente à une développable donnée suivant une courbe donnée. — Application à ce problème des résultats généraux que la théorie des équations aux dérivées partielles doit à Cauchy. — Formules de M. Schwarz. — Leur démonstration par Lie. — Surface minima passant par une droite réelle; la droite est toujours un axe de symétrie de la surface. — Surface minima réglée, détermination nouvelle de celte surface. — Surface minima passant par une courbe plane. — Cas où cette courbe doit être une ligne de courbure ou une ligne géodésique. — Théorème d'Henneberg et de Lie. — Surface minima admettant une conique pour ligne géodésique.
2io. Dans les Chapitres précédents, nous avons développé les propriétés les plus simples des surfaces minima. Il nous reste à indiquer comment ou peut déterminer une surface minima satisfaisant à des conditions données. Nous examinerons en premier lieu le problème suivant : Déterminer la surface minima passant par un contour quelconque donné et admettant en chaque point de ce contour un plan tangent donné.
Nous ferons connaître d'abord ce que nous apprennent, sur la solution de ce problème, les propositions générales relatives à l'intégration par les séries des équations aux dérivées partielles. Ces propositions, que l'on doit à Cauchy (1), peuvent être appliquées à l'équation aux dérivées partielles
(i-t- q%)r — ipqs -+- (n-/>2)« = o,
qui caractérise les surfaces minima. Elles permettent de démontrer qu'il existe, en général, une de ces surfaces, et une seule, passant
(') Les recherches de Cauchy sur ce sujet sont exposées dans différentes Notes insérées en 1842 aux tomes XIV et XV des Comptes rendus. Voir Œuvres de Cauchy, ire série, t. VI et VII. On pourra consulter aussi un travail beaucoup plus récent, publié en 1876 par S. Kowalewsky sous le titre : Théorie der partiel/en Differentialgleichungen {Journal de C relie, t. LXXX, p. 1).
par une courbe donnée et admettant, en chaque point de celte courbe, un plan tangent donné, qui passera nécessairement par la tangente à la courbe; ce problème n'est impossible ou indéterminé que dans le cas où la courbe est une caractéristique de l'équation aux dérivées partielles, c'est-à-dire une courbe minima. Mais la solution qu'on obtient ainsi, en suivant les méthodes de Cauchy, exige que les coordonnées d'un point de la courbe, ainsi que les. valeurs de p et de q en ce point, puissent être développées en séries entières ordonnées suivant les puissances d'un paramètre et puissent, par conséquent, être déterminées aussi bien pour les valeurs imaginaires que pour les valeurs réelles de ce paramètre. Elle cesserait d'être applicable si le contour se composait de portions de différentes courbes analytiques, ou si la loi de variation des plans tangents s'exprimait par des fonctions différentes en différentes parties de la courbe. Remarquons enfin que l'existence seule de la solution est démontrée, puisqu'on ne connaît pas la loi des séries au moyen desquelles l'intégrale est obtenue.
Il est facile de prévoir que, lorsqu'on aura obtenu, par un moyen quelconque, l'intégrale générale de l'équation aux dérivées partielles, la solution du problème posé par Cauchy deviendra relativement facile, puisqu'elle exigera seulement la détermination des deux fonctions arbitraires d'une seule variable contenues dans l'intégrale générale.
Comme nous l'avons déjà indiqué, la détermination de la surface minima passant par un contour donné et y admettant en chaque point un plan tangent donné a été faite pour la première fois par Bjorling et O. Bonnet. Les méthodes suivies par ces deux géomètres exigent seulement l'emploi des quadratures. Nous allons faire connaître ici celle qu'on doit à M. Schwarz (') et qui repose sur l'emploi des formules démontrées au n° 212.
246. Nous avons vu que, si x, y, z désignent les coordonnées d'un point quelconque d'une surface minima et X, Y, Z les cosinus directeurs de la normale en ce point, les coordonnées x0, y0l z0 du point correspondant de la surface adjointe seront déterminées
(') Miscellen, etc., § V, p. 291.
par les formules
( i ) dx0 = Y dz — Z dy, dy0 = Z dx — X dz, dz0 = X dy — Y dx,
où les seconds membres sont tous des différentielles exactes. Par suite, si l'on se reporte aux expressions (i), (4) (n° 210) de x, y, z; x0, y0, s0, on voit qu'on aura
I x — ix0 = x -+- i I ( Z dy — Y dz ) = i À ( t ) ,
( i ) '< y — iy0 = y -+- i I (X« — Z dx) = iB(t),
[ z — iz0 = z -+- i I (Y dx — Xdy) = 2G(t).
et de même
1 a; -i- ta"o = a? — * / (Z <:// — Y rf^) — i Ai(t), (3) ' /+ iy9==y — i (X rfz — Y dx) = îB^t),
[ z -+- i z0 = z — i i (Y dx — X dy ) = i C i ( t ) .
Soit (L) le contour donné ; quand on se déplace sur ce contour, x, y, z; X, Y, Z deviennent des fonctions d'une certaine variable X et les formules précédentes, où les intégrales de différentielles totales sont remplacées par des intégrales à une seule différentielle cCk, donnent les fonctions d'une seule variable A, B, C; A(, Bt, C), exprimées au moyen de A. Soient X(X), ilb(A), ©(a); X\Çk), iiï>i (X), ©i(À) les expressions ainsi obtenues. Si le contour (L) est réel et si les valeurs de a?, y, s; X, Y, Z sont fournies par des relations numériques ou des lois physiques qui ne permettent pas de déterminer ces variables pour des valeurs imaginaires de X, les fonctions A>, ilb, ©; X,, ilb1? ©( seront incomplètement connues et les formules relatives à la surface
/ x'- = <JU(X)-+-.MM.
( z'= G(X)-f- ©,(Xj),
permettront de déterminer seulement les points qui correspondent à des valeurs réelles de À et de A(. Mais, si le contour (L) est une
LES FORMULES DE M. SCHWARZ. 44g
courbe analytique, réelle ou imaginaire, et si les fonctions X, Y, Z, qui doivent déjà satisfaire aux deux équations
X dx -h Y dy -\- Z dz = o,
sont aussi des fonctions analytiques de A, c'est-à-dire si x, y, z\ X, Y, Z ont une signification déterminée aussi bien pour les valeurs imaginaires que pour les valeurs réelles de \, iJ en sera de même évidemment des fonctions X, \lb, G; Xt, 1)1^, G( qui devront être regardées comme complètement connues et fourniront la détermination complète des deux courbes minima dont la translation engendre la surface. En remplaçant ces fonctions par leurs valeurs dans les formules précédentes, on aura, pour les coordonnées x',y', z' d'un point quelconque de la surface, les valeurs suivantes :
1 C'\xdz-ldy\
(6) //= ■ri~h-r% + i f \zdx-Xdz),
.Yi
(Xdy—Ydx),
.r,, y{, z'\ désignant les valeurs de x, y, z pour "k = \{ et Xo, y2, z-2 Jes valeurs des mêmes variables pour X = A2. On pourra donner à A| et à A2 des valeurs imaginaires quelconques; en sorte que les points obtenus dépendront, comme cela doit être, de quatre paramètres réels.
Si le contour (L) est réel et si l'on désigne par A0 la valeur de a correspondante à un point réel déterminé du contour, on pourra prendre
X(l)=^+l- / {Zdy-Ydz),
Ao
Je A {Xdz — Zdx), "î
Je L {Ydx-Xdy),
4'JO LIVRlï III. — CUAP. VIII.
et la partie réelle de la surface sera définie parles équations
,1 x' = A{2X) = Si I x -H i I (Z dy — Y dz)
= Si \x -H i f y = Si(ïV\>) = Si\jr-hi f (Xdz — Zdx) ,
■ X ;' =Jl(ae) =SL\* +ï / (Ydx — Xdy)
où l'on devra donner à X une valeur imaginaire quelconque.
11 résulte évidemment de la méthode précédente que la surface définie par les équations (6) ou (8) est la seule qui puisse satisfaire à toutes les conditions posées, et il reste seulement à démontrer qu'elle satisfait effectivement à ces conditions. Or, si l'on remarque que, d'après leur définition même, les fonctions <s.l>(X), . . ., X^X), ... vérifient les relations
dX*- -+- d\l\>2 -{- dB* = o, X dX -+- Yrfilb 4- Z dB = o, dX\ -+- d\\\}\ -+- d&\ = o, X dXi + Yd\\\n -+- Z dBx = o,
on reconnaîtra aisément : i" que la surface obtenue est une surface minima; 2° qu'elle passe par le contour (L) et y admet en chaque point le plan tangent donné; elle fournit donc bien la solution unique du problème proposé.
En résumé, la méthode de M. Schwarz repose sur les deux propositions suivantes :
Une surface minima est pleinement déterminée quand on donne une courbe analytique tracée sur cette surface et la courbe correspondante tracée sur la surface adjointe.
Lorsqu'on connaît sur une surface minima une courbe (L) et les plans tangents en chaque point de cette courbe, la courbe correspondante de la surface adjointe peut être déterminée par de simples quadratures.
247. Dans son Mémoire sur les surfaces minima ('), Lie a donné, pour les formules de M. Schwarz, une démonstration nou-
(') Matliematisclie Annalen, t. XV, p. 467.
velle que nous allons faire connaître, parce qu'elle peut être généralisée et appliquée à d'autres questions analogues.
Reprenons les équations d'une surface minima sous la forme générale
^=A(0 + A](-u), y=B(0 + B1.(x)l J = C(t) + C^x), où les fonctions A, B, C; A,, B,, C| satisfont aux relations
(9) dX- -+- dB2 -+- dG- — o,
(10) dA.*-hdB\-hdGl = 0.
Pour que la surface contienne la courbe 7 >nnée (L), il faudra que, x,y, z désignant les coordonnées d'un point quelconque de cette courbe, coordonnées qui sont des fonctions connues d'un paramètre X, on puisse déterminer pour t et t des fonctions de A satisfaisant aux trois équations
(11) fl7'=A-+-.Ai, jk = B-i-Bj, * = C-i-Ci.
D'autre part, si X, Y, Z désignent les cosinus directeurs de la normale à la surface au point considéré (a?, y, z) de la courbe (L), il faudra exprimer que le plan tangent contient les tangentes aux deux courbes minima de la surface qui passent par ce point, ce qui donnera les deux équations
(12) Xdk +Y dB +ZdG =0, (i3) Xû?A, + YrfB1+ZrfG1 = o,
qui, jointes aux précédentes, expriment toutes les conditions du problème. Diiïérentions les équations (n), en supposant qu'on se déplace sur la courbe (L); on aura
(i4) dx = dk-hdku dy = dB ^rdBu dz = dG -+- dCi.
En vertu de ces relations et de l'équation évidente X dx + Y dy -+- Z dz — o,
qui exprime que le plan langent contient la tangente à la courbe (L) , et qui doit être vérifiée par les valeurs données de X, Y, Z, les deux équations (12) et (i3) se ramèneront l'une à l'autre, et il restera seulement six équations distinctes (9), (10), (12) et (14) qui permettront, en général, de déterminer les différentielles c/A, . . ., dkK, ....
