CHAP. VIII

Déduisons, en effet, des équations (i4) les valeurs de dA{, dBt, <:/C, et portons-les dans la relation (10), nous aurons

ds2

dx c/A -t- dy dB -+- dz dC = — >

s désignant l'arc de (L). Cette équation, jointe aux deux relations (9) et (12), dont l'une est du second degré, va nous donner les valeurs de dA, dB, dC

A cet effet, prenons comme inconnue auxiliaire ( f ) le déterminant

dx dy dz dk dB dC

si on l'élève au carré, en effectuant la multiplication des lignes entre elles et tenant compte des relations précédentes, on trouvera

On a donc

(16) ± = (Ydz — Zdy)d\

h- (Z dx — X dz) dB -h (X dy — Y dx) dC = ± — — ;

et l'on est ainsi ramené au système des trois équations (12), (io) et (16), qui sont toutes du premier degré. Le déterminant de ces équations étant égal à ds'2, elles pourront toujours être résolues tant que le contour (L), réel ou imaginaire, ne sera pas une courbe minima. On obtient ainsi, par un calcul facile, les valeurs

ds

ds2

(') Toutes les fois que l'on rencontre un système d'équations algébriques dont la résolution peut se ramener à celle d'une équation du second degré à une inconnue, il 3r a avantage à prendre comme inconnue auxiliaire le déterminant fonctionnel des équations par rapport aux inconnues; car ce déterminant, s'annulant dans le cas où les deux systèmes de solutions se réduisent à un seul, ne peut qu'être égal à la valeur du radical qui doit figurer dans les formules définitives; et, par conséquent, son carré se calculera rationnellement.

suivantes de dA, t/B, dC :

d\ = — ±L(Ydz— Zdy),

{17) ldB=^-±-(Zdx — Xdz),

f dC = — ± - (X rfr - Y <te), 2 2

■d'où l'on déduit, à l'aide des formules (i4)>

( dA1=^z+:l-(Y.dZ-Zdyy,

<i8) ( dB1=^z¥-(Zdx—Xdz),

1 ^?G 1 = — - =p - ( X d^ — Y dx ) ,

les signes se correspondant dans les deux systèmes. Prenons, par exemple, les signes inférieurs, et supposons effectuées les quadratures qui donnent les expressions de A, B, C; A(, B,, Ci en fonction de À. On peut toujours déterminer les constantes qui entrent dans ces quadratures de manière à satisfaire aux équations (i i), et l'on retrouve ainsi les formules de M. Schwarz.

218. La méthode précédente peut être généralisée; elle s'appliquerait, par exemple, aux surfaces engendrées par la translation de deux courbes dont l'une satisferait à l'équation différentielle

et l'autre à une équation de même forme

dx dy dz dz

Elle offre surtout l'avantage de bien mettre en évidence les cas d'exception; ils correspondent, nous allons le voir, à ceux qui sont indiqués par les théories générales de Gauchy.

Nos raisonnements supposent, en effet, que les trois équations (12), (i5) et (16) déterminent dA, dB, dC, ce qui n'aura pas lieu si leur déterminant est nul, c'est-à-dire si la courbe (L) est

une courbe minima. Dans ce cas particulier, la méthode tombe en défaut, mais les résultats acquis nous permettent une discussion directe et élémentaire. Il faut, pour que le problème soit possible, que la développable formée par les plans tangents en tous les points de (L) soit un cône ayant son sommet sur le cercle de l'infini (n° 233). Si cette condition n'est pas remplie, le problème sera impossible; si elle l'est, le problème sera indéterminé, car on connaîtra l'une des courbes minima dont la translation peut engendrer la surface : ce sera ici la courbe (L); mais la seconde courbe minima sera assujettie à l'unique condition de couper la courbe (L), d'admettre au point commun une tangente donnée et pourra, d'ailleurs, être tracée arbitrairement. La solution du problème contiendra donc encore une fonction arbitraire, comme le montrerait aussi la discussion des équations (9), (10), (1 1) et (12), dans ce cas spécial.

Les raisonnements supposent aussi queX, Y, Z sont les cosinus directeurs de la normale en un point de la courbe (L) et satisfont

à l'équation

Si la développable formée par les plans tangents en tous les points de Ja courbe est circonscrite au cercle de l'infini, les formules n'ont aucun sens. Mais on obtient encore une solution du problème posé, fournie par la développable elle-même qui doit être considérée (note du n° 187) comme une véritable surface minima. Cette solution est la seule qu'on puisse obtenir dans le cas où (L) n'est pas une courbe minima; mais si l'on a à la fois

ds*-=o, X2+Y2-t-Z2=o,

l'indétermination reparait et l'on obtient encore une infinité de surfaces minima ('). Cette discussion ne présente aucune diffi-

(!) L'interprétation géométrique et la discussion du dernier cas que nous venons de signaler conduisent à une propriété générale des surfaces minima que nous nous contenterons d'énoncer.

Etant donnée une surface minima quelconque, lieu des milieux des droites dont les extrémités s'appuient sur les deux courbes minima (T), (T1), la courbe de contact (C) de la développable circonscrite à cette surf ace et au cercle de l'infini est aussi l'arête de rebroussement de cette développable. On l'obtient en prenant le milieu de tous les segments qui réunissent les pointsM,

culte, mais elle offre de l'intérêt au point de vue de la théorie générale des équations aux dérivées partielles.

249. Les formules de M. Schwarz conduisent à un grand nombre de propositions intéressantes que nous allons faire connaître successivement.

Cherchons d'abord les surfaces minima qui contiennent une droite réelle donnée et admettent aux différents points de cette droite des plans tangents donnés. Si l'on prend la droite pour axe des v, les formules (6) deviendront ici

f**-=jf

F"=-ifWlfx^

X et Y satisfaisant à la relation

On voit immédiatement que, si l'on échange z, et z2, z' ne change pas, x' et y' changent de signe sans changer de valeur. Donc :

Toute droite réelle tracée sur une surface minima est nécessairement un axe de symétrie de cette surface.

Cette proposition élégante, due à M. Schwarz, conduit à une démonstration très simple du théorème de Catalan : La seule surface minima réelle réglée est la surface de vis à filet carré.

Considérons en effet, si elle existe, la surface minima engendrée

M, des courbes (T). (T,), où les tangentes à ces courbes sont parallèles. Tous les points de (C) sont des ombilics; cette ligne est une arête de rebroussement de la surface minima, elle satisfait à la définition des lignes asymptotiques et aussi à celle des lignes de courbure.

Les deux courbes minima dont la translation engendre la surface ne cessent pas, dans leur mouvement, d'être tangentes à la courbe (C), en sorte que l'on pourrait définir la surface minima comme engendrée par la translation d'une courbe minima (K) qui, dans son mouvement, est assujettie à demeurer tangente à une autre courbe minima (C).

par le mouvement d'une droite réelle, et soient (d{), (d2) deux positions de cette droite. La droite (d3), symétrique de (^i) par rapport à (d2), appartient encore, d'après la proposition précédente, à la surface. En prenant de même la symétrique de (d2) par rapport à (ds), et répétant indéfiniment cette opération, on obtiendra une série de droites

(rfO, (d2), (d3), (rf4), ...,

qui seront toutes sur la surface et qui appartiendront évidemment à tout hélicoïde gauche à plan directeur qui contiendra les deux premières (d) et (<r/|). Si nous considérons, en particulier, le plus simple de ces hélicoïdes, celui pour lequel il faut faire moins d'un demi-lour sur la surface pour passer de (d{) à (d2), on voit qu'il contiendra un nombre illimité de droites de la surface minima. Si les deux droites (d{) et (d2) se rapprochent sur la surface, les droites communes à l'hélicoïde et à la surface se rapprochent indéfiniment : la surface doit donc coïncider avec la position limite de l'hélicoïde, ce qui démontre le théorème de Catalan.

Nous allons exposer encore la démonstration que M. Schwarz a donnée du même théorème, parce qu'elle repose sur une idée ingénieuse et féconde. Lorsqu'une surface réglée contient une droite, les plans tangents en tous les points de cette droite ne sauraient être choisis arbitrairement et sont assujettis à la loi découverte par M. Chasles. Si l'on prend la droite comme axe des z et si l'on choisit convenablement les autres axes coordonnés, les plans tangents de la surface doivent être les mêmes que ceux du paraboloïde défini par l'équation

où a désigne une constante. De là résultent, pour les cosinus directeurs de la normale en chaque point, les déterminations

et, si l'on porte ces valeurs dans les formules (19), on obtiendra la surface cherchée.

En faisant, pour la commodité des calculs,

ce qui donne

•on trouve

z = au sin t.