X.= itans:t, Y
cost
x'=-{h— tt), .
y = — (cos^i — cos£2),
-5 = — (sin£1+ sinfs)
et, par suite,
x = a arc tan£
Cette équation définit bien la surface de vis à filet carré.
2o0. Revenons aux formules (19); elles ne contiennent en définitive que deux quadratures distinctes
et l'on a
dx2 -+■ dy-
— sera donc l'arc de la courbe décrite par un point dont les coordonnées seraient x ely. Cela nous conduit à la proposition suivante. Prenons, dans le plan des xy, une courbe quelconque (y). La surface minima la plus générale passant par l'axe des z sera déterminée par les formules
1 CC ^= l ( CC \ CC% ) ;
{21) \ y'= Hyi—yz),
a?{, yK ; x2, y* désignant les coordonnées de deux points différents de la courbe, sK et s2 étant les arcs de cette courbe comptés à partir d'une origine fixe et terminés en ces deux points. L'interprétation
géométrique des formules est d'ailleurs évidente. Soient M et N les deux points de la courbe; par l'origine des coordonnées on. mènera une droite parallèle à MN et égale à z Ml\, on élèvera à V extrémité de celte droite une perpendiculaire égale à la somme des arcs de la courbe terminés en M et N; le sommet de cette perpendiculaire décrira la surface minima.
On peut donner encore l'interprétation suivante : Les deux courbes minima définies par les équations
(■22) 2?'= ix, y= iy-i z'=s,
(28) x' = — ix, y' = — iy, z' = s
sont celles dont la translation peut engendrer la surface, et elles sont placées symétriquement par rapport à l'axe des z.
Pour que la surface soit algébrique, il faudra que les deux courbes précédentes soient algébriques, c'est-à-dire que y et x soient des fonctions algébriques de s. En d'autres termes, la courbe (y) devra être la développée d'une courbe algébrique, d'ailleurs quelconque.
251. Une autre application intéressante des formules de M. Schwarz peut être faite au cas où la courbe (L) par laquelle doit passer la surface est plane. Supposons, pour plus de netteté, que le plan de cette courbe soit réel et choisissons-le pour plan des xy\ les formules générales (6) nous donneront ici
(M) 1/=^^-'- f"z,lx,
ï'=-/ \\r dx — Xdy).
Introduisons l'angle [i que fait, en un point de (L), le plan tangent à la surface avec le plan des xy, on aura
(25) X=— ^sinp, Y = ^sin-p, Z = cos (ï,
5 étant l'arc de la courbe, et les formules (24) prendront la forme
Xi-\- r2
1 — 1 cos [3 cly,
(26) / y' = -n + -r'2 — i /* ' cos !B dx,
\ z'=- ! sinG
<fc.
Si Ton veut que la ligne (L) soit une ligne de courbure de la surface, les normales en tous les points de (L) devront envelopper une des développées de la courbe et l'angle ,3 devra être constant. On aura alors
, a?i + îficosp x=> — jy, cos x = -
)■'! ?-';£■] COS (3 JK2 "+-  cos P
î(*i — «2) sin {3
Les deux courbes minima dont la translation engendre la surface seront définies par les équations
. . , a?, ± in cos S , y, =p z.r, cosB , , w,sin6
Pour qu'elles soient algébriques, il faudra encore que (L) soit la développée d'une courbe algébrique; on a donc le théorème suivant, dû à Lie :
Pour que la surface minima admettant une ligne de courbure plane soit algébrique, il faut et il suffit que cette ligne plane soit la développée d1 une courbe algébrique.
Cette proposition générale explique pourquoi les lignes de courbure planes de la surface d'Enneper sont des courbes rectifiables(n°207).
Si l'on suppose 3 == — > la courbe (L) devient une ligne géodé-
sique de la surface. On retrouve donc le théorème suivant :
Pour que la surface minima admettant comme ligne géode-
46o LIVRE III. — CHAP. VIII.
sique une courbe plane soit algébrique, il faut et il suffit que cette ligne soit la développée d'une courbe algébrique,
qui est dû à M. Henneberg et qui a été le point de départ des travaux de Lie sur cette partie de la théorie.
Si, dans les formules (27), on fait ^=-)On trouve
on est ainsi conduit à la construction suivante de la surface minima :
Soit MN une corde de la courbe (L). Elevons en son milieu une perpendiculaire au plan de la courbe, égale au produit de i par la demi-différence des arcs de la courbe terminés en M et en N. Le sommet de cette perpendiculaire décrit la surface minima qui admet (L) pour ligne géodésique.
Si l'on échange les points M et N, le signe de la perpendiculaire est changé; on a donc, dans tous les cas, ce théorème :
Si une surface minima admet une courbe plane comme ligne géodésique, le plan de cette courbe est nécessairement un plan de symétrie de la surface.
Ces propriétés de symétrie, que nous avons déjà rencontrées à propos de la ligne droite, ont leur véritable origine dans le fait, qui est mis en évidence par les formules de M. Schwarz, mais qui résulte aussi des théorèmes de Cauchy, qu'il existe une seule surface minima tangente à une développable donnée en tous les points d'une courbe donnée. Car, soit (M) une surface minima admettant la ligne géodésique plane (L) et coupant, par suite, à angle droit le plan de cette ligne; la surface (M7) symétrique de (M) par rapport au plan de (L) admettra, en tous les points de cette courbe, les mêmes plans tangents que M et coïncidera par conséquent avec elle; (M) sera donc nécessairement symétrique par rapport au plan de la courbe (L). Ce raisonnement, que l'on pourrait appliquer au cas de la ligne droite, permet de reconnaître que, si (L) a un centre, ce point sera aussi un centre de la surface, et que, si cette courbe a un axe, le plan normal au plan de (L) et passant par cet axe sera un nouveau plan de symétrie de la surface.
On peut donner encore la construction suivante de la surface qui admet (L) pour ligne géodésique : Sur le cylindre ayant (L) pour section droite, traçons une courbe minima (y) et prenons la symétrique (yt) de cette courbe par rapport au plan de (L). La surface cherchée sera le lieu des milieux des segments dont les extrémités décrivent les courbes (y), (yi).
La surface minima qui admet comme ligne géodésique une parabole a été étudiée dans les premiers Mémoires de Catalan. Si l'on prend les coordonnées d'un point de la parabole sous la forme
i x = — ip sin2 cp,
( y = ipi sincp, la partie réelle de la surface sera définie par les équations
l x = èR( — /?sin2cp),
. , . 1 y = èil(2 pi sine»),
/ z = si ["/?(2y + sin2tp)] .
En donnant à ce une valeur réelle, on reconnaît que la section de la surface par le plan des xz est une cycloïde. Cette courbe, située dans le plan de sjmétrie passant par l'axe de la parabole, est aussi une ligne géodésique de la surface.
La surface minima qui admet comme ligne géodésique une ellipse ou une hyperbole est nécessairement transcendante ; mais elle contient, on le reconnaît aisément, une famille de lignes algébriques. Elle a été considérée par M. Schvvarz (').
2o2. On peut faire, des formules (24), une application d'un genre tout différent. Supposons que la courbe (L) soit un cercle et que les plans tangents en tous les points de ce cercle soient assujettis à être parallèles à une droite fixe. On pourra supposer que l'on ait pris pour axe des z l'axe même du cercle et aussi que l'on ait pris le plan des xz parallèle à la droite fixe. Alors l'équation du cercle dans son plan sera
(32) ^2H-JK2=R2,
( ! ) Schwarz, Ueber diejenigen Minimalflàchen, welche von einer Schaar von Kegeln zweiten Gracies eingehûllt werclen {Journal de C relie, t.. LXXX, p. 3oi-3i4; 1875).
ce qui permettra de poser
(33) .r = Rcoscp, jK = Rsincp.
Quant aux cosinus directeurs de la normale, ils sont déterminés par les trois équations
— X si n o -+- Y coscp = o, Z=mX,
X»-t-Y»+Z«=i, qui donnent
coscp sincp m coscp
A ayant pour valeur
(34) A = \/(ï -t- m-) cos2y -+- sin2cp.
Les formules de M. Schwarz nous donnent donc, pour les coordonnées d'un point de la surface, les expressions suivantes :
R, iRm /*<Pl cos2o do
