I 1IU

Si l'on introduit la fonction uniforme bien connue

(39) Z(u) = k2 I sn- u du,

les formules précédentes peuvent s'écrire

1R , îÀR iK r„ . „ , ,

x — — (en ii[ -+- cnii2 ; h (u^ — w2) H ^ [ L(u*) — Z( W] )J, j^ = -(snB|+ en k2) H j (on ?/2 — dn ii\ ),

Posons, pour avoir la partie réelle de la surface, u% = a -+- p s, « ! = a — p i ;

les formules d'addition des fonctions elliptiques nous donneront i R „ . . en a dn [3 i -+- j'A sn p i

a? = A- R p -+- -y- Z ( p i ) 4- R en ^ i ' £

r k ' r dnpz -+- ?A- en a sn p

(4i) / Q . sna

dn p i -+- ik en a sn p i = /.'Rp.

On peut déterminer un angle à par les formules en a du p i + ik sn p i

(42) cos'-L = — c- £., sin ^ = t — ?r^ n Tr-

dnpi + j/ccnasnpt dn pf -+- ik en a snp t

et, par suite, en substituant di à a, présenter les équations qui déterminent la surface sous la forme

x = À-RP-+- -r-Z(Pî) -t-RcnPicos-^,

' j/ = R en p? sin ^, 2 = *' R p,

qui montre que la surface est engendrée par un cercle dont le plan est perpendiculaire à V axe des z.

On peut, d'ailleurs, éliminer (3, à et écrire l'équation de la surface en coordonnées cartésiennes