CHAPITRE IX

SURFACES MINIMA ALGÉBRIQUES INSCRITES DANS UNE DEVELOPPABLE ALGÉBRIQUE.

Cas où la développable est un cylindre. — Le problème n'est possible que si la section droile est rectiliable. — Solution analytique du problème proposé. — Première solution géométrique. — Construction générale des surfaces minima algébriques inscrites dans une développable algébrique. — Tbéorèmes relatifs à des cas particuliers donnés par M. Lie. — Deuxième solution géométrique. — Génération nouvelle des surfaces minima due à Ribaucour. — Définition et principale propriété des congruences isotropes. — Le problème se ramène à la détermination d'une surface réglée dont la ligne de striction doit satisfaire à une condition donnée.

253. Les résultats que nous avons exposés dans le Chapitre précédent conduisent naturellement à l'examen dune question dont la solution offrirait un grand intérêt pour la théorie des surfaces minima algébriques :

A. Déterminer toutes les surfaces minima algébriques contenant une courbe algébrique donnée;

ou plus généralement :

B. Déterminer toutes les surfaces minima algébriques inscrites dans une surface algébrique donnée.

Aucun de ces problèmes n'a encore été abordé dans toute sa généralité; mais, dans son second Mémoire inséré au Tome XV des Mathematische Annalen, Lie a soumis à une discussion approfondie le problème B, dans le cas où la surface algébrique donnée est une développable. Il résulte de ses belles recherches que le problème peut être complètement résolu si cette développable est un cône, et aussi dans le cas où, la développable étant quelconque, on connaît déjà une surface minima inscrite dans cette développable. Nous allons reprendre ici l'étude de cette D. — I. 3o

466 LIVRE Iîl. — Cil A P. IX.

question, el nous montrerons que l'on peut obtenir la solution complète du problème posé par Lie.

Commençons par considérer le cas où la développable (A) est un cylindre. La proposition suivante, due à M. Henneberg, permet de reconnaître immédiatement que le problème posé n'est pas toujours possible :

Lorsqu'une surface minima est algébrique, la section droite de tout cylindre circonscrit à la surface est la développée d'une courbe algébrique.

Soit en effet (S) la surface minima donnée ; la surface adjointe (S0) sera aussi algébrique (n°210), et l'on aura, entre les points correspondants (x, y, z) et (a?0, y0, s0) des deux surfaces, les relations différentielles

{ dx dxa -+- dy dy0 -+- dz dz0 = o,

\ dx2 -+- dy% -+- dz- = dx\ -+- dy\ -+- dz\ ,

auxquelles il faut joindre les suivantes (n° 212) :

X dx -+- Y dy -+- Z dz = o, X dx0 -+- Y dy0 ■+■ Z dz0 = o ,

par lesquelles on exprime qu'aux points correspondants des deux surfaces les plans tangents sont parallèles.

Considérons sur la première surface la courbe de contact du cylindre circonscrit parallèle à l'axe des s, à laquelle correspondra la courbe de même définition sur (20). On aura, en tous les points de cette courbe,

Z = o, ce qui donnera

X dx -+- Y dy — o,

X dx0 -+■ Y dy0 = o,

ou, en éliminant le rapport t?'

( 2 ) dx dy0 — dy dx0 = o.

Si, entre les équations (i) et (2), on élimine successivement

dx0, dy0 eldx, dy, on sera conduit aux deux relations

(3) \fclx'1 -t- dy- = dz0,

(4) \Jdx\ -+- dy% = dz,

qu'il serait aisé d'obtenir par la Géométrie et qui démontrent le théorème de M. Henneberg; car la première, par exemple, exprime que l'arc de la section droite du cylindre circonscrit à (S) est égal à ;0.

Il résulte évidemment du théorème de M. Henneberg qu'une surface minima inscrite dans un cylindre ne pourra être algébrique que si la section droite de ce cylindre est la développée d'une courbe algébrique. Considérons un cylindre (C), pour lequel cette condition soit remplie, et dont la section droite (S) sera placée dans le plan des xy; proposons-nous de déterminer toutes les surfaces minima algébriques inscrites dans ce cylindre.

Désignons par x, y les coordonnées d'un point quelconque de (S); le problème sera résolu si nous parvenons à déterminer les quantités déjà définies x0, y0, z-0, z en fonction de x et de y. La formule (3) nous donne d'abord

s désignant l'arc de la section droite (S); les équations (i) et (2) nous permettent ensuite de déterminer dx0, dy0, et nous donnent

( 5 ) dxo = — dz -7- ? dy0 = — dz -^- ;

z sera donc, au signe près, l'arc de la courbe décrite par le point (j70, y0), et l'interprétation géométrique des formules conduit sans difficulté à la construction suivante :

On associe, dans le plan des xy, à la courbe (S), section droite du cylindre donné (C), une courbe (S0), assujettie à V unique condition d'être la développée d'une courbe algébrique, et Von établit une correspondance entre les deux courbes par la condition que les tangentes aux points correspondants M,M0 soient parallèles. Si Von élève en M une perpendiculaire au plan de (S) égale et de signe contraire à Varc de (S0) terminé en M0, V extrémité de cette perpendiculaire décrira sur le cylindre (C) la courbe de contact de la

surface minima algébrique la plus générais (S) inscrite clans ce cylindre. Si l'on élève de même en M0 une perpendiculaire égale à V arc de (S) terminé en M, V extrémité de cette nerpendiculaire décrira la courbe de la surface (S0) adjointe à (2), qui correspond à la courbe de contact de (2) et de (G).

ISous savons d'ailleurs (n° 246) comment on peut déduire, sans aucune intégration, des expressions x,y, z ; x^, y0, z0, les équations qui définissent la surface. Le problème est ainsi complètement résolu.

Si l'on suppose que le cylindre (C) se réduise à une droite, on retrouve comme cas particulier la construction, qui a été donnée au n° 250, pour les surfaces minima assujetties à contenir une droite donnée.

254. Passons maintenant à l'étude du problème général, et proposons-nous de déterminer toutes les surfaces minima algébriques inscrites dans une développable algébrique donnée (A).

Si l'on écrit l'équation du plan sous la forme

(u 4- U\ ) X -f- i( U\ — u) Y -+- ( uui — i) Z -f- £ = o, on a, pour toute surface minima, en vertu de l'équation (5) (n° 193),

(6) g = 2uif(u)-hzuf1(ui) — (i+ «ai)[/'(M)-f-/i("i)]-

D'autre part, on définira la développable (A) de la manière la plus générale en supposant que, pour les plans tangents de cette développable, m, uu % soient des fonctions algébriques données d'une variable auxiliaire t; et, pour résoudre le problème, il faudra exprimer que l'équation (6) est vérifiée identiquement quand on y remplace u, m,, \ par leurs expressions en fonction de t. Cette équation contient deux fonctions arbitraires f(u), ft(u\) avec leurs dérivées f'(u), f[(u\ ); si l'on se donnait arbitrairement l'une de ces deux fonctions, l'équation de condition à laquelle on est conduit en substituant pour u, m(, £ leurs expressions en fonction de t serait une véritable équation différentielle qui n'admettrait pas nécessairement de solution algébrique; pour échapper à cette difficulté, nous introduirons la variable auxiliaire

Si l'on difFérentie cetle valeur de A, on aura

r ,., . . „, ...du dux dk ,, d^ui d'il

et, en substituant la valeur ainsi obtenue de la somme

dans l'équation (6), on obtiendra la relation

f y - - , .-du dux

\ \S — ■ÏUlf(U) — 2«/i(îi1)]-^ -^

i / n T r, x d~ui * , \ d-u dk~\

( =(i-+-ttMi)L/(a)^""H/i(Mi)^"-^j-

On peut maintenant déduire des équations (-) et (8) les expressions de /(u), f{ (#<)> ce qui donne les valeurs suivantes :

„ ,, s ,[ dui du diu~\

.. rf«i du- d\ du

s a?* df2 v ' dt dt

. , , . , [" du dui . diuil

„ «fo «?w? . . d~k dux

0 désignant le dénominateur commun

du dur du, du2 , . I d%u du, d2u, du\

0 = •lll —; r-f- 1 Ui —z — -+- ( H- UU, ) —;— — ; ; -t- •

dt dp- dt dt* ' \ dt* dt . dt1 dt /

Prenons pour X une fonction algébrique quelconque de t. Si, dans la première équation (9), on exprime ui} t, \ en fonction de u1 on aura f(u); si, dans la seconde, on exprime de même w, £, -£ en fonction de w,, cette équation donnera^ (w, ).

Le problème est ainsi complètement résolu; pour que la surface soit réelle, il sera nécessaire et suffisant que la fonction X le soit, s'il est supposé toutefois que t soit un paramètre dont les valeurs réelles donnent des plans tangents réels de la développable (A).

La solution précédente serait illusoire si la fonction 0 était nulle identiquement : supposons que cette circonstance se présente et