LIVRE

que l'on ait

du du1. dii\ du1

0 = 2 II —, j~ — 2 II, — : 7— -

dt dP dt dV-

d- u dii\ du d- U\

(H-""i> [-M--JT-—-37

dt* dt

dt dt*

Cette relation constitue une équation différentielle dont on obtient aisément l'intégrale générale, qui est

A«. + B iii -+- C( uni — i) = o,

A, B, C désignant des constantes. Cette équation en termes finis exprime que le plan tangent est parallèle à une direction fixe; la développable (A) sera donc un cylindre; et, en effet, une étude directe nous a montré que, dans ce cas, le problème n'est pas toujours possible : la surface minima inscrite ne peut être algébrique que si la section droite du cylindre est la développée d'une courbe algébrique.

La méthode que nous avons suivie s'applique du reste à ce cas particulier; si l'on suppose que le cylindre soit parallèle à l'axe des 7, il sera défini par les équations

Si l'on prend ici t = m, on aura

et l'équation à résoudre prend la forme

<l> ( U ) -+- ( I -+- U2) —, llll = o.

du Elle admet pour intégrale la suivante :

X C fy(u) du

il faudra donc, pour que ~k soit algébrique, qu'il en soit de même de la quadrature

et l'on retrouve ainsi, par un calcul facile, la condition à la fois nécessaire et suffisante qui résulte du théorème de M. Henneberg.