La solution que nous venons d'exposer est purement ana

SURFACES INSCRITES DANS UNE DÉVELOPPABLE. l\*]\

lytique; la suivante offre l'avantage de conduire à une construction géométrique simple des surfaces minima algébriques inscrites dans la développable (A).

Soit (R) l'arête de rebronssement de cette développable : rapportons les points de l'espace, comme nous l'avons déjà fait (Livre I, Gliap. I), au trièdre mobile (T) formé par la tangente, la normale principale et la binormale à cette courbe. Les projections sur ces trois axes des déplacements infiniment petits d'un point, dont les coordonnées relatives à ces axes sont X, Y, Z, auront pour expressions (n°4)

dX. -+- ds ds,

(10) { d\ + (- — -) ds.

dL -\ as.

Cela posé, le problème sera résolu si l'on trouve deux courbes algébriques (C), (C0), l'une (C) tracée sur la développable (A), l'autre (C0) située dans l'espace, satisfaisant aux conditions suivantes : les éléments coi^respondants des deux courbes seront à la fois égaux et perpendiculaires; de plus, si M et M0 sont les points correspondants de ces deux courbes, le plan tangent en M à la développable (A) devra être parallèle à la tangente en M0 à (C0). En effet, si l'on considère la surface minima inscrite à (A) suivant la courbe (G), la courbe (C) aura pour conjuguée (C0)sur la surface adjointe, et, ces deux courbes (G), (C0) étant algébriques, il en sera de même de la surface minima.

Soient #, o, o les coordonnées de M par rapport au trièdre (T) eta?0,JKo7 so celles de M0. Les projections du déplacement de M seront, d'après les formules rappelées plus haut,

(ii) dx -t- ds. 7 o;

celles du déplacement de M0 seront de même

(12) dx0 -h ds — — ds, dy0 4- ( — — ^-j ds, dz0 -+- — ds.

En exprimant que la tangente en M0 est parallèle au plan des xy,

\~i. LIVRE III. — CHAP. IX.

on trouve cette première condition

dZty

Si l'on écrit ensuite que les deux déplacements sont à la fois égaux et perpendiculaires, on obtient les deux conditions nouvelles

(dx -+- ds) ( dcc0-+- ds — — — \ H dy0-±- ( — ° — ^ j ds = o,

que l'on ramène facilement aux suivantes

( dx ■+■ ds ) = dy0 -+- ( — — — ) ds,

x ds , , Yn ds = dx0 -+- ds — ,

où les signes se correspondent. Il est aisé de voir que les équations (i3) et (i/j) peuvent donner les valeurs de y0: z0, x en fonction de x0 ; car, si l'on différence la seconde des équations (14) après l'avoir écrite sous la forme

\ ds

on obtient, en tenant compte de la première, la relation nouvelle

x0 z0 d V /dx0 \~]

qui, jointe à l'équation (i3) et à la seconde équation ( 1 4) •> nous donne les valeurs suivantes de z0,y0, x :

dz0 ds

fdxn

V ds

Ces formules donnent la solution complète du problème proposé. Si la développable (A) est algébrique, il suffira de prendre

pour .r0 une fonction algébrique du paramètre dont dépendent algébriquement les éléments de la développable; les fonctions s„, y0, x et, par suite, la surface minima correspondante seront également algébriques.

2o6. Les formules que nous venons d'obtenir s'interprètent géométriquement de la manière suivante.

Construisons {fi g. 16) le trièdre (T) et soit PRQ le plan défini

par l'équation

Fis. 16.

Quand le trièdre (T) se déplace, ce plan enveloppe une développable (D); si x0,y', z' désignent les coordonnées d'un de ses points, les projections du déplacement de ce point sur les trois axes seront, conformément aux formules (10),

(17) dxo-h ds (1 — —j, dy'-

Par conséquent, l'équation

~ j ds,

dz'^^—ds.

dx0 -+- ds ( 1 — — ) =0,

qui définit les points du plan dont le déplacement est perpendiculaire à Ox, c'est-à-dire parallèle au plan, représentera la génératrice de contact du plan avec son enveloppe (D); la droite QS

17Î LIVRE III. — CHAP. l\.

ainsi obtenue esl évidemment parallèle à Os et l'on déterminera son point de contact S avec l'arête de rebroussement (S ) de (D), en écrivant L'équation

dy' -+- ( — — — ) ds = o,

pin laquelle on exprime (pie le déplacement de ce point est aussi perpendiculaire ;'< Oy. Les deux formules précédentes nous conduisent, pour les coordonnées du point S, aux expressions

La comparaison de ces résultats avec La première des formules (16) nous donne d'abord

(19) z0 = z'zpx.

D'après cela, si l'on porte sur SQ une longueur

ST =q=T,

le plan HRT, mené par le point T parallèlement au plan des xy, aura pour équation

et, si nous désignons par x", y" , z0 les coordonnées d'un quelconque de ses points, les projections du déplacement de ce point seront

( ao ) dx" ■+■ ds ( 1 — — ) > dy" ■+■ ( - — - — ) ds, dz^ -+- *L ds ;

par suite, l'équation

(ai) y =—^— = y0

définira l'arête de contact NN' du plan avec la développable qu'il enveloppe, développable que nous désignerons par (A0); el, si l'on joint à la précédente la relation

dy" x" z* (aa) ^-h =0,

as a 1

SURFACES INSCRITES DANS UNE DÉVELOPPABLE. /[yr»

ces deui formules) m (22) définiront le point de contact S de NN' avec l'arête de rebroussement de (A0).

Lepoint \I() où la droite YY coupe le plan PRQ a pour coordonnées a?0) Xoi so! il décrit donc la courbe cherchée (Co), tandis

que la droit*- \ Y engendre lu développable (A<>). Si l'on remarque enfin que la dernière formule (16) peut se mettre sous la forme

on sera conduit â la construction suivante :

Etant donnée la développable \ A), on construit une courbe algébrique > S ) dont les tangentes soient perpendiculaires aux plans tangents de (A) et don t. les plans osculateurs soient, par suite, perpendiculaires aux génératrices de (A); sur une droite SQ tangente en .s à (S), on porte la longueur

ST=±t,

% désignant le rayon de torsion de l'arête de rebroussement (R) rfe A | a« point 0 où cetfte courbe R I w/ touchée par le plan tangent de ; A | perpendiculaire à SQ. £^ £>/a/z mené par le [joint l normalement à SQ enveloppe la développable (Afl) g/ fa touche suivant une droite YY. nécessairement parallèle à la tangente de ' R ; £/J O. La projection YJ,, ûfe /;a//v. des points S. 'I .*//:/• ce^e génératrice de (A0) décrit la courbe (Co). Pour obtenir la courbe (C I, oaj portera, sur la tangente de (R) 0/1 0 /./a?'? longueur égale à

2o7. De cette construction générale on peut déduire toutes celles qui sont relatives â des cas particuliers et qui ont été donnée- par Lie. Supposons d'abord que la développable 'A; soit un cône : son arête de rebroussement, réduite a un point, devra être considérée comme homothétiqueâ une courbe finie, le rapport d'homothétie étant, nul. Il faudra donc supposer dan-, la construction précédente

Le point T se confondra donc avec le (joint S et le plan flk'I

deviendra le plan normal en S à la courbe (S). Par suite, la ligne NN' sera Taxe du cercle oscillateur et le point M0 le centre de courbure de (S). On est ainsi conduit à la construction suivante, qui est due à Lie (') :

Pour obtenir la surface minima algébrique la plus générale inscrite dans un cône algébrique, on construira une courbe algébrique quelconque (S) dont les plans oscillateurs soient perpendiculaires aux génératrices du cône, et i 'on portera sur chacune des génératrices du cône, à partir du sommet, une longueur égale au rayon de courbure de [S) au point correspondant. L'extrémité de cette longueur décrira sur le cône la courbe (C) de contact d'une surface minima algébrique, inscrite dans le cône; la surface adjointe de cette surface minima contiendra le lieu des centres de courbure de (S).

258. Nous indiquerons une autre application particulière relative au cas où la courbe (S), mentionnée au n° 256, se réduit à un point. S'il en est ainsi, les composantes (17) du déplacement du point S devront être toutes nulles, et l'on aura à ajouter aux équations (18) la suivante :

Y dz'-h — ds = o,

qui nous donne

Comme on a, d'ailleurs,

dz'

dz0 ds

l'expression (23) de x prendra la forme

d(z0 — z') X = ^Z ds

ou, en tenant compte de l'équation (19),

(l) Mathematische Annalen, t. XV, p. 4^8.

Cette expression de x donne le curieux théorème suivant :

Etant donnée une courbe algébrique (R), si Von porte sur les tangentes à cette courbe, à partir du point de contact, une longueur égale à

on obtiendra une courbe (G) suivant laquelle une surface minima algébrique (M) sera inscrite à la développab le formée par les tangentes de (R).

Remarquons, une fois pour toutes, que les propositions données dans ce Chapitre sont applicables aux courbes et aux développa blés transcendantes. Dans ce cas, au lieu de surfaces minima algébriques, les opérations indiquées nous donneront des surfaces minima que Ion pourra déterminer sans aucune intégration. C'est ainsi que le théorème précédent nous conduit, si la courbe (R) est transcendante, à une surface minima dont on peut écrire les équations sans aucun signe de quadrature.

Nous laissons au lecteur le soin de vérifier directement cette proposition par l'application des formules de M. Schwarz. On trouve ainsi pour déterminer la surface les formules suivantes :

qui font connaître les coordonnées, relatives à des axes fixes, d'un point quelconque de la surface.

a, «', a"; b, b\ b" ; c, c', c" y désignent respectivement les cosinus directeurs de la tangente, de la normale principale et de la binormale en un point de la courbe considérée. Ces cosinus directeurs satisfont aux formules de Serret-Frenet (n° 4).

259. La proposition que nous venons d'établir dans le numéro précédent donne une solution particulière du problème général qui fait l'objet de ce Chapitre. On doit à Lie une construction

[" dx . ( dx x = &L \ x -\- ax —. — \- tx ( b — ds \ ds

-, T , dx . / }, dx

<d r „ dx . ( .„dx z = Sv 1 z -\- a x— — i- ix b -=- ■ ds \ ds

dt\

élégante qui permet de le résoudre d'une manière complète lorsqu'on en connaît une seule solution particulière, obtenue d'ailleurs d'une manière quelconque; nous allons montrer comment les résultats précédents conduisent à la proposition de Lie.

Pveportons-nous aux formules (16), que nous écrirons sous la forme suivante :

en introduisant les angles de contingence et de torsion, de, drt{ ; et supposons que l'on ait déterminé la surface minima correspondante à une valeur particulière x'0 de x0. Si l'on veut obtenir la solution correspondante à la fonction algébrique la plus générale que nous mettrons sous la forme

il faudra ajouter aux valeurs trouvées y'0, z'0, x' dejKo, zoi x des termes y"o: z"0, x" que l'on obtiendrait, par suite de la forme linéaire des équations (^5), en remplaçant dans ces équations x0 par x"0 et supprimant les termes qui ne contiennent pas x0: c'està-dire en faisant

ce qui revient à supposer que la développable (A) se réduit à un cône. En particulier;, la quantité x" qu'il faudra ajouter à x' sera la même que si la développable (A) se réduisait à un cône; cette remarque, jointe à la construction déjà donnée (n"257) pour le cas particulier du cône, nous conduit au théorème de Lie :

Si Von a obtenu une surface minima (M) inscrite dans la développable (A), on construira la courbe algébrique (C) la plus générale dont les tangentes sont perpendiculaires aux plans tangents de (A) et Von portera sur chaque génératrice de ( A), à partir du point de contact de cette génératrice avec la surface (M), une longueur égale au rayon de courbure de la courbe (C) au point correspondant. L'extrémité de cette

longueur décrira la courbe de contact de La surface minima algébrique la plus générale inscrite dans la développable (A).

260. Aux deux solutions différentes que nous venons de donner successivement on peut ajouter la suivante, que nous allons développer, parce qu'elle repose sur une génération nouvelle des surfaces minima, obtenue dans un important Mémoire de Ribaucour ( ' ).

Nous avons vu (n°220) comment on obtient la surface minima la plus générale au moyen de deux courbes minima (T), (T,); si M, M| sont deux points appartenant respectivement aux deux courbes, le milieu lu du segment MMt (/?£"• 17) décrit la surface minima et le plan langent en pi est parallèle aux deux droites MT, M,T,, tangentes en M et en M, respectivement aux deux courbes (T), (T,). Soit(P) le plan oscillateur en M à (T), nous désignerons par (S) la développable qu'il enveloppe et dont (T) est l'arête de rebroussement; nous désignerons de même par (P<)

Fig. 17.

le plan oscillateur en M, à(r,) et par (S,) la développable dont l'arête de rebroussement est (T,). Les deux plans (P), (Pi) se coupent suivant une droite qui touche respectivement les deux développables en a et en af ; je vais d'abord prouver que cette droite ax, est perpendiculaire au plan tangent en jj. à la surface minima.

(l) Ribaucour, Etude des élassoïdes ou surfaces à courbure moyenne nulle {Mémoires couronnés et Mémoires des savants étrangers publiés par l'Académie royale de Belgique, in-4°, t. XLIV, 1881).

48o LIVRE III. — f,H,\P. IX.

Tl suffit, pour le reconnaître, de se rappeler la propriété caractéristique des plans tangents au cercle de l'infini : toute droite perpendiculaire à un tel plan lui est aussi parallèle et va passer par le point de contact du plan avec le cercle de l'infini. Il résulte de là que la tangente MT située dans le plan (P) lui sera perpendiculaire et sera, par suite, perpendiculaire à la droite aa,, située dans ce plan. Pour la même raison, aa, sera perpendiculaire à M,T, ; elle sera donc perpendiculaire au plan tangent en u., qui est parallèle à la fois à MT et à M, T, .

Ce point étant établi, nous remarquerons de plus que le plan tangent en ij., qui est parallèle aux deux droites MT, M|T,, est aussi à des distances égales de ces deux droites; il passera donc nécessairement par le milieu (3 du segment de droite aa|.

En réunissant tous ces résultats, on obtient évidemment le mode de génération suivant des surfaces minima, qui a été donné par Ribaucour :

Si l'on considère deux développables (S), (S,), circonscrites l'une et V autre au cercle de l'infini, la surface minima laplus générale est l'enveloppe des plans perpendiculaires à toutes les tangentes communes de ces deux développables, ces plans étant menés à égale distance des deux points de contact de ces tangentes communes.

Cette définition est moins simple et moins complète que celle de Lie, qui détermine à la fois le point et le plan tangent de la surface minima; mais elle offre l'avantage de ne faire intervenir que les plans tangents, et elle associe à la surface minima, lieu du point (u, la surface lieu du point (3, à laquelle Ribaucour a donné le nom de surface moyenne et dont il a fait connaître un grand nombre de propriétés remarquables.

Les droites aa, dépendent évidemment de deux paramètres et elles engendrent ce que l'on appelle un système de rayons rectilignes ou une congruence. Comme elles sont tangentes à la fois aux deux développables (S), (S, ), il est clair que toutes les surfaces réglées formées de ces droites qui contiendront, par exemple, l'une d'elles aa, seront tangentes, les unes aux autres, aux points a et a, .

Les plans tangents communs en ces deux points, étant ceux des

développables (A), (A,), sont, par cela même, tangents au cercle de l'infini. Or, il est aisé d'établir, soit par l'Analyse, soit par la Géométrie, la proposition suivante :

Etant donnée une surface réglée, si, par une de ses génératrices, on mène les deux plans tangents au cercle de V infini, le segment formé par les deux points de contact de ces plans a pour milieu le point central de la génératrice ; de plus, il est égal au paramètre de distribution multiplié par i i (1 ).

11 suit de là que la surf ace moyenne de la congruence est le lieu des lignes de striction de toutes les surfaces réglées formées avec des droites de la congruence, et que le paramètre de distribution est le même pour toutes celles de ces surfaces qui contiennent une même droite de la congruence. Pùbaucour, à qui sont dus ces résultats, les a obtenus par des méthodes qui en font moins bien connaître la véritable origine.

Ces propriétés de la congruence précédente, qui a reçu de Ribaucour le nom de congruence isotrope, conduisent à une solution très simple du problème que nous avons à résoudre. En effet, si l'on considère une développable (A) circonscrite à une surface minima, les droites aa< perpendiculaires aux. divers plans tangents de (A) formeront une surface réglée dont la ligne de striction devra être décrite par le point de la droite aa, qui se trouve dans le plan tangent correspondant de (A). Nous sommes ainsi conduits à la proposition suivante :

(!) Si l'on prend, en effet, la droite pour axe des z, le plan central pour plan des xz et si l'on place l'origine au point central, la surface réglée a, en tous les points de la droite, les mêmes plans tangents que le paraboloïde défini par l'équation

où a est le paramètre de distribution. Pour un plan tangent au cercle de l'infini, on doit avoir

On obtient donc pour z les deux valeurs

+ oii, — ai;

d'où résulte immédiatement le théorème.

Pour obtenir toutes les surfaces minima inscrites clans la développable (A), on déterminera toutes les surfaces réglées dont les génératrices sont normales aux plans de (A) et qui ont pour ligne de striction la courbe engendrée par le point de rencontre de chacune de ces génératrices avec le plan correspondant de ( A). Les arêtes de rebroussement des deux développables circonscrites à la surface réglée et au cercle de V infini seront les deux courbes (T), (T, ) au moyen desquelles on peut engendrer la surface minima.

Foui1 déterminer les surfaces réglées satisfaisant aux conditions que nous venons d'énoncer, reprenons les méthodes du n° 255 et rapportons les points de l'espace au trièdre (T) relatif à l'arête de rebroussement (R) de (A). La droite qui engendre la surface réglée cherchée aura pour équations, relativement à ce trièdre,

et le déplacement d'un de ses points (a?l? y{, zt), dans un mouvement infiniment petit du trièdre, aura pour composantes

, 7 Y\ ds , xids z{ds , Y\ds dxi -+- ds — , dv\ -\ 1 dzx -4- •

Le plan tangent en ce point à la surface réglée aura donc pour équation

dx\ -+- ds —

x — xx p

y—Yi , , xxds zxds dv\ H

Quand zK varie, on obtient les plans tangents en tous les points de la droite ; en particulier, pour zK = oo, on trouve le plan

X = .Tj.

Le plan central, devant être perpendiculaire au précédent, correspondra à la valeur de ^, donnée par l'équation

7 X\ ds Z\ ds

Comme le point central doit être dans le plan des xy, la valeur de z{ déterminée par cette équation devra être nulle; il faudra

donc que l'on ait

xx ds

ayi -+- - ■ = o

P ou

/ c\ dyt dyx

Cette formule si simple résout complètement le problème proposé; on choisira arbitrairement )',, et elle donnera xt.