L'équation précédente admet une solution évidente

(27) a?i = o, yi=h,

h désignant une constante quelconque. Nous allons poursuivre cette application particulière, parce qu'elle mettra en évidence de curieuses relations entre certaines surfaces minima et les courbes de Bertrand, étudiées au Livre I, Chapitre I.

Pour obtenir les deux développables qui figurent dans la génération de Ribaucour et dont les arêtes de rebroussement sont précisément les courbes (T), (T, ) au moven desquelles S. Lie engendre la surface minima, il faudra évidemment prendre l'enveloppe de chacun des plans qui passent par la droite (27) et sont tangents au cercle de l'infini. Soit

(28) y — h — ix = o

l'équation de l'un de ces plans; celle de l'autre s'obtiendra en changeant i en — i.

La droite de contact du plan (28) avec son enveloppe sera évidemment le lieu des points dont le déplacement se fait dans ce plan. Si donc Dx, Dr, Dz désignent les composantes, relatives aux axes du trièdre (T), du déplacement du point dont les coordonnées relatives sont x, y, 5, on devra avoir, pour tous les points de cette

droite,

ou, en remplaçant D^, Dr par leurs valeurs,

dy -+- ( — — - ) ds -h i\ dx -t- ( 1 — — ) ds = o .

Si l'on tient compte de l'équation (28) et de sa différentielle, il

vient

(ag; z=— ix-Arih--

Cette équation, jointe à la précédente, définit la droite de contact du plan (28) avec la développable qu'il enveloppe. Pour avoir le point de contact de cette génératrice avec l'arête de rebroussement de la développable, il faut évidemment joindre aux équations (28), (29) la condition suivante :

ui nous donne

dz . V di d /z\~\

y ~ ds ~~ \^ds ds \ p / J

de sorte que l'une des courbes minima(r)au moyen desquelles on peut engendrer la surface est définie parles expressions suivantes :

idx d /t\

x = 1 — h 1 — - ) -4- in, as d s \ p

. d~ ., d lx ^ = lzd-s-lhxds(-.

des coordonnées d'un de ses points relatives au trièdre (T). L'autre courbe (1^) s'obtiendrait en changeant i en — i.

Si nous considérons les points de ces deux courbes (T), (T^qui correspondent au point réel de la courbe (Pi) qui est le sommet du trièdre (T), il est clair que le milieu de la droite qui les joint a pour coordonnées relatives au trièdre mobile,

dz d i

x = i— nt— , y = o, ~ = o.

ds ds p

Nous avons donc le théorème suivant, qui complète celui du n° 258 :

Etant donnée une courbe gauche (R), si Von porte sur les tangentes de cette courbe, à partir du point de contact, la longueur

dx d

ds ds

h désignant une constante quelconque, on aura une courbe (C) suivant laquelle une surface minima pourra être inscrite à la développable engendrée par les tangentes de (R). Cette surf ace minima se déterminera sans aucune intégration. Elle sera algébrique si la courbe (R) est algébrique.

Si l'on adopte les mêmes notations qu'à la fin du n° 258, les coordonnées d'un point de cette surface, relatives à des axes fixes, seront données par les formules

( 3 1 ) { v\. — <& 1 x -+- ( a! -+- ib' ) \z — h t-=- ( - I -+- a' hi— c'i-zi i

{ Jl ds rf.v\p/J \ P

La proposition précédente entraîne beaucoup de corollaires intéressants. Supposons d'abord qu'on ait

h = o, x = const.

La longueur à porter sur les tangentes de (R) sera nulle et nous pourrons énoncer la proposition suivante :

Toute courbe à torsion constante peut être prise pour ligne asymptotique d'une surface minima qui se détermine sans aucune intégration si la courbe (R) est connue, et qui est algébrique si'(K) est algébrique.

Les formules (3i)qui déterminent la surface minima deviennent alors

(32) xx = Sl'x — cix), yl = SK.(y — c'i'z), zl — Sl(z — c"i'z).

Elles donnent lieu à la conséquence suivante :

Désignons par (M) la surface définie par les équations (3a); sa surface adjointe (M0) sera évidemment définie par les équations

(33) x0 = &.(ct: -hix), y0 — $i.(c''z-ï-iy), z0 = S{.(c"v -t- iz).

Le point m0 de (M0) qui correspond à un point réel m de la courbe (&.) sera donné par les formules

xa=-cx, y0=c'z, z0=c"z,

desquelles il résulte que ce point décrit une courbe située sur la sphère

•7-2 | v1 , zt -2

Comme, au point m0, la normale à la surface (M0) est parallèle à la normale en m à (M), nous voyons que les cosinus directeurs de la normale en m0 seront c, c', c" . Donc :

La surface adjointe (M0) sera inscrite à la sphère de rayon i suivant une courbe qui pourra servir d'indicatrice sphérique aux binormales de (R).

Nous laissons au lecteur le soin de démontrer la réciproque et de prouver que, si une surface minima est inscrite à une sphère, la courbe qui, sur la surface adjointe correspond à la courbe de contact, est une courbe à torsion constante, ligne asymptotique de la surface adjointe.

Ces élégantes relations entre les surfaces minima inscrites à une sphère et les courbes à torsion constante sont dues à M. E. Cosserat ('). Elles montrent, en particulier, que la détermination des surfaces minima algébriques inscrites dans une sphère et celle des courbes algébriques à torsion constante constituent deux problèmes équivalents.

%&£. Mais les résultats précédents ne sont que des cas particuliers de propositions plus générales auxquelles conduisent les formules (3o) et (3i).

Supposons maintenant que la courbe (R) soit une courbe de Bertrand. D'après ce que nous avons vu au n° 10, la relation linéaire entre les courbures pourra être mise sous la forme

w et C désignant deux constantes. En supposant que la constante h qui figure dans les énoncés précédents ait été prise égale à C, on

( x ) E. Cosserat, Sur les courbes algébriques à torsion constante et sur les surfaces minima algébriques inscrites dans une sphère {Comptes rendus, t. CXX, i8g5, p ia52 ).

donnera à la relation entre les courbures la forme

que nous emploierons désormais.

Alors les formules (3o) qui nous donnent les coordonnées, relatives au trièdre (T), du point qui décrit la courbe minima (T) deviennent

(34) x = ih, y = o, z = — ih cot co.

Les formules (3i) se simplifient beaucoup et nous donnent ici

( X\ = §V{x -H a ih — c ih cot m),

( 35 ) { yi = cH. (y -+- a' ih — c' ih cot w ),

( Z\ = M.(z -+- a" ih — c" ih cot u>).

La surface minima (M) déterminée par ces formules contient évidemment la courbe (R), dont on obtient les points en supposant réelles les coordonnées x, y, z-. Comme les cosinus directeurs de la normale sont c, c', c", on voit même que cette courbe (R) est une ligne asymptotique de (M).

La surface (M0) adjointe à (M) est ici déterminée par les formules

( x0 = ài(c hcolio — a h -+- ix),

( 36 ) < y0 = Si. ( c' h co t 10 — a' h -+- iy).

\ z0 = Si. ( c" h co t w — a" h -+- i z).

Par suite, la courbe de (M0) qui correspond à (R), c'est-à-dire à des valeurs réelles de x, y: s, est déterminée par les formules

3j) x0=chcoloi — ah, y0 = c' h cottï> — a' h, z0=c"hcotià — a" h, d'où l'on déduit immédiatement qu'elle est sur la sphère

(38) xl+yî + z'

sin2co

Comme cette courbe correspond à une ligne asymptotique de (M), elle doit être une ligne de courbure de (M„). Et, en effet, il est facile de vérifier ici, conformément au théorème de Joachimsthal, que (M0) coupe la sphère précédente sous l'angle constant w. Car les cosinus directeurs du rayon de la sphère qui aboutit au point

(x0,y0, z0) sont

ccosto — asm eu, c'cosw — a'sinco, c" cos w — o"sinu>.

Ainsi :

Toute courbe de Bertrand est ligne asymptotique d'une surface minima (M) qui se détermine sans aucun signe de quadrature. La ligne qui lui correspond sur la surface adjointe est une ligne de courbure sphérique de cette surface adjointe.

Nous laisserons au lecteur le soin de démontrer la réciproque. Et nous nous contenterons d'énoncer la proposition suivante :

Étant donnée une courbe de Bertrand (R), adjoignons-lui la courbe (Ri) qui a les mêmes normales principales. Soient M, M( deux points correspondants de ces courbes, situés sur la même normale principale. Par M menons une parallèle (D) à la binormale de (R() enMt et, par Mt, une parallèle (D,) à la binormale en M à (R). Les deux droites (D), (D^ forment, comme on sait, un système invariable. Si l'on mène, par chacune de ces droites, les plans tangents au cercle de l'infini, on obtient un tétraèdre invariable dont deux sommets P, P' sont sur la droite (D) et les deux autres sommets P,, P', sur la droite (Df). Les quatre points P, P', P( , P[ décrivent des courbes minima dont les plans oscillateurs sont les faces du tétraèdre. Les deux courbes minima décrites par P, P' permettent d"1 engendrer une surface minima qui contient (R) et admet cette courbe comme ligne asymptotique. De même, les deux courbes minima décrites par P1? P', permettent d' engendrer une surface minima qui admet (R)) comme ligne asymptotique. Aux deux surfaces minima ainsi obtenues correspondent, comme adjointes, deux surfaces minima coupant la même sphère suivant deux courbes parallèles et sous un même angle constant, qui est égal à V angle des deux droites (D), (D, ).

263. Après cette application particulière, revenons au cas général. Nous terminerons en remarquant qu'on peut toujours résoudre l'équation (26) par de simples constructions géométriques.

Pour cela, nous construirons, d'une manière quelconque, une surface réglée (K') dont les génératrices soieut perpendiculaires aux plans tangents de (A), et nous mènerons le plan perpendiculaire à chacune des génératrices de (K') en son point central. Les différents plans ainsi obtenus envelopperont une développante (A') pour laquelle on aura évidemment une solution du problème proposé, fournie par la surface réglée (K'). Comme les angles de contingence et de torsion sont les mêmes pour les arêtes de rebroussement de (A) et de (A'), la solution fournie par (K') relativement à (A') fera connaître les fonctions les plus générales xt, yK vérifiant l'équation (26). Il suffira donc, pour avoir la solution générale du problème posé, de construire la surface (K) dont chaque génératrice a, par rapport au trièdre (T), relatif à un point de l'arête de rebroussement de (A), la même position que la génératrice correspondante de (K') par rapport au trièdre (T') dont les arêtes sont parallèles à celles de (T) et qui est relatif au point correspondant de l'arête de rebroussement de (A'). En d'autres termes, pour avoir la droite de (K), il faudra imprimer à la droite de (K/) une translation égale à celle qui amènerait le trièdre (T) en coïncidence avec le trièdre (T).