CHAPITRE X

LE PROBLÈME DE PLATEAU. DÉTERMINATION DE LA SURFACE MINIMA PASSANT PAR UN CONTOUR DONNÉ COMPOSÉ DE LIGNES DROITES, OU DE PLANS QUE LA SURFACE DOIT COUPER NORMALEMENT.

Historique. — Indication des travaux de Riemann, de Weierstrass et de M. Schwarz. — Exposition générale de la méthode à suivre dans le cas où il n'y a pas de point de ramification. — Surface minima passant par deux droites, — coupant à angle droit deux plans donnés et contenant une droite donnée, — passant par trois droites dont l'une coupe les deux autres, — passant par les quatre côtés d'un quadrilatère gauche quelconque. — Introduction des points de ramification. — Propriétés géométriques relatives à ces points. — Solution générale du problème proposé.

264. Nous allons maintenant compléter l'exposition des propriétés les plus simples des surfaces minima en indiquant les principaux résultats qu'ont obtenus les géomètres dans l'étude de la question suivante, posée par Lagrange, et qui a donné naissance à toute la théorie :

Déterminer la surface minima, parfaitement continue ou assujettie à des discontinuités de nature connue, passant par un contour fermé.

On sait que Plateau a résolu ce problème par l'expérience, en plongeant le contour donné, réalisé physiquement, dans une dissolution de liquide glycérique. L'Analyse mathématique n'a pu, jusqu'ici, imaginer aucune méthode générale permettant de commencer l'étude de cette belle question. Toutefois, dans le cas, particulièrement intéressant, où le contour est formé de lignes droites, et dans celui où quelques-unes des portions de ce contour sont remplacées par des plans que la surface doit couper normalement, les propositions que nous avons fait connaître relativement aux diverses représentations conformes de la surface ont permis de préparer la solution du problème, et même de le

résoudre d'une manière complète pour certaines formes simples du contour. Les principaux résultats acquis à la Science dans cet ordre de recherches sont dus à Riemann, à Weierstrass et à M, Schwarz.

Nous avons déjà cité plusieurs fois le Mémoire fondamental de Riemann, présenté, le 6 janvier 1 867, par M. Hattendorf à la Société Royale de Goetlingue et inséré clans le Tome XIÏI des Mémoires de cette Société (' ). Ce beau travail, qui figure dignement à côté des plus importantes productions de son illustre Auteur, contient des applications très intéressantes des vues nouvelles et profondes que Riemann a apportées en Analyse. On peut le considérer comme composé de deux parties bien distinctes. Dans la première, Riemann étudie d'une manière générale les surfaces minima; il y fait connaître, en dehors des propositions que nous avons établies, une formule remarquable qui n'a pu trouver place dans notre théorie, et qui est relative à l'aire d'une portion limitée de la surface; il y emploie en particulier le système de coordonnées, dont la première idée appartient à O. Bonnet ( n° 181); c'est-à-dire qu'il détermine un point de la sphère et le point correspondant de la surface minima par la valeur de la variable complexe qui est l'affixe de ce point (nos 27 et 164). Les transformations de coordonnées, dont Riemann fait usage à différentes reprises, mettent naturellement en évidence le fait si souvent signalé dans les pages qui précèdent : Toute transformation des coordonnées, ou tout déplacement, s'exprime par une substitution linéaire particulière effectuée sur la variable complexe, proposition dont l'importance et l'intérêt n'ont été pleinement reconnus que depuis la publication des beaux travaux de M. F. Klein relatifs à l'intégration des équations linéaires du

(') Dans une note placée au commencement du Mémoire {Riemann' s gesammelte Werke, p. 283), M. Hattendorf nous apprend qu'il a dû rédiger entièrement le Mémoire d'après un manuscrit de Riemann qui ne contenait absolument que les formules et les résultats. Ce manuscrit, qui est daté des années 1860 et 1861, a été envoyé à M. Hattendorf en avril 1866. On sait que Riemann est mort en Italie au mois de juillet suivant.

Dans un travail présenté comme thèse en 1880 à la Faculté des Sciences, M. Niewenglowski a fait connaître en France les principaux résultats obtenus par Riemann. Voir le Mémoire : Exposition de la méthode de Riemann pour la détermination des surfaces minima de contour donné, inséré aux Annales de l'Ecole Normale, t. IX, 2e série, p. 227.

4ç)2 LIVRE III. — CHAP. X.

second ordre, à l'icosaèdre et à Ja résolution des équations algébriques.

La seconde Partie du Mémoire est presque entièrement consacrée à la détermination de la surface minima limitée par un polygone gauche dont tous les côtés sont rectilignes ('). Riemann n'exclut même pas le cas où le contour serait partiellement ouvert et où la surface devrait avoir des segments infinis, analogues à cette portion de l'hélicoïde gauche à plan directeur qui s'étend à l'infini entre deux génératrices rectilignes de la surface. Après avoir développé la solution générale du problème, solution qui exige la formation, toujours possible, d'une équation différentielle linéaire et la résolution d'un système d'équations transcendantes, dont l'étude est laissée de côté, au moins dans le cas général, Riemann aborde les applications et examine successivement les contours suivants :

i° Deux droites infinies qui ne sont pas dans le même plan.

Si l'on suppose que le secteur infini s'étendant entre les deux droites n'a pas de discontinuité ni de point de ramification, on trouve l'hélicoïde gauche à plan directeur.

2° Trois droites, dont deux se coupent, la troisième étant parallèle au plan des deux autres.

Sous les réserves précédentes, la solution, ici encore, est complète et les formules définitives sont obtenues.

3° Trois droites, placées d1 une manière quelconque dans V espace.

Pour bien se représenter le problème résolu par Riemann, on peut imaginer un hexagone gauche. Si trois côtés non consécutifs de cet hexagone s'éloignent indéfiniment, les trois autres restant fixes, la surface minima qui était limitée par les six côtés de l'hexagone tend vers une surface à trois secteurs infinis, dont on aperçoit aisément la forme générale. C'est cette surface que détermine Riemann.

(!) Riemann y montre aussi que l'on peut résoudre le problème de Plateau pour le cas où le contour est composé de deux cercles quelconques situés dans deux plans parallèles (voir n° 252).

4° Un quadrilatère gauche quelconque.

Riemann forme l'équalion linéaire du second ordre, dont dépend la solution du problème. Cette équation, que nous donnerons plus loin, a une forme très remarquable qui la rapproche de l'équation de Lamé. On n'a pu encore l'intégrer dans le cas le plus général; Riemann considère le cas particulier où les quatre côtés du quadrilatère sont aussi les arêtes d'un tétraèdre régulier, et il obtient alors la solution du problème par une méthode directe et très élégante, que les travaux déjà rappelés de M. Klein nous aident à comprendre dans tous ses détails.

5° Trois droites, dont V une rencontre les deux autres, en sorte que la surface a deux sommets et un secteur infini.

6" Deux polygones rectilignes non étoiles situés dans deux plans parallèles.

Ces deux derniers exemples ont été publiés pour la première fois dans les Œuvres de Riemann (').

265. Les résultats précédents demeurent, aujourd'hui encore, les plus complets et les plus généraux parmi ceux qui ont été publiés sur le problème qui nous occupe. Mais, quelques jours avant la présentation du Mémoire de Riemann à la Société de Gceltingue, le 20 décembre 1866, Weierstrass avait communiqué à l'Académie de Berlin, dans une Note de deux pages (2), le résumé de ses recherches sur le même sujet.

Les résultats annoncés par Weierstrass sont en parfait accord avec ceux de Riemann.

Toutes ces recherches, même celles que l'illustre géomètre n'a pas publiées de son vivant, ont été rassemblées dans le Tome III de ses Mathematische Werke.

266. Les premiers travaux de M. Schwarz ont été publiés avant les précédents; mais ils sont relatifs à un problème particulier. Dans une courte Note insérée en 1 855 aux Comptes rendus de

(*) Riemann, Œuvres mathématiques, traduites par L. Laugel, p. 384. (2) Monatsberichte der K. P. Akademie, 1866, p. 855.

l'Académie de Berlin ('), M. Schwarz se reporte à des éludes antérieures relatives à la représentation conforme de la surface d'un polyèdre sur la sphère, études qui ont été publiées dans le Tome LXX du Journal de Crelle; et il annonce que la solution de ce problème de la représentation conforme pour les différents polyèdres réguliers permet de déterminer, par l'application d'un théorème de Weingarten qui sera étudié dans la suite de cet Ouvrage, un certain nombre de surfaces minima sur lesquelles se trouvent une infinité de droites. Ces droites ne sont pas isolées les unes des autres; elles se rencontrent mutuellement de telle manière qu'un certain nombre d'entre elles puissent servir de limite à une portion simplement connexe de la surface. C'est ainsi que la surface minima dérivée du cube, surface dont la détermination s'effectue au moyen des fonctions elliptiques de module

—-■> contient une infinité de quadrilatères gauches égaux ; chacun y/a

d'eux est formé avec quatre arêtes d'un tétraèdre régulier et permet de limiter une certaine portion de la surface. On a donc une solution, obtenue, il est vrai, d'une manière indirecte, du problème de Lagrange et de Plateau pour le contour formé par ce quadrilatère régulier.

Le second travail de M. Schwarz est un Mémoire beaucoup plus étendu, couronné en 1867 par l'Académie de Berlin et publié en 1 87 1 sous le titre suivant : Bestimmung einer speciellen Minimal /lâche (2). L'Auteur y aborde, cette fois par des méthodes directes, la détermination de la surface minima passant par les quatre côtés d'un quadrilatère gauche, et il montre que l'on pourra donner la solution complète du problème dans le cas particulier où le quadrilatère gauche est assujetti à l'unique condition d'avoir un plan de symétrie, passant nécessairement par deux de ses sommets opposés. Il considère en particulier, comme Riemann, dont le Mémoire était encore inédit à l'époque où M. Schwarz communiquait son travail à l'Académie de Berlin, le cas remarquable où les quatre côtés du quadrilatère gauche

(:) H. Schwarz, Ueber die Minimums-flàche deren Begrenzung als ein von vie?- Kanten eines regularen Tetraeders gebildetes, windschiefes Viereck gegeben ist (Monatsberichte der K. P. Akademie, i865, p. i49-i53).

(2) Harrwitz und Gossmann; in-4°, Berlin, 1871.

LE PROBLÈME DE PLATEAU. 4ç)5

sont les arêtes d'un tétraèdre régulier; il retrouve alors la surface déjà définie dans sa Communication précédente; on l'obtient en faisant, dans les formules de Weierstrass (n° 188),

s/ 1 — 14 «4-t- us

Enfin, dans un Appendice qui termine le Mémoire, l'éminent géomètre fait connaître certaines surfaces minima, pour lesquelles la fonction 3 (u) est l'inverse de la racine carrée d'un polynôme du huitième degré, et qui contiennent des droites avec lesquelles on peut former des polygones gauches d'une nature spéciale, limitant certaines portions de la surface. Supposons, par exemple, que, dans un parallélépipède rectangle, on supprime les six arêtes qui aboutissent à deux sommets opposés; il restera un hexagone gauche, par lequel on pourra faire passer une des surfaces définies par M. Schwarz;la portion de surface limitée par cet hexagone sera simplement connexe et ne contiendra aucun point singulier. Un autre Mémoire du même Auteur, Fortgesetzte Untersuchungen iiber specielle Minimalflâchen, imprimé en 1 8-2 ( ' ), contient l'étude détaillée et la solution complète d'un problème proposé en ces termes dès 1816 par Gergonne (2) :

Fie. 18.

Couper un cube (fig- 1 8) en deux parties de telle manière que la section vienne se terminer aux diagonales inverses de deux

(') Monatsberichte der K. P. Akademie, janvier 1872. {-) Annales de Gergonne, t. VII, p. 99.

faces opposées et que Paire de cette section terminée à ia surface du cube soit un minimum. Donner en outre V équation de la courbe suivant laquelle la surface coupante coupe chacune des autres faces de ce cube.

On trouve à la page 148 du Tome VII des Annales de Gergonne un essai sur ce problème, dû à Tédenat, recteur de l'Académie de Nîmes, l'un des rédacteurs les plus assidus de ce journal; mais la solution proposée est inexacte. Le calcul des variations permet, en effet, d'établir que la surface cherchée doit couper à angle droit deux des faces latérales du cube, et l'hélicoïde considéré par Tédenat ne satisfait pas à cette condition.

M. Schwarz reprend le problème de Gergonne, ou plutôt il se propose de déterminer toutes les surfaces minima, parmi lesquelles doit se trouver la surface cherchée, qui passent par les deux diagonales inverses de deux faces opposées et qui coupent à angle droit deux autres faces opposées du cube. Le résultat obtenu est particulièrement intéressant : de même qu'il y a une infinité d'hélicoïdes gauches à plan directeur passant par deux droites données, il y a aussi une infinité de surfaces satisfaisant aux conditions que nous venons d'énoncer. Il n'est pas difficile de choisir parmi toutes ces surfaces celle dont l'aire est réellement un minimum.

Dans ce même travail, M. Schwarz fait aussi connaître une extension, très digne de remarque, des résultats de Riemann et de Weierstrass; il substitue au problème abordé par ces deux géomètres, le suivant, qui est beaucoup plus général et se résout, comme nous le verrons, par l'emploi des mêmes principes :

On donne une chaîne continue fermée, composée de segments rectilignes, ou de plans, ou de segments rectilignes et de plans; et l'on propose de déterminer une surface minima, à connexion simple, ne contenant aucun point singulier dans son intérieur, limitée par des segments rectilignes et les plans de la chaîne, et coupant ces derniers à angle droit.

Par exemple, si l'on considère (fg- 19) deux tiges AB, AC réunies en A et appuyant leurs extrémités B et G contre une lame de verre, la surface que l'on obtient en plongeant le système

entier dans le liquide glycérique s'appuie sur les tiges AB, AC et coupe normalement la lame de verre. Cette surface peut être étudiée et définie analytiquement par des méthodes toutes sem-

blables à celles qui avaient été employées antérieurement dans le cas spécial des contours exclusivement composés de lignes droites. Nous nous contenterons des indications précédentes et nous ferons maintenant connaître les principes sur lesquels reposent les recherches dont nous venons d'exposer les résultats, en négligeant les détails, qui exigeraient beaucoup de développements et que l'on trouvera dans les Mémoires originaux.

267. Au Chapitre IV, nous avons signalé deux tracés géographiques différents de la surface minima. L'un d'eux est déterminé par la représentation sphérique de la surface; si l'on adopte les coordonnées u, ut, si souvent employées clans les pages précédentes, la variable complexe a est l'affîxe d'un point réel de la sphère qui est l'image du point correspondant de la surface minima, et la représentation ainsi obtenue constitue, comme l'a montré O. Bonnet (n°203), un premier tracé géographique de la surface minima sur la sphère de rayon i. Si maintenant on introduit la variable complexe définie par l'équation

: / V 1 §{U) du,

et qu'on la représente sur le plan, on obtiendra un nouveau tracé

géographique, dans lequel, nous l'avons vu (n° 204), les lignes de

courbure auront pour représentation des parallèles aux axes coor-

donnés, tandis que les lignes asjmptotiques seront représentées par des parallèles aux bissectrices de ces axes.

La considération simultanée des deux représentations conformes précédentes joue un rôle capital dans les raisonnements qui vont suivre, et conduit par une voie naturelle à la solution du problème proposé.

Si l'on découpe sur une surface minima un segment limité (M), à connexion simple et ne contenant aucun point singulier dans son intérieur, l'intégrale a sera, sous certaines conditions que nous indiquerons plus loin, une fonction uniforme ayant une valeur finie et bien déterminée pour chaque point de (M). La représentation plane de cette portion de surface sera alors une aire plane, limitée, à connexion simple, qui pourra, dans certaines parties, se composer de plusieurs feuillets et qui se terminera à la courbe dont les points correspondent à ceux de la limite de (M). Or, si Von veut que (M) soit limitée par des droites ou par des plans qu'elle coupera normalement, les différentes portions du contour seront des lignes asymptotiques de la surface si elles sont des droites, ou des lignes de courbure si elles sont dans les plans que la surface doit couper normalement. Par conséquent, il leur correspondra, dans le tracé géographique plan, des parallèles aux axes coordonnés dans le second cas, et des parallèles aux bissectrices de ces axes dans le premier. Ainsi, ce tracé géographique se composera d'une aire plane (S) limitée par des droites dont la direction au moins sera connue et qui se succéderont dans un ordre déterminé.

Étudions maintenant la représentation sphérique de (M). Elle se compose d'une aire (S), pouvant recouvrir plusieurs fois certaines parties de la sphère; mais il résulte, comme nous le verrons, des hypothèses faites sur <j que cette aire (S) n'a aucun point de ramification dans son intérieur. Jci encore, on peut déterminer la courbe limite de (S). En effet, pour chaque portion de droite comprise dans le contour, la représentation sphérique sera un arc, plus ou moins étendu, du grand cercle dont le plan est perpendiculaire à cette droite. S'il y a, dans le contour considéré, des plans que la surface doit couper à angle droit, la courbe limite de la surface située dans ce plan sera représentée sur la sphère par une portion de grand cercle dont le plan sera parallèle au plan

du contour : on voit donc que la représentation sphérique (S) du segment ( M) sera limitée par des arcs de grands cercles dont la position sera connue et qui se succéderont dans un ordre parfaitement déterminé.

Les deux aires (S) et (S) constituent deux représentations conformes de la surface (M). Si celle-ci était connue, il est clair que l'on pourrait obtenir une représentation directe et conforme de l'aire sphérique (S) sur l'aire plane (S). Inversement, si l'on a pu déterminer directement ce tracé géographique de (S) sur (S), c'est-à-dire si l'on a exprimé o- en fonction de w, on aura

et la fonction $(u) étant ainsi connue pour toutes les valeurs de u qui correspondent aux diverses parties de (S), le segment (M) sera pleinement déterminé. Nous sommes donc ramenés à la solution du problème suivant :

Réaliser une représentation conforme d'une aire sphérique (S), limitée par des arcs de grands cercles, sur une aire plane (S), limitée par des droites.

Gomme on sait, à l'aide de la projection stéréographique, effectuer la représentation conforme de toute aire sphérique sur une aire plane, on voit que le problème précédent peut encore être énoncé sous la forme suivante :

Réaliser une représentation conforme d'une aire plane (S') limitée par des arcs de cercles, sur une aire plane (S) limitée par des droites.

L'étude de cette belle question de Géométrie plane fera l'objet du Chapitre suivant.

5oO LIVRE III. — CHAP. XI.