CHAPITRE XI

Énoncé du problème à résoudre : faire la représentation conforme d'une aire plane à connexion simple sur une autre aire donnée de même connexion. On peut ramener ce problème au suivant : effectuer la représentation conforme d'une aire donnée (A) sur l'aire d'un cercle de rayon donné, choisi une fois pour toutes. On rappelle les résultats acquis sur ce sujet par les très nombreuses recherches que, depuis Riemann, les géomètres ont consacrées à cette étude, aussi importante pour l'Analyse que pour la Physique mathématique. — Le problème est ramené à la recherche d'une fonction de la variable complexe qui satisfait à des conditions bien déterminées dans l'intérieur de l'aire (A). Application à la portion de l'aire du plan qui se trouve au-dessus de l'axe des x. — Principe posé par M. Schwarz pour résoudre les problèmes de représentation conforme auxquels on a été conduit dans le Chapitre précédent. — Application de ce principe aux aires limitées par des droites. — Cas particulier du triangle et du rectangle. — Des aires limitées par des arcs de cercle. On est conduit à intégrer une équation linéaire dont les coefficients sont connus. — Cas particulier du triangle formé par trois arcs de cercle. — Projection stéréographique du triangle formé par trois arcs de grand cercle de la sphère.

Représentation conforme, due à M. Schwarz, d'une aire elliptique sur une aire circulaire.

268. Nous avons reconnu au Livre II, Chapitre III, que Ton peut faire correspondre à toute fonction Z,—f(z) de la variable complexe une méthode de transformation des figures planes avec similitude directe des éléments infiniment petits, et nous avons exposé les propriétés les plus élémentaires des transformations en nombre illimité que l'on peut ainsi obtenir. Les recherches que nous avons exposées sur le problème de Plateau nous conduisent maintenant à étudier, dans un cas assez étendu, la solution du problème suivant :

Étant données deux aires planes (A), (A,), déterminer, si elle existe, la fonction Z =f(z) gui permet d'effectuer une représentation conforme de V une des aires sur l' autre, de telle manière qu'à un point pris dans V intérieur de V une quel-

REPRÉSENTATION CONFORME DES AIRES PLANES. 5oi

conque des deux aires corresponde un seul point pris dans V intérieur de Vautre, et qu'à un point pris sur le contour de V une des aires corresponde un seul point pris sur le contour de l'autre.

L'examen de cette question, prise dans son énoncé le plus général, se rattache à la solution des problèmes les plus importants de l'Analyse et de la Physique mathématique.

Depuis Riemann, qui l'a abordée dans sa Dissertation inaugurale (!) et qui l'a résolue en employant un postulatum auquel l'illustre géomètre a donné le nom de principe de Dirichlet, elle a fait l'objet d'un très grand nombre de travaux de haut intérêt et a été résolue par l'emploi des méthodes les plus variées. L'exposition de ces méthodes exigerait tout un volume et nous entraînerait trop loin. Dans l'exposé qui va suivre, nous nous attacherons surtout au cas particulier que nous venons de rencontrer dans l'étude du problème de Plateau, celui où les aires planes (A.), (A1 ) sont limitées par des lignes droites ou des arcs de cercle, et nous ferons connaître les belles recherches qui, dans ce cas spécial, ont conduit M. Schwarz à la solution (2).

269. Remarquons d'abord cjue l'énoncé du problème peut être modifié comme il suit.

Supposons, pour fixer les idées, que les deux aires (A), (A,) soient simplement connexes, et choisissons une troisième aire (A0), qui soit, elle aussi, simplement connexe, par exemple l'aire plane comprise à l'intérieur d'un cercle de rayon i. Si l'on peut représenter les deux aires planes (A), (A,) sur (A0), on pourra évidemment les rapporter l'une à l'autre avec similitude des éléments infiniment petits. Le problème de Riemann est ainsi ramené au suivant :

Représenter une aire plane quelconque (A) sur une aire déterminée, par exemple sur la surface (A0) d'un cercle de

(!) Riemann, Œuvres mathématiques, traduites par L. Laugel, p. i.

(2) Les recherches de M. Schwarz sur ie principe de Dirichlet, qu'il a démontré le premier dans toute sa généralité, et sur différents problèmes particuliers de représentation conforme se trouvent réunies dans le Tome II de ses Gesammelte mathematische Abhandlungen, Berlin, 1890.

5oa LIVRE III. — CHAP. XI.

rayon donné ou sur toute autre surface qu'on déduira de (A0) par une transformation conforme connue.

Cet énoncé peut encore se transformer comme il suit.

Il est évident que, par la transformation conforme qui permet de représenter (A) sur (A0), toute fonction de la variable complexe dans (A) se transformera en une fonction semblable dans (A0) et vice versa. Supposons que (A0) soit un cercle de rayon R. a yant pour centre l'origine des coordonnées et considérons la fonction

à l'intérieur de ce cercle. Cette fonction aura une racine simple z = o; elle prendra à l'intérieur du cercle, une fois seulement, toute valeur dont le module sera inférieur à l'unité. Sur Je cercle même, elle prendra toutes les valeurs dont le module est égal à i.

D'après cela, la fonction de la variable complexe qui lui correspondra dans l'aire (A) devra prendre à l'intérieur de cette aire, une fois seulement, toutes les valeurs, y compris zéro, dont le module est inférieur à l'unité et, en outre, prendre sur le contour de l'aire toutes les valeurs dont le module est égal à i .

Les recherches dont nous avons parlé plus haut nous ont donné la solution de celte belle question. Elles ont montré que, pour des aires satisfaisant à des conditions qui seront toujours remplies dans les problèmes que nous aurons à résoudre, il existe une fonction 0(Z) qui s'annule en un point arbitrairement choisi de l'aire et satisfait à toutes les conditions que nous venons d'énumérer. Il est même à remarquer que la fonction 0 (Z) n'est pas entièrement déterminée par la condition de s'annuler pour un point quelconque, situé à l'intérieur de l'aire et d'affixe Z = a, car on peut évidemment la multiplier, sans qu'elle cesse de satisfaire à toutes les conditions énumérées, par une constante eia, de module égal à i .

Supposons connue cette fonction 0(Z), dont la détermination se ramène à celle de la fonction de Green relative au contour considéré. Alors, la représentation conforme de (A) sur (A0) sera donnée par la formule

On pourra choisir la constante a de telle manière qu'un point

REPRÉSENTATION CONFORME DES AIRES PLANES. 5o3

du contour de (A) corresponde à un point arbitrairement choisi du contour de (A0). Ainsi :

On peut effectuer une représentation conforme de faire (A) sur le cercle (A0) en faisant correspondre au centre du cercle un point quelconque de V intérieur de (A) et à un point de la circonférence de (A0) un point quelconque du contour de (A).

270. Considérons, par exemple, l'aire (B0) formée par la région du plan qui se trouve au-dessus de l'axe des x. Pour cette aire, on trouve aisément la fonction 0 (Z) qui est

a étant l'affixe d'un point situé dans la région et ayant, par conséquent, sa partie imaginaire positive, a0 étant l'imaginaire conjuguée de «; «o sera donc l'affixe d'un point situé au-dessous de l'axe des x. On voit immédiatement que, pour tout point de l'aire (B0), 0 (Z) a son module plus petit que i, qu'elle passe une fois, et une fois seulement, par toute valeur de module inférieur à i, que son module devient égal à i quand le point Z se trouve sur l'axe des x, limite de l'aire ( B0). Par conséquent, la formule

donnera la représentation conforme de l'aire (B0) sur celle du cercle (A0) de rayon R; et cette représentation sera la plus générale que l'on puisse obtenir.

Dans les applications, on substitue volontiers l'aire (B0) à l'aire (Al0), c'est-à-dire qu'on préfère effectuer la représentation conforme de l'aire que l'on considère sur celle du demi-plan supérieur. C'est en vue de ces applications que nous présenterons la remarque stiivanle :

Considérons la transformation conforme définie par la formule

az-j-b

(2) z = ;rr— — />

où a, 6, c, d désignent des constantes réelles. Soient Z0, ^0 les

5o/| LIVRE III. — CHAP. XI.

variables imaginaires conjuguées de Z et de s, on aura

az0-t-b

Lq — -.

czQ -+- a et, par conséquent,

ad — bc) ( z — 2^)

(cz -+■ d) (c30-t- d)

On voit que, si le déterminant ad — bc de la substitution est positif, z — z0 et Z — Z0 seront de même signe. Par suite, la transformation qui fait correspondre des valeurs réelles de Z à des valeurs réelles de z, fera aussi correspondre, aux valeurs de z dont la partie imaginaire est positive, des valeurs de Z jouissant de la même propriété. En d'autres termes, elle donnera une représentation conforme de la région (B0) sur elle-même. On démontrera aisément, conformément au théorème général, qu'il est toujours possible de trouver une transformation de ce genre dans laquelle un point de l'intérieur de (B0) correspond à un autre point donné quelconque de cette même région. Mais, de plus, on pourra établir qu'il existe une transformation de ce genre faisant correspondre trois points donnés de l'axe des x à trois autres points également donnés de cet axe, pourvu que ces derniers soient pris dans un ordre convenable. Par exemple, si les trois premiers points a, b, c sont rangés par ordre d'abscisses croissantes, de même que les trois autres points a', b' , c', on pourra faire correspondre respectivement les trois premiers points, soit à a', y ', c', soit à £', c', af, soit à c', a', b' . Ainsi :

Etant donnée une aire (A) à connexion simple, on peut la représenter sur le demi-plan supérieur de telle manière qu'à trois points pris sur le contour .de (A) correspondent trois points de Vaxe des x arbitrairement choisis, mais rangés dans un ordre convenable.

On peut encore préciser en disant que, le contour de (A) étant parcouru dans le sens direct, l'axe des x doit être parcouru de

— oo à -|- oo.

271. D'après les résultats que nous venons de rappeler, on peut indiquer les conditions auxquelles doit satisfaire la fonction de

REPRÉSENTATION' CONFORME DES AIRES PLANES. 5o5

l'argument complexe

dont l'emploi permet de réaliser la représentation conforme de l'aire (A) sur le demi-plan supérieur :

i° Elle doit être développable en série suivant les puissances de z — s0, si z0 désigne l'affixe d'un pointa l'intérieur de l'aire (A), et la série doit contenir la première puissance de z — z0, sans quoi la fonction inverse ne pourrait être uniforme.

2° La fonction Z ne doit pas cesser d'être continue pour les valeurs réelles de s, qui correspondent à des points de l'axe des x; seulement, on ne suppose pas que, pour ces points, elle soit nécessairement développable suivant les puissances entières et positives de ; — z0, car elle n'est définie dans leur voisinage que pour les valeurs de z dont la partie imaginaire est positive.

3° Enfin z, considérée comme fonction de Z, doit satisfaire aux mêmes conditions que Z considérée comme fonction de z; c'està-dire qu'elle doit être, dans le voisinage du contour de l'aire (A), une fonction uniforme et continue de Z, prenant des valeurs réelles quand le point Z vient se placer sur le contour.

272. Après avoir indiqué les conditions auxquelles doit satisfaire la fonction Z, nous allons exposer comment M. Schwarz a donné les moyens de déterminer cette fonction dans le cas où l'aire (A) est limitée par des droites ou par des arcs de cercle.

Voici le principe analytique sur lequel repose la solution (') :

Soit Z une fonction de z, définie seulement pour la partie supérieure du plan et satisfaisant, d'ailleurs, à toutes les conditions énumérées dans Je numéro précédent. Si la fonction est réelle pour toutes les valeurs réelles de z voisines d'une valeur réelle z0, elle sera développable dans le voisinage de zQ en une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de z — z0 et les coefficients de cette série seront tous réels.

Considérons, en effet (Jîg- 20), une aire (U) limitée par le con-

(') Ce principe a été énoncé et démontré par M. Schwarz dans un Article déjà cité {Journal de Crelle, t. LXX, p. 107). Il a été aussi employé par Riemann dans le Mémoire sur les surfaces minima.

tour A;0BD, comprise tout entière dans la partie supérieure du plan, et soit (LT/) l'aire symétrique de la première par rapport à l'axe des x. La fonction Z n'est connue, par hypothèse, que pour la partie supérieure du plan. Mais on peut la définir aussi pour la partie inférieure en convenant qu'à deux valeurs imaginaires con-

juguées de la variable, qui sont représentées par deux points placés symétriquement par rapport à O-x, correspondent deux valeurs imaginaires conjuguées de la fonction. Ce prolongement analytique de la fonction laisse évidemment subsister la continuité puisque la fonction Z est, d'après sa définition, réelle et continue pour les valeurs réelles de z.

La fonction étant ainsi définie dans l'intérieur des aires (U) et (U'), considérons les deux intégrales

i r Zdz i r

Z dz

prises le long des contours ABDA, ACBA des deux aires. D'après le théorème de Cauchy, la première de ces intégrales est égale à fÇÇ) et la seconde est nulle, lorsque le point Ç se trouve à l'intérieur de l'aire (U); si, au contraire, le point Ç se trouve à l'intérieur de (U'), le résultat est inverse : la première intégrale est nulle et l'autre est égale à /'(Ç) ('). Donc, toutes les fois que le point Z, se trouve à l'intérieur de l'aire (U) + (U1), la somme des deux intégrales est égale ày(Ç). Mais, si l'on ajoute les deux inté-

(') Il y a ici une légère difficulté que nous nous contenterons de signaler et qu'il est d'ailleurs facile de faire disparaître, tenant à ce que l'on applique le théorème de Cauchy à une fonction dont la dérivée n'existe pas nécessairement pour tous les points du contour. On reconnaîtra aisément que le théorème est encore applicable toutes les fois que la fonction / (z) est supposée continue dans le voisinage du contour de l'aire.

grales, les parties relatives à la portion commune du contour AB; étant égales et contraires, se détruiront mutuellement, et il restera

seulement l'intégrale

i rzd.

prise le long du contour ACBDÀ. Or, on sait5 et il est évident, que cette intégrale est développable en série dans le voisinage de tous les points à l'intérieur du contour et, en particulier, pour les valeurs réelles de Ç, qui sont représentées par les points de la droite AB.

On aura, en particulier, pour Ç = s0,

Z-Z0=fl(;-^) + i(;-30)ï+c(i-i0)!+...,

et, comme à des valeurs réelles de z doivent correspondre des valeurs réelles de Z, les coefficients a, b, c seront tous réels. Si, de plus, il arrive, comme dans les exemples que nous allons traiter, que z, considérée comme fonction de Z, doive satisfaire aux mêmes conditions que Z, considérée comme fonction de z, l'équation précédente, résolue par rapport à ; — z0, devra donner une série ordonnée par rapport aux puissances entières de Z — Z0 et, par conséquent, le coefficient a sera toujours différent de zéro.

273. Ce lemme préliminaire étant établi, considérons d'abord une aire (A), limitée par des lignes droites (L,), ..., (L„). Soit Z0 l'affixe d'un point situé sur une des lignes (L) et soit hiz l'angle de cette ligne avec l'axe réel. Considérons la fonction

Pour un point Z situé à l'intérieur du contour, elle aura les mêmes propriétés que la fonction Z. Si le point Z se trouve sur la ligne (L) dans le voisinage de Z0, elle sera réelle et changera de signe quand Z passera par la valeur Z0. Il suit de là que l'on peut appliquer le lemme démontré au numéro précédent et poser

(3) e-**«(Z — Zo) = (* — *o)p(* — *o),

le symbole p(z — z0) désignant une série, ordonnée suivant les puissances positives et entières de z — z0, dont tous les coefficients seront réels, le premier d'entre eux étant différent de zéro.

Éludions maintenant la fonction Z clans le voisinage de la valeur Z0 qui correspond au point de rencontre de deux droites consécutives (L*), (La+i) (Jig- 21) faisant entre elles l'angle cor.

Considérons la fonction Z0 — Z; son argument, qui est l'angle de la droite ZZ0 avec l'axe réel, varie entre les deux limites

quand le point Z se déplace dans l'intérieur de l'aire et se dirige de (L/t) vers (L*+1). Il suit de là que la fonction

sera réelle et positive sur le côté (L#), réelle et négative sur le côté (L#+) ) et, d'ailleurs, elle aura les mêmes propriétés que la fonction Z à l'intérieur de l'aire (A). L'application du lemme précédent nous donnera donc

p(z — z0) ayant la même signification que précédemment. On peut encore écrire, en élevant les deux membres de l'égalité à la puissance a,

(4) Z-Z0=eM'k(z — xQ)*p(* — *o).

Enfin, pour tous les points à l'intérieur du contour, la dérivée de Z n'étant jamais nulle, on aura

P(s — s0) désignant une série analogue à la série/? (z — z0), mais dont les coefficients ne sont pas nécessairement réels.

REPRÉSENTATION CONFORME DES AIRES PLANES. 5û9

Il nous reste à considérer le point du contour qui correspond à la valeur inlinie de z. Gomme on peut toujours effectuer la substitution

•Si

qui donne une représentation conforme de la portion supérieure du plan sur elle-même, ce cas se ramène aux précédents et l'on aura

pi/m / i

(6) Z-Z^t—plL

si le point n'est pas un sommet du contour, et

j/Ati

(7) Z-Zo=—P\-z

si le point est un sommet où les deux côtés consécutifs se rencontrent sous l'angle arc, mesuré toujours dans l'intérieur

de (A).

274. Les développements précédents embrassent toutes les hypothèses possibles. Pour éliminer les constantes Z0 et h qui changent de valeur quand on passe de l'un à l'autre, considérons avec M. Schwarz la fonction

On trouvera, par un calcul facile :

i° Pour un point à l'intérieur de l'aire, (9) E(z) = Vt(z-zQ);

2° Pour un point pris sur un des côtés du contour, (io) E(^)= pi{z — z0);

3° Pour un sommet du contour correspondant à l'angle a-,

(ii) E(z)=^=^ -hPl(z-z0),

P,(; — s0), pt(z — ;0) désignant des séries de puissances et les séries/?, (z — z0) ayant de plus leurs coefficients réels;

4° Enfin, pour le point correspondant à la valeur infinie de z,

(vi) E(s) = -i + £/>,(!)

si ce point n'est pas un sommet du contour.

Les trois dernières formules nous montrent que la fonction E(s) est réelle pour toutes les valeurs réelles de z et qu'elle peut, par conséquent, être prolongée analytiquement d'après la méthode indiquée au n° 272. D'ailleurs, elle n'a, d'après les développements précédents, qu'un nombre limité de pôles, qui correspondent aux sommets du contour; et elle devient infiniment petite pour z infiniment grand. D'après les théorèmes connus de la théorie des fonctions, elle sera donc une fraction rationnelle.

Soient a, b, c, ..., / les valeurs de z qui correspondent aux sommets du contour et soient am, (3tc, yir, ..., Xtc les angles formés en ces sommets, mesurés dans l'intérieur du polygone. On aura

avec la condition

qui n'est que l'expression analytique du théorème relatif à la somme des angles d'un polygone.

L'intégration de l'équation (i3) nous donne

Z = G f(z — a)*-i{z — A)M...(* — ty-*ds+C\

G et G' désignant deux constantes arbitraires réelles ou imaginaires. En déplaçant l'aire (A) sans changer ni sa forme ni sa grandeur, on peut ramener l'expression de Z à la forme

H f(z — a)«-i (z — b )P-i . . . (z — l )>-i dz,

où H désigne une constante réelle.

Telle est la formule donnée par M. Schwarz (') et par Christoffel (2).

Comme on peut prendre arbitrairement (n° 270) les valeurs de z qui correspondent à trois sommets du polygone, elle contient en réalité in — 3 constantes. On peut disposer de ces constantes de manière à obtenir la représentation conforme d'un polygone quelconque, mais ce résultat essentiel se déduit seulement du théorème général relatif à la représentation conforme des aires planes quelconques, et nous ne connaissons qu'un travail développé où se trouve étudiée dune manière générale la détermination des constantes a, 6, c, ...,/, H lorsque le polygone est donné (3).

Dans le cas du triangle, dont la forme est déterminée par la valeur des angles, la solution est évidente. En faisant varier la constante H, on obtiendra tous les triangles semblables à un triangle donné, et Ion pourra déterminer cette constante de manière à obtenir l'un quelconque de ces triangles.

Si le polygone est un rectangle, on aura

Z deviendra une intégrale elliptique que l'on pourra supposer ramenée à la forme normale

(i5) Z = H f ~— dz

Jo v/(i-**)(i— *»**)

Les côtés du rectangle seront