I-+- g2)(i-t-g4)('~K76) (i -hg)(i -+- g3)(i -+- g

qui donnera ainsi, dans ce cas particulier, la solution complète du problème.

275. Passons maintenant à l'examen du cas où le contour est composé d'arcs de cercles ; nous supposerons, pour plus de netteté, que deux cercles consécutifs ne soient jamais tangents.

Comme on peut toujours, au moyen de la transformation circulaire (n° 124) définie par la formule

cZi -+- d

transformer en une ligne droite un quelconque des cercles qui composent le contour, et même deux cercles consécutifs de ce contour, nous pouvons appliquer immédiatement les résultais obtenus au n° 273 et nous voyons que l'on pourra toujours choisir les constantes réelles ou imaginaires a, £», c, d de telle manière que Zj prenne la forme (3) sur un des côtés, et la forme (4) en un des sommets du contour. On aura donc pour Z les expressions suivantes :

i° En un point quelconque du contour,

2° En un sommet où deux cercles consécutifs font l'angle arc, mesuré dans l'intérieur de l'aire,

c(z — z0)l*p(z — z0) -f- d' 3° Au point du contour qui correspond à la valeur oo de £,

si le point n'est pas un des sommets du contour, et

(ao)

si le point est un sommet où deux côtés consécutifs font l'angle a-. 4° Enfin, pour an point à l'intérieur de l'aire, on aura, comme précédemment,

276. Dans ces différentes formules, a, 6, c, d désignent des constantes, réelles ou imaginaires, qui ont des valeurs différentes suivant les développements que l'on considère. Voici l'artifice ingénieux par lequel M. Schwarz a éliminé tout ce qui concerne ces constantes.

Soit, d'une manière générale,

cT -+- d

c ZT -+- d Z — a T — b = o

une relation entre deux fonctions Z et T d'une variable z. Si l'on

élimine les constantes par la différentiation, on sera conduit à la

relation

(ZT/ Z' T'

(ZT)" Z" T"

(ZT)'" Z'" T'"

qui, développée, prend la forme élégante

. d* I dZ\

d , dZy «2 /, «T\ i ^l0g^j =d^{l°Sdl)-ï

d , dTV

où les variables sont séparées. Si Ton adopte une notation de Cayley ( ' ) et si l'on pose

on aura donc

rfZ\

■i \dz

dzy

dz I

(*) Cayley, O/i £/ie schwarzian derivative and the polyhedral fonctions {Cambridge philosophicat Transactions, mars 1880).

5l4 LIVRE III. — CHAP. XI.

En nous servant des résultats précédents, nous allons étudier le développement de la fonction j Z, z j, pour tous les points situés à l'intérieur ou sur le contour de l'aire (A).

i" Pour un point quelconque du contour, il faut remplacer T par le développement

(Z — Z0) p(z — ZQ),

qui entre dans la formule (17). Ou trouve ainsi un résultat de la forme

20 Pour un sommet, la valeur de T est celle qui figure dans la

formule (18),

Un calcul facile donne alors

( rj i l ï — a2 ^ 7 7/ X

3° Pour le point du contour correspondant à la valeur 00 de z, on trouve de même

si le point n'est pas un sommet et si l'on emploie la valeur de T correspondante au développement (19). Si, au contraire, le point

est un sommet, il faut mettre pour T la valeur — p(~)> ce qui donne

Remarquons, d'une manière générale, que, pour tous ces développements, les coefficients sont tous réels. La fonction j Z, z 1 est donc réelle pour toutes les valeurs réelles de z; elle pourra être prolongée analjtiquement d'après la méthode du n° 272 et sera, par suite, définie dans toute l'étendue du plan.

4° Enfin, pour un point à l'intérieur de (A), la dérivée -y- ne sera jamais nulle et j Z, z\ sera, comme z, une fonction développable pour toutes les valeurs de z.

La fonction j Z, z j., ayant toutes les propriétés d'une fraction

rationnelle pour les valeurs finies de z et devenant infiniment petite pour z infini, sera une fraction rationnelle. Soient «,, <72, ..., an les valeurs de 5 qui correspondent aux sommets du contour; a, tu, a2~, ..., a„- les angles correspondants formés par deux côtés consécutifs. Si Ton a, pour c- = «/,

la fonction

! ' ! Zi2 (* — ai)* Ziz — <

demeurant finie pour toutes les valeurs finies de s et devenant infiniment petite pour s infini, sera nécessairement égale à zéro; on aura, par conséquent,

(H) [z;,i=yirLzjï?-+y-A =F(,)'.

! ! id 2 (^ - a,-)3 -mi z — ai

Si le point du contour qui correspond à la valeur infinie de z n'est pas un sommet, il faudra, nous l'avons vu, que le développement du second membre suivant les puissances de - commence au terme en — , ce qui donnera les égalités

S ht = o,

(25) ( > athi

S [af ht-t-ai(i—a})] — o,

auxquelles devront satisfaire les constantes A/, a,-.

Si, au contraire, le point du contour correspondant à la valeur z = ce est un sommet où l'angle de deux côtés consécutifs

est [Î7i, le développement devra commencer par le terme — ce qui donnera seulement les deux relations

i SA|=o,

(26) ^ / i-aî\ i-?2

ai h H ; — = : — "

La valeur de ! Z, z \ étant obtenue, la suite des raisonnements

5l6 LIVRE III. — CHAP. XI.

nous conduit à considérer l'équation du troisième ordre a7) [Z,*| = F(*)

et à essayer de l'intégrer.

L'origine et les propriétés de cette équation simplifient beaucoup la résolution de ce problème. En effet, d'après le mode de formation de l'expression Z, z j, la relation différentielle

est équivalente à la relation, en termes finis,

aZi -+- ^

et, par suite, la connaissance à"1 une seule solution particulière Z, de l'équation (27) entraînera celle de l'intégrale générale, qui sera donnée par la formule précédente, où les constantes a, b, c, d pourront recevoir des valeurs quelconques. Cette propriété si remarquable de l'équation (27) la rapproche des équations linéaires et, effectivement, il est aisé de montrer que l'intégration de cette équation peut être ramenée à celle d'une équation linéaire du second ordre.

Considérons, en effet, une équation linéaire du second ordre

& 0 cm (•28) +jP 4-ge = oJ

où pet q sont des fonctions données de z\ et cherchons l'équation différentielle à laquelle satisfait le rapport

de deux intégrales particulières. On trouvera, par un calcul facile,

/ON I -7 I 1 9 dP

(30) j Z, z\ =iq — \pï—-£L.

L'équation ainsi obtenue est de même forme que la proposée (27). 11 suffira de choisir p arbitrairement, de déterminer q par la relation

et l'intégration de l'équation (27) sera ramenée à celle de l'équation linéaire (28). Si l'on prenait, par exemple, p = o, l'équation linéaire se réduirait à la suivante :

(32) g+iF(,)0 = o.

Au reste, on s'explique qu'une certaine indétermination puisse subsister relativement à l'équation linéaire, puisque le rapport de deux intégrales particulières ne change pas quand on les multiplie l'une et l'autre par une même fonction donnée, mais quelconque, de;;.

L'équation (32), ainsi que toutes celles que l'on obtiendrait en prenant pour p la valeur suivante :

où les constantes (3, sont des nombres réels quelconques, a tous ses coefficients et tous ses points singuliers réels ; de plus, toutes ses intégrales sont régulières.

Réciproquement, si l'on considère a priori une équation linéaire quelconque du second ordre possédant toutes ces propriétés, on peut établir que le rapport de ses intégrales donne la représentation conforme sur la partie supérieure du plan d'une aire plus ou moins complexe, limitée par des arcs de cercle.

Marquons, en effet, sur l'axe réel (fig- 22) les points singuliers

Fig. 22.

«1, «2, ..., ct-n-ti au de l'équation, et soit

5l8 LIVRE III. — C1IAP. XI.

le rapport de deux intégrales particulières quelconques qui, d'après les hypothèses relatives à l'équation, sont des fonctions uniformes de z dans l'aire (U) limitée par l'axe réel etparle demi-cercle tocto de rayon infini. Dans chacun des intervalles a( a-2, a2ct3, • ••, cii\ «/, ..., fl„»fl|, on pourra obtenir deux intégrales particulières qvii seront réelles toutes les deux pour des valeurs réelles de s. Si l'on désigne, par exemple, par £/, le rapport de ces deux intégrales dans l'intervalle at-i a<, on aura évidemment

Y/-1 H- Oi-tti-

a/), [3/,, v/,, 8/, désignant des constantes réelles ou imaginaires, et, comme la variable ti{ demeure réelle lorsque le point z décrit le segment «,(a/, on voit que le point Z décrira un arc de cercle. Les arcs de cercle décrits par le point Z qui correspondent ainsi aux n intervalles forment un polygone fermé dans lequel les côtés consécutifs se coupent sous des angles dont la grandeur est quelconque; deux côtés consécutifs peuvent même être tangents quand les développements des intégrales dans le voisinage d'un point singulier contiennent des logarithmes. Mais l'examen de tous les cas, la définition précise de l'aire dont on obtient ainsi la représentation conforme, nous entraîneraient trop loin.

Nous nous contenterons de remarquer que l'équation (27) contient bien le nombre de constantes qui est nécessaire si l'on veut effectuer la représentation conforme d'un polygone quelconque composé d'arcs de cercle sur la partie supérieure du plan. En effet, la fonction F (z) dépend de 3 n constantes réelles liées par les trois équations (a5), et, comme, d'ailleurs, on peut prendre arbitrairement trois des quantités ai (n" 270), il reste seulement ?>n — 6 paramètres réels; mais il faut leur ajouter six autres paramètres réels servant à former les trois constantes imaginaires qui figurent dans l'intégrale générale de l'équalion (27). Le nombre 3/ï de constantes réelles ainsi obtenu est précisément égal à celui des paramètres arbitraires dont dépend un polygone formé de n arcs de cercle.

11 résulte des propositions générales qui ont été rappelées que l'on pourra toujours déterminer ces constantes de manière à obtenir effectivement la solution du problème proposé.

REPRÉSENTATION CONFORME DES AIRES PLANES. 5ig

277. Proposons-nous, comme application, de déterminer la représentation conforme d'un triangle formé par trois arcs de cercle. ISous pouvons toujours supposer que les trois sommets de ce triangle correspondent aux valeurs o, i, oo de z. Soient Xrc, n/rc, vtc les angles du triangle en ces trois sommets. Nous aurons ici

i y ) ii — X2 «i i i — fi." a-2

! I i z1 z •?, (i — zf z — i

et, de plus, le développement suivant les puissances positives de -

devra commencer par le terme - — — — Cette condition détermine aK , a2, et l'on trouve

i i — X- i i — fi.2 ii — X2 — [i2 -i- v2

Or, si l'on considère l'équation

(34) z(I^)^+[ï(«+p + I)z]^'ape = o,

qui définit la série lrypergéomé trique de Gauss, on reconnaît aisément, en appliquant la formule (3o), que le rapport de ses deux intégrales satisfait à l'équation (33) si l'on prend

(35) ),2=(I T)21 fl.= (Y a p).j V2=(a p)2.

On pourra donc exprimer Z par le quotient de deux intégrales particulières de l'équation (34)- Ces intégrales sontbien connues ; on peut déterminer les variations qu'elles éprouvent quand on suit un chemin quelconque du plan ( ' ) et l'on vérifie qu'elles fournissent effectivement la représentation cherchée.

Parmi les quatre systèmes de valeurs de a, [3, y déterminés par les équations (35), choisissons le suivant, par exemple,

( a = \(i — X — fi -+- v),

(') Krummer, Ueber die hyper geornetrische Reihe (Journal de Crelle, t. 15 i836).

E. Goursat, Sur l'équation différentielle linéaire qui admet pour intégrale la série hyper géométrique (Annales de l'École Normale, 2° série, Supplément au Tome X, 1881 ).

L'équation différentielle (34) admet plusieurs solutions particulières, parmi lesquelles nous distinguerons les suivantes :

i 0,= F(a, P,y,-), 02 = ^YF(a + i - T, p + i - y, ■>. - y, s), 03=F(a, p, «4-0-+-, — v, i — *), 04=(i-5)Y-«-PF(y-«, y-P,Y + i-«-P, i--),

où le symbole F désigne la série hypergéométrique de Gauss. Si l'on convient que les arguments de z et de i- — z seront pris égaux à zéro quand la variable z sera réelle et comprise entre o et \, ces intégrales seront déterminées sans ambiguïté pour toute la région supérieure du plan, et les formules que l'on trouvera aux pages 20 et 21 du beau Mémoire de M. Goursat permettront d'en calculer la valeur pour chaque point de cette région. Elles satisfont, d'ailleurs, dans toute la région considérée, aux deux équations (que l'on trouvera à la page 28 de ce Mémoire)

ou l on a

i „. r(2-Y)r(Y-«-P) ., r(2-T)rra+p-Y) [ r(i-a)r(i-p) ' r(a-+-i-Y)r(p + i-Y)'

Ces points étant admis, désignons par C une constante, réelle ou imaginaire, et posons

(4o) GZ=V

Quand z varie entre o et 1, le rapport^ est réel, l'argument de Z est constant et égal à celui de p- Le point Z décrit donc un

segment de droite OA (Jîg. 23). Si, au contraire, le point z passe, par la partie supérieure du plan, aux valeurs comprises entre o et — oc, 8, reste réelle, l'argument de 02 devient égal à tî(i — y) ou 7ïX. L'argument de Z augmente donc de tcX et, comme il demeure encore constant, le point Z décrit un segment OB ayant son origine en O et faisant avec OA l'angle \tz.

Supposons maintenant que z passe, par la région supérieure du plan, aux valeurs comprises entre i et -\-cc. L'intégrale 03 est

Fis:. 2c

réelle. Quant à l'intégrale 9/(, elle est imaginaire et, comme l'argument de i — z devient égal à — tc, celui de l'intégrale est

ou —

JJL7T.

Si donc on pose

= Te-<>*

la variable T sera réelle. En divisant membre à membre les deux équations (38), on aura

a' -h è'Te-'F

GZ =

a-+- 6Te-'F

Si l'on change i en — i et si l'on désigne par C0, Z0 les imaginaires conjuguées de C et de Z, on trouvera

Gn &ù —

a' -h b'Te'V-n

a + ftT e1^

Il ne reste plus qu'à éliminer T entre les deux équations précédentes et l'on obtientl'équation

( ab CC0ZZ0+ a' b')(i — «*'>«) -h CZ (ab'e^V-^— ba')

-+- CuZotba'e2^ — ab') — o

qui représente l'arc de cercle passant par les points A, B et décrit par le point Z quand z varie entre i et + go.

La puissance t- de l'origine par rapport au cercle précédent a pour expression

GGo ab

ou, en remplaçant «, b, a', b' par leurs valeurs,

A — X + tx — V\ /I — X + fA + vN /I — X— fA + vN /i-X--tA —

CG0 r«(i— X) /i+x-t-n— v\ /i+x + n+v\ /i+x— fJL-t-v\r/iH-x — ^ —

Le calcul de cette puissance £2 offre de l'intérêt-, car, si elle est positive, il y aura un cercle décrit de l'origine comme centre et coupant à angle droit le côté AB, c'est-à-dire un cercle orthogonal aux trois côtés du triangle OAB. Si, au contraire, elle est négative, il n'y aura pas de cercle réel satisfaisant à ces conditions.

Comme les arguments des fonctions T qui figurent dans la formule précédente sont tous supérieurs à — i, ces fonctions auront le même signe que les variables dont elles dépendent. On reconnaît ainsi que la puissance t2 sera négative, si l'on a

(*0 Jv+i>X + ^,

c'est-à-dire si les angles du triangle OAB satisfont à toutes les relations d'inégalité qui existent entre les angles d'un triangle sphérique. Au contraire, la puissance t2 sera positive si les inégalités précédentes ne sont pas toutes vérifiées. Ce résultat est bien conforme à celui que donne la Géométrie: pour qu'un triangle formé par trois arcs de cercle soit la projection stéréographique d'un triangle sphérique, il faut et il suffît, comme on sait, que le cercle orthogonal aux trois côtés du triangle soit imaginaire.

Si, au lieu de la variable Z définie par la formule (4°)> nous avions choisi la suivante :

Zr

cZ — d

a, b, c, d désignant des constantes quelconques, nous aurions obtenu, au lieu du triangle OAB, un triangle ayant les mêmes angles, mais dont les côtés auraient été, en général, des arcs de cercle; car il se déduit du triangle OAB par une transformation circulaire quelconque.

Supposons que les angles X, |a, v satisfassent aux relations d'iné-

galité (42) et prenons pour le module de C la valeur

^cc°-r(i-X)

/ F/i— X-+f*-v\r/l.-X-4-tf

I X — |JL-

VH \ '•* / \ 2 / \ '1 I \ 'X I

~r/'+*+^— v\r/i+X+|-t^v\r/i+X— [a+vN/r+X— ix— v\

£2 deviendra égal à — i, et les Irois côtés du triangle OAB seront orthogonaivx au cercle de rayon i ayant l'origine pour centre. On sait que. dans ce cas, les trois côtés peuvent être considérés comme la projection stéréographique de trois arcs de grand cercle tracés sur la sphère de rayon i ayant pour centre l'origine. Si donc on représente, suivant la méthode de Riemann, la variable Z par un point de cette sphère, les résultats précédenls donnent la représentation conforme de l'aire d'un triangle sphérique sur la partie supérieure du plan. Le sommet de ce triangle qui correspond à l'angle Atï est placé au point le plus bas de la sphère et diamétralement opposé au pôle de la projection stéréographique.

278. Nous terminerons ce Chapitre en démontrant un résultat qui se déduit facilement de celui qui a été donné au n° 274.

Considérons la transformation conforme définie d'une manière générale par l'équation différentielle

, , ,-, d'L dz

où k désigne une constante réelle et plus petite que i. Pour préciser, nous supposerons que l'on ait choisi les signes des radicaux de telle manière qu'ils se réduisent à i lorsqu'on égale à zéro la variable dont ils dépendent, et que la constante M ait été choisie de telle manière que l'on ait z = i pour Z = i , z = o pour Z = o. On aura alors

r1' dz -iK rz dz

J0 /(i Z*)(i— Â-'Z") " TC J0 /i — -s2

Si l'on suppose que la variable Z se meuve dans une aire ne contenant aucun des deux points d'affîxes j, —j—, par exemple dans

un cercle de ra yon inférieur à j> on peut établir que la transformation sera univoque.

Car, quel que soit le chemin suivi dans cette aire pour aller de de l'origine au point d'affixe Z, les valeurs de l'intégrale

dZ

'o /(i-Z«)(i — A*Z») seront comprises dans l'une ou l'autre des formules

4/nK-+-a, (4/H + :i)K — %,

a désignant, par exemple, l'intégrale rectiligne de O à Z et m étant un nombre entier. D'après la formule (45), les valeurs de l'intégrale

dz

seront comprises dans l'une ou l'autre des formules

iz'J. . ira 2 mit H - > ( 2 m -+- 1 ) tt tt

et correspondront, par conséquent, à la même valeur de z.

Bien que transcendante, la transformation définie par la formule (45), ou par la suivante qui lui est équivalente :

(46) Z = sn ( — arc sin z

fait correspondre des courbes algébriques à des courbes algébriques. Les courbes d'égale partie réelle et d'égale partie imaginaire de l'intégrale qui figure dans le second membre de la formule sont, d'après les propriétés des fonctions circulaires(n° 126), des hyperboles et des ellipses ayant pour foyers les deux points

De même, d'après les propriétés des fonctions elliptiques, les courbes d'égale partie réelle et d'égale partie imaginaire de l'intégrale qui figure dans le premier membre de la même formule (45) sont des courbes anallagmatiques du quatrième ordre ayant pour

foyers les quatre points

L'une de ces courbes, celle qui est définie par l'équation

dZ rz" dZ0

f dZ - f

h v/(i-Z2)(i-^Z2) 70 v/(i — Zg>(i — A-»Zg) est précisément le cercle