CHAPITRE XII

Surface minima limitée par deux droites quelconques. — Surface minirna limitée par deux droites qui se coupent et par un plan qui rencontre les deux droites et que la surface doit couper à angle droit. — Surface minima limitée par trois droites dont l'une rencontre les deux autres. — Surface minima limitée par les côtés d'un quadrilatère gauche. Équation linéaire du second ordre dont dépend la solution du problème; formes diverses que l'on peut donner à cette équation. — Cas particulier où le quadrilatère a un plan de symétrie. — Après ces applications particulières, on discute les cas les plus généraux et l'on montre qu'il est nécessaire d'élargir les hypolhèses faites sur les deux représentations conformes de la surface en admettant l'existence de points de ramification.

279. Les développements donnés au Chapitre précédent nous permettent de poursuivre l'application de la méthode que nous avons donnée à la fia du Chapitre X pour la solution du problème de Plateau dans les cas spéciaux, considérés par Riemann et M. Schwarz. Supposons qu'on ait pu obtenir, par l'emploi des méthodes indiquées au Chapitre précédent, la représentation sur le demi-plan supérieur des deux aires que nous avons désignées par (S) et (S); on aura ainsi exprimé <r et u en fonction d'une variable t assujettie à l'unique condition que sa partie imaginaire soit positive. On portera ces valeurs de u et de a- dans les formules de Weierstrass, où l'on aura remplacé Hf(u) par sa valeur tirée de la formule (2) du n° 267; ce qui donnera

n C 1 — u2 da%

Sx.

in C \ — ^^2 «a2 x = Si / -r- J 2 du y = S\fi-

u% da2 du,

\ J du

u et a- étant des fonctions connues de la variable t.

280. Nous allons indiquer différents exemples auxquels on peut appliquer la méthode précédente.

Proposons-nous d'abord de déterminer la surface minima (M), nécessairement infinie, limitée par deux droites quelconques. Construisons, sur la sphère de rayon i, les deux grands cercles COCO', DOD'O' se coupant en O, O', dont les plans sont perpendiculaires à ces droites ; et soit ait l'angle COD de ces deux cercles, égal à celui des deux droites. La surface cherchée (M) aura pour représentation sphérique une aire limitée par ces deux cercles. Choisissons, par exemple, pour cette aire, le fuseau OCO'D, d'angle air. Si l'on prend pour axe des .z le diamètre O'O et pour plan des yz le plan ODO', l'origine des coordonnées étant toujours au centre de la sphère, le point O correspondra à la valeur zéro de la valeur u et le tracé géographique du fuseau OCO'D sur la partie supérieure du plan sera déterminé par la formule

car on voit immédiatement que, lorsque l'argument de t varie entre o et tî, celui de u varie entre o et ait.

Mais, il importe de le remarquer, on peut imaginer une infinité d'aires sphériques ayant les mêmes limites que le fuseau précédent; si l'on fait tourner, en effet, le demi-cercle ODO', dans tel sens que l'on voudra, autour de 00', en continuant indéfiniment le mouvement, il viendra périodiquement coïncider avec l'une des moitiés du second cercle OCO'C, et la nieme coïncidence se produira après que ODO' aura fait n — i demi-révolutions.

L'aire sphérique ainsi engendrée par le demi-cercle se composera de plusieurs feuillets superposés et pourra recouvrir la sphère autant de fois qu'on le voudra; il sera évidemment permis delà substituer au fuseau précédent et de la considérer comme la représentation sphérique de la surface cherchée. On reconnaît d'ailleurs aisément que l'on embrasse tous les cas que nous venons d'énumérer en augmentant a, dans la formule (4), d'un nombre entier quelconque, positif ou négatif, ou, ce qui est la même chose, en convenant de désigner par y.~ une quelconque des déterminations de l'angle des deux droites données.

Examinons maintenant le second tracé géographique, la repré-

sentation plane (S) de (M). Si l'on suppose que les deux droites qui limitent (M) appartiennent à un même système de lignes asymptotiques, cette représentation se composera d'une bande du plan comprise entre deux parallèles à une même bissectrice des axes coordonnés. Cette bande peut être considérée comme un quadrilatère dont deux angles opposés seraient égaux à tï, les deux autres étant nuls. Par suite, en appliquant la formule donnée au n° 274 et en remarquant que les angles nuls correspondent aux valeurs o, ce de £, on aura

C eih I — = G eih\ost.

., r dt

ah I

Lorsque la variable t varie de o à oo, l'argument de a- doit être

égal à — ou à — —• Le choix est indifférent, par suite de la présence

du radical \/$(u) dans l'expression de g-. Posons donc

.ii

n = Ce

On aura alors