C -i ci = — e
[OgK,
et, par suite, en prenant la dérivée par rapport à n.
ou
/-^T\ C -' v/'2ff («) = — e
dF(«)= -T' u2
K désignant une constante réelle. Nous retrouvons la valeur de $(u) qui caractérise un hélicoïde gauche à plan directeur (n° 196).
Mais, si l'on veut déterminer la constante G, il vaudra mieux substituer les valeurs de a- et de u en fonction de t dans les formules (3). On aura ainsi
Si Ton remplace t par p eiô, p et 9 désignant le module et l'ar- D. - I. 34
gument de t, G variera entre o et tt et l'on aura
Les deux droites, parallèles au plan des xy, qui limitent la surface (M) correspondent aux valeurs o et tc de G. On a donc, en désignant par A leur plus courte distance,
C*tt
et les formules (3) prennent ici la forme définitive
;a jf-a dt m t'A ,
2ita A dt m t'A
-^ T i \ dt m ii.
,= Sij--T =S\--ioSt,
où tout est connu. Il suffira de donner à a toutes les valeurs de l'angle pour obtenir tous les hélicoïdes qui contiennent les deux droites.
281. Dans l'exemple précédent, il y a une certaine indétermination, relativement au moins à la représentation sphérique; et cette même indétermination, qui se présente, comme nous l'avons indiqué, dans les solutions si étudiées données par M. Schwarz pour certains problèmes particuliers, se reproduirait évidemment dans les problèmes plus compliqués que nous avons à examiner. Voici comment on pourra opérer lorsqu'on voudra, négligeant tous les cas possibles, obtenir, par exemple, la surface réellement minimum, celle qui est réalisée par les expériences de Plateau.
Proposons-nous, par exemple, de déterminer la surface (M) qui est limitée par deux droites AB, AC et qui coupe normalement un plan MN {fig. 24). Soit BG la courbe inconnue suivant laquelle la surface cherchée coupe le plan MN. L'expérience apprend que cette courbe, qui se réduit à une droite quand le plan BAC est perpendiculaire au plan MN, n'a pas d'inflexion et est placée, par rapport à la droite BC, du même côté que la projection de A sur le plan MN. Les normales en A, B, C à (M) sont connues de
direction; car la normale en A est perpendiculaire au plan ABC, et la normale en B, par exemple, doit se trouver dans le plan MN et être perpendiculaire à AB. D'ailleurs, le sens de la normale en A détermine celui des normales 'en B, C et, généralement, en tout
Fie.
point de (M). On voit donc que la surface (M) aura pour représentation sphérique un triangle sphérique dont les sommets seront parfaitement déterminés.
Considérons maintenant la représentation plane. Les lignes AB, AC auront pour images des parallèles aux bissectrices des axes coordonnés, tandis que la ligne de courbure BC sera représentée par une parallèle à l'un des axes. Il faut donc admettre que cette représentation est donnée par la surface d'un triangle rectangle isocèle abc dont l'hypoténuse est parallèle à l'un des axes coordonnés.
Soient Att, utt, vit: les angles du triangle sphérique qui sert de représentation à (M). En conservant toutes les notations du n° 277 et en supposant que les sommets X, lu, v correspondent aux valeurs o, i, oo de i, nous aurons, pour déterminer la représentation de ce triangle sur !a moitié supérieure du plan, la formule
n^ *i-YF(«-hi — y, P-Hi-Y, a — Y.O
F(a, p,Y, t) étant déterminés par les formules
3 4-i — y = -(i+ X — |jt
et le module y/CC0 de C ayant pour valeur
r(g)r(p)r(Y-g)r(Y-pj (i — a) r(i — [i) r(« — i — Y)r(P ■+■ « — y)
Quant à la représentation plane, on l'obtiendra en appliquant la formule (i4) du n° 274 au triangle rectangle isocèle. En supposant que le sommet X corresponde au point de rencontre A des deux droites et, par conséquent, au sommet a. de l'angle droit du triangle rectangle, il faudra faire dans cette formule
ce qui donnera (ioj
K. étant une constante réelle afin que l'hypoténuse du triangle soit dirigée parallèlement à l'un des axes coordonnés.
L'exemple précédent, qui a été traité pour la première fois, comme nous l'avons indiqué (n° 266), par M. Schwarz, a été, depuis, étudié d'une manière approfondie dans un intéressant travail de M. Neovius (').
282. On peut trailer de la même manière le cas, considéré par Riemann, où le contour est formé (Jig'- a5) par une droite AB qui
Fie. 25.
en rencontre deux autres AC, BC Ici encore, la représentation sphérique 'du segment (M) sera un triangle sphérique. La repré-
(') Neovius, Bestimmung zweier speciellen periodischen Minimal fîachen auf welchen unendlich viele gerade Linien und unendlich viele ebene geodàlisclie Linien liegen. Helsingfors, i883.
sentation sphérique du point A sera située sur le rayon perpendiculaire à AB et à AC, la représentation sphérique de B sera située sur le rayon perpendiculaire à AB et à BC et enfin la représentation sphérique du point situé à l'infini, soit sur AC, soit sur BC, sera située sur le rayon perpendiculaire à ces deux droites. JNous adoptons ici l'hypothèse la plus simple relativement à ce secteur infini; il faut concevoir le segment (M) comme étant limité par une droite CC qui rencontre AC et BC et s'éloigne indéfiniment. Quant à la représentation plane, elle sera évidemment formée d'une droite ab, correspondante à AB, parallèle à l'une des bissectrices des axes, et de deux droites ac, bc' perpendiculaires à db. On peut envisager cette figure comme un triangle dont l'un des sommets s'est éloigné indéfiniment. Si l'on suppose que les valeurs o, i, ce de t correspondent respectivement aux poinls «, b et c, c', la formule, déjà rappelée, du n° 274 nous donnera ici
00 g = /K,/T f Ëi
J Vt(i—t
K étant une constante réelle. Cette formule, jointe à celles qui définissent la représentation sphérique, déterminera la surface cherchée.
283. 11 nous reste à étudier le plus important et le plus difficile des problèmes auxquels peut encore s'appliquer la méthode élémentaire précédente. Supposons que le contour donné soit formé par un quadrilatère gauche quelconque, ABCD. On aperçoit ici encore d'une manière très nette la représentation sphérique de la surface. Elle est formée par un quadrilatère sphérique dont les sommets sont parfaitement, déterminés, et elle est la même que celle du paraboloïde hyperbolique passant par les quatre côtés du quadrilatère gauche (*). On peut toujours supposer (n" 273) que
(l) On peut signaler à ce sujet un rapprochement très curieux donné par M. Schwarz dans une des notes du Mémoire déjà cité: Bestimmung einer speciellen Minimal '/lâche. Dans le cas où le quadrilatère est régulier et a ses angles égaux à v> la différence entre Faire du paraboloïde et celle de la surface minima est
inférieure à - — delà valeur de l'une quelconque des aires; déplus, les deux surboo il
faces sont tangentes l'une à l'autre au point central du quadrilatère.
les sommets consécutifs du quadrilatère correspondent aux valeurs
o, i , -^, ce de t, k désignant une constante réelle plus petite que i .
D'après les méthodes développées au n° 276, on obtiendra le tracé géographique du quadrilalère sphérique qui est la représentation de (M) sur la moitié supérieure du plan, en posant
9( et 02 étant deux solutions particulières, convenablement choisies, d'une équation linéaire
dont les coefficients p et q doivent satisfaire à l'unique condition (i3) 2q-Ç-^ = \u,t\;
\ u, t J ayant ici la valeur suivante :
i — af i — a.\ (t — rJ-\)kh hi h% ^ h3k'2
■( %n 2(i — tyï{ï—k*tytt — ik*t
avec les relations
(•5) { i — a? i — a', [ — aï , /t3 i
j H h i ■+- h9 -f- -tt r = -
Dans ces formules, a,Tc, a27i, a37i, a,,7c désignent les angles du quadrilatère qui correspondent respectivement aux sommets o, i
jj, ce; hi: A2, hz sont des constantes arbitraires et inconnues,
comme le module k-, assujetties uniquement à vérifier les relations (io); il reste donc deux constantes arbitraires dont il faut fixer la valeur. Les théorèmes généraux que nous avons rappelés permettent d'affirmer qu'il sera toujours possible de déterminer ces constantes de manière à obtenir effectivement, par le quotient de deux solutions particulières convenablement choisies de l'équation (12), la représentation cherchée du quadrilatère sphérique sur la partie supérieure du plan.
La représentation plane (S) du segment cherché (M) est évidemment limitée par les côtés d'un rectangle; on aura donc
06) <r = v/He'~
1 \/t(i— t)(i — t2t) H désignant une constante réelle.
284. On voit que la surface serait complètement déterminée par des quadratures si l'on savait intégrer l'équation linéaire (12). Parmi les formes différentes que peut recevoir cette équation, nous signalerons la suivante :
Adoptons pour la fonction />, qui peut être choisie arbitrairement, une expression de la forme
ex e2 e3/c2
t t — i kn — \
On démontre aisément que les termes en — ,
P- (t—\y- (k*t — i)* pourront disparaître de l'expression de q. Il suffit, pour cela, que eiy e2, ez satisfassent aux équations
(e2 — i)2=af, (e,-—i)*=a|, (e3— i)2=a|.
Si l'on prend, par exemple,
k*-t — 1 on aura
(om- 1) («2-+- 1) («i + 0 (as H- 0^'2
(18) 2gr =
(a3+ 1) («2-4-1) /l2 Aj A2 A2 A;
(i — 1) (/c2if — 1) « if — 1 k2t — i
L'équation (12) peut donc se ramener à la forme suivante :
(19) ^(I 0(i-/c20^ + (Mï2+N^ + P)^ + (M^-+-N')9=o,
qui a été l'objet d'un grand nombre de recherches; car elle est la plus simple de toutes les équations du second ordre, après l'équation de Gauss, dont elle peut être considérée comme une généra-
lisation ('). On n'a pu jusqu'ici l'intégrer que dans un petil nombre de cas particuliers ; et même les résultats obtenus dans cette voie ne seraient pas toujours applicables à la question que nous avons à résoudre.
28o. Si Je quadrilatère gauche a un plan de symétrie passant par deux sommets opposés, la surface qui donne la solution du problème de Plateau devra nécessairement, si elle est unique comme il est naturel de l'admettre, avoir le même plan de symétrie que le quadrilatère et, par conséquent, couper ce plan à angle droit. Par suite, si l'on se propose de déterminer seulement la portion de cette surface qui se trouve d'un côté déterminé de ce plan de symétrie, on sera ramené au problème que nous avons résolu précédemment (n° 281). Telle est la méthode suivie par M. Schwarz dans les Mémoires que nous avons analysés.
286. Ici se terminent les applications que nous voulions donner de la méthode générale. Dans chaque cas particulier, nous avons obtenu les valeurs de c et de u en fonction de t; il suffira de porter ces valeurs dans la formule (3) et de donner à t toutes les valeurs dont la partie imaginaire est positive. Mais, pour compléter
C1) Si l'on prenait pour/? la valeur suivante :
it i (t — i) 2 (k2t— i )
on obtiendrait l'équation même donnée par Riemann (Gesammelte Werke, p. 3o8,\ En substituant à t la variable u définie par l'équation
t = sn2w,
et qui ne diffère de <r que par un facteur constant, on donnera à cette équation la forme élégante
j d2t) / , i \ i / 2 i\dn2M
% du2 \ ' 4/ sn-M \ 2 4/ cn'2z<
/ , i \ k2 en2 u ( , i \ + (a^4J^n^ + (aï-4J/:"Sn'M+/'
/ étant une constante arbitraire que l'on peut substituer à hr Dans un Article inséré au Tome XCIV ( p. i645 ) des Comptes rendus, j'ai montré que cette équation peut être intégrée, par l'application des belles méthodes d'Hermite, de la même manière que l'équation de Lamé, qu'elle comprend comme cas particulier, toutes les fois que les nombres a, , a, , a., , a, sont entiers.
la théorie précédente, il nous reste à démontrer que la surface à laquelle on est ainsi conduit donne effectivement la solution du problème proposé. Voici comment on peut discuter ce point essentiel.
On reconnaîtra d'abord aisément que le segment de surface (M) n'a aucun point singulier dans son intérieur. Négligeons ce premier point, qui apparaîtra de la manière la plus claire clans une autre méthode que nous donnerons au Chapitre suivant, et qu'il est d'ailleurs très aisé de démontrer. Il suffira donc de prouver que la courbe limite du segment (M) se compose de droites et de courbes planes, et qu'elle peut être identifiée avec le contour donné a priori dans chaque cas particulier.
Pour le démontrer, nous donnerons à t les valeurs réelles, qui fournissent tous les points de la limite du segment, et nous supposerons d'abord que t varie seulement dans l'intervalle auquel doit correspondre une droite (d) du contour.
D'après la détermination de <r, la portion considérée du contour, étant représentée sur le plan par une parallèle à l'une des bissectrices des axes, sera nécessairement une ligne asjmptotique ; et. d'après la détermination de u, cette même portion du contour aura pour représentation sphérique un arc de grand cercle dont le plan sera perpendiculaire à la droite (d). Or, toule ligne asjmptotique qui admet un grand cercle pour représentation sphérique est nécessairement une ligne droite : car les tangentes d'une ligne asjmptotique sont perpendiculaires à celles de sa représentation sphérique; et, par conséquent, elles seront ici toutes perpendiculaires au plan du grand cercle. Ainsi, cette portion du contour de la surface trouvée (M) sera une droite parallèle à (d).
Considérons maintenant l'un des intervalles pour lesquels la portion du contour doit se composer d'une ligne plane située dans un plan (P). D'après la détermination de cr, celte portion du contour aura pour représentation plane une droile parallèle à l'un des axes coordonnés et sera, par conséquent, une ligne de courbure; d'après la valeur attribuée à w, cette ligne de courbure aura pour représentation sphérique un arc du grand cercle dont le plan est parallèle à (P). Donc, cette portion du contour de la surface trouvée sera bien une courbe plane située dans un plan que la surface coupera normalement et qui sera parallèle au plan (P).
On voit donc que, dans chaque cas particulier, la surface minima obtenue sera limitée par une chaîne composée de droites et de plans, parallèles à ceux qui avaient été choisis a priori. Mais ici se présente une seconde question.
287. Les directions des droites et des plans qui composent le contour de la surface obtenue sont bien celles des droites et des plans de la chaîne donnée. Mais la solution ne contient plus qu'une constante arbitraire, celle qui entre en facteur dans a- et qui est toujours réelle (K dans les premiers exemples, H dans le dernier); et, par conséquent, elle ne peut donner que les surfaces limitées par un certain contour, ou par tous les contours homothétiques. Or il est évident que deux chaînes, telles que celles considérées par M. Schwarz, ne sont pas nécessairement identiques ou homothétiques dès qu'elles sont composées d'éléments parallèles. Supposons, pour fixer les idées, que le contour ne se compose que de droites dont la direction soit connue. Le théorème des projections donnera seulement trois relations entre les longueurs des côtés. Si le nombre de ceux-ci est supérieur à 4> si Ton a par exemple un hexagone, il y aura une infinité d'hexagones non homothétiques dont les côtés seront parallèles.
On est donc obligé de reconnaître que les hypothèses faites précédemment sur la surface cherchée sont trop limitatives. Alors même qu'elles pourraient être maintenues dans tous les cas, elles ne donneraient la solution du problème que pour des contours spéciaux. Elles pourront être acceptées, et donneront certainement une solution du problème, quand la forme de la chaîne sera déterminée par la direction de ses éléments : c'est ce qui a lieu dans tous les exemples précédents; mais, dans le cas où la direction des éléments ne suffit plus à déterminer les rapports de leurs longueurs, elles seront trop spéciales et ne pourront conduire à des solutions générales. Il faut donc reprendre la solution du problème, examiner la signification des différentes hypothèses que nous avons faites, et rechercher celles de ces hypothèses auxquelles on est obligé de renoncer.
288. Nous avons admis que l'intégrale <7 ou / \Ji §{u) du est une fonction finie et uniforme dans toute l'étendue du segment (M)
LE PROBLÈME DE PLATEAU. APPLICATIONS. 53g
qu'on veut déterminer. Nous allons voir que, même en excluant le cas où la surface (M) aurait des points singuliers, il faut admettre qu'il peut exister des points particuliers du segment (M) qui seront des points critiques de cette intégrale; en sorte qu'elle cessera d'être uniforme.
Imaginons, par exemple, trois plans, désignés par les numéros d'ordre i, 2,3, se coupant suivant une droite (d) et formant ainsi six angles dièdres que nous supposerons égaux entre eux, ayant,
par suite, pour valeur commune —• Construisons un segment de
droite terminé aux plans i et 2. Si l'on prend le symétrique de ce segment par rapport au plan 2, puis les symétriques des deux segments obtenus par rapport aux deux plans 1 et 3, on formera un hexagone gauche doué d'une certaine régularité, admettant la droite (d) pour axe de symétrie ternaire. La surface minimum limitée par les côtés de cet hexagone jouira évidemment de la même propriété ; elle sera normale en un point [/. à la droite (d), qui sera aussi pour elle un axe de symétrie ternaire. Par suite, si l'on porte l'origine des coordonnées au point p., en prenant la droite (d) pour axe des z, il sera impossible que le développement de z suivant les puissances de x et de y commence aux termes du second degré, aucune surface du second degré à courbures opposées n'ayant un axe de symétrie ternaire. Il n'est pas impossible, au contraire, que le développement de z commence aux termes du troisième degré. Le point m. ne cessera pas d'être simple, mais l'équation différentielle des lignes de courbure et celle des lignes asymptotiques s'y présenteront sous une forme indéterminée.
289. 11 faut donc considérer ces points pour lesquels l'équation de la surface rapportée à des axes convenablement choisis prend la forme suivante :
(20) z = on{x,y)+-yn+1(x,y) ■+-...,
®i(x, y) désignant un polynôme homogène de degré i et n pouvant être supérieur à 2.
On verra facilement, en prenant les termes de degré moindre dans l'équation aux dérivées partielles des surfaces minima donnée
au n° 176, qu'on doit avoir
dx2 dy-
En choisissant convenablement l'axe des #, on pourra donc prendre
<?* = — [(a;-t-yi)H-+-(x — yi)'1],
a désignant une constante réelle. Posons
(21) x-^yi = \. x — yi=rt
(xo bis) z — - [£/l 4- r/'] -K
Les valeurs de u et de u{ relatives à l'origine peuvent être supposées nulles. Pour reconnaître comment s'expriment u et ^F(m) dans le voisinage de ce point, on peut employer la méthode suivante.
L'une des lignes de longueur nulle passant par l'origine est représentée par les équations
/XL u"- §(u)du,
' §(u)du,
Je" u § (u) du.
En différentiant l'équation (20 bis) et remplaçant d%, d'/\, dz par leurs valeurs déduites des formules précédentes, on trouve
u = — (ai;'1-1-!-. . .)m2-4- flVM+- • ■)
ce qui donne pour u une valeur de la forme
(a3) u = aïj«-i + . . .,
les termes négligés étant, par rapport à £, ïj, de degré supérieur
LE PROBLÈME DE PLATEAU. APPL CATIONS. 54 1
à n — i . Si Ton porte cette valeur de u dans l'équation
on aura l'équation différentielle suivante :
dt . , ,
La valeur de £ qui satisfait à cette équation et s'annule pour y) = o sera, comme on sait, de la forme
(•25) S = 1»*-ïP(l),
P(r,) désignant, suivant nos conventions, une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de ~r\ et qui ne s1 annulepas pour t\ = o. On déduit de là et de la formule (23)
M = T1»-iP1(ri),
P, ('/",) avant la même signification que P('fi). En résolvant par rapport à Y], on trouvera
(26) Y) = u'rZÏPl\uF:î).
Si Ton différentie maintenant cette équation, en remplaçant c/rj par sa valeur &(u) du, on aura
Telle est la forme de $(u) qui convient au point considéré; et il
est aisé de démontrer que, réciproquement, toute valeur de cette
forme donne un point simple pour lequel le développement de z
a la forme (20).
Faisons, en effet,
u = vn~l,
les formules du n° 191 qui définissent la surface deviendront ici
[ x = (n — i)S\ (i-v*"-'-)P3(t>)dr,
= (n—\)Sif 2("î-1P3(c dv.
Comme P:t(e) contient un terme constant, les valeurs de x et dey sont du premier degré par rapport à v et à sa conjuguée c,. On peut toujours les résoudre par rapport à r et à v,, puis porter les valeurs obtenues dans s; les premiers termes de z seront bien du degré n en x et en y.
290. Imaginons maintenant qu'on ait représenté la surface cherchée (M) sur la moitié supérieure du plan. (1). Soit t la variable complexe représentée sur la moitié supérieure du plan, et soit a la valeur de t relative au point considéré de (M). Les coordonnées x ely de ce point seront développables suivant les puissances de t — a et de la quantité conjuguée t, — at ; et elles contiendront nécessairement les premières puissances de ces deux quantités. D'ailleurs, comme la variable v qui figure dans les formules (28) est le paramètre d'une ligne de longueur nulle, elle sera fonction, soit de ï, soit de t, . En échangeant, si cela est nécessaire, la partie inférieure et la partie supérieure du plan, on peut toujours supposer v fonction de t. Cela posé, il faudra que, des deux intégrales
f P3(v)dv, f (;««-* P,<p)rfe,
qui entrent dans les expressions de x et de y et qui sont développables suivant les puissances de t — a, l'une contienne la première puissance de cette quantité. Ce sera évidemment celle qui est du degré le moins élevé, et l'on pourra poser
P3(v)dv = (t — a) P(t — a).
En intégrant par rapport à v et en résolvant, on déduira de cette équation la valeur suivante de v :
v = (t — a) Px(t — a),
(l) Étant donnée une portion de surface quelconque (AI) à connexion simple, peut-on la représenter sur la partie supérieure du plan? La proposition qui résulte d'une réponse affirmative à cette question n'a pas encore été établie. Dans le cas des surfaces minima, elle a été énoncée dans les Articles si souvent cités de Weierstrass, et l'on pourrait la faire dériver de l'existence et des propriétés de la représentation sphérique de la surface. Pour abréger, nous l'admettrons ici.
ou, en remplaçant v par sa valeur en fonction de a,
(29) 11 = (J — a)'l~l Pz(t — a).
Comme on connaît déjà l'expression (2*7) de $(u)en u, on conclura de l'équation précédente
ou, en substituant,
(30) /^2=(Z ay'-2P3(z a).
Telles sont les deux formules qui permettent de déterminer la forme de u et de a- dans le voisinage du point t = a. Il nous reste à indiquer les propriétés géométriques qui en résultent, et pour la représentation sphérique (S), et pour la représentation plane (S).
291. Désignons par a le point de (M) qui correspond à la valeur a de t et par ce! sa représentation sur la sphère; soient u. un point de la surface, très voisin de a, et [// le point correspondant de la sphère. Lorsque le point p. décrit un petit cercle autour de a, l'argument de t — a augmente de 27t. D'après la formule (29) l'argument de u augmentera de a(/i — ■ \)t: et, par conséquent, le point tx' fera n — 1 tours autour de a.'. On voit que le point a! sera un point de ramification, d'ordre n — 2, de la surface de Riemann qui forme la représentation sphérique de (M). Aussi, dans la suite, donnerons-nous aux points tels que a le nom de points de ramification d'ordre n — 2 (1). Si le point a se trouve sur le contour de (M), le point u. de la surface, situé dans l'intérieur de l'aire, ne pourra faire qu'un demi-tour autour de a, et cela quand on passera de la partie du contour qui précède a à celle qui le suit. Alors le point correspondant de la sphère fera seulement n — 1 demi-tours.
Supposons d'abord n égal à 3 ou, plus généralement, n impair.
(J) Riemann s'est borné à consédérer le cas où n = 3, en indiquant que les points les plus généraux peuvent être formés par la réunion de plusieurs de ces points particuliers.
Lorsque le point |jl parcourt celte portion du contour qui est voisine de a, le point u,' parcourt un arc de grand cercle passant par le point correspondant a'. Si le point u, décrit à l'intérieur de (M) un demi-cercle, en passant de la partie du contour qui précède a à celle qui le suit, le point pi/ décrira un nombre entier de tours, et reviendra, par conséquent, sur la partie de l'arc de cercle qui précède a.'. Il y aura donc un rebroussement dans le mouvement de u.' sur l'arc de cercle. Si la portion considérée du contour de (M) est rectiligne, cela signifie que la normale à la surface, après avoir tourné dans un sens bien déterminé, et toujours le même, autour de la droite, commencera à tourner en sens contraire. Si cette partie du contour est une ligne de courbure plane, le mouvement de la tangente changera de sens et l'on passera par un point d'inflexion. Supposons, au contraire; n pair; il y aura un simple stationnement dans la rotation de la normale si le contour est rectiligne, et un sommet de la courbe si le contour est une ligne de courbure plane.
292. Relativement à la représentation plane (S) définie par la fonction a-, on peut obtenir des conclusions tout aussi précises.
Si n est impair et si le point a est dans l'intérieur de l'aire, on aura, d'après la formule (3o), un point critique t = a pour l'inlégrale u. Par conséquent, cette intégrale sera multiforme, et la représentation plane se composera d'une série de portions se reproduisant périodiquement. On voit ainsi que /' hypothèse d' une représentation plane parfaitement limitée ne saurait convenir à tous les cas. Si le pointa est sur le contour de l'aire, la fonction o- cessera d'être multiforme, mais son argument augmentera de
7t(- i | lorsque t passera par la valeur a. Par conséquent, la
portion du contour de (M) sur laquelle se trouve le point a, au lieu d'être représentée par une seule droite, le sera par deux segments perpendiculaires l'un à l'autre.
Supposons, au contraire, n pair. Si le point a est dans l'intérieur de l'aire, la représentation plane (S) admettra un point
de ramification d'ordre i. Si le point a est sur le contour, il
y aura simplement un stationnement ou un rebroussement sur la ligne droite parcourue par le point de (S).
LE PROBLÈME DE PLATEAU. APPLICATIONS. 5|j
293- Il nous reste maintenant à examiner les modifications, d'ailleurs très simples, qu'il faudra faire subir à la méthode générale par laquelle nous avons déterminé les deux fonctions u et u. Si l'on reprend la suite de raisonnements développée au Chapitre XI, et si l'on tient compte des singularités qui résultent pour u et pour a- de la présence des points de ramification, on verra que chaque point de ramification d'ordre n — 2 introduira
simplement dans ( -j- ) le facteur
(«0 étant la quantité conjuguée de a), s'il est situé dans l'intérieur de l'aire, ou le facteur
s'il est situé sur le contour et si, par conséquent, a est réel.
D'ailleurs, le degré total de ( -=- j devra toujours être égal à — ,\
lorsque la valeur t = ce ne correspondra, ni à un sommet, ni à un point de ramification.
Pour déterminer la fonction u, il faudra ajouter à l'expression de \u, t], donnée au n" 276, des termes tels que les suivants :
1 1 -- (n — 1)'2 h 11 — (n — 1)2 ha
•2 (t — a)'1 t — a 2 (t — cio )- t — «0
si le point de ramification est dans l'intérieur de (M), et seulement la moitié de ces termes
si le point se trouve sur le contour. Quant aux angles du polygone sphérique et aux valeurs de /i, on les déterminera, dans chaque cas, en se faisant une idée de la forme de la surface cherchée, c'està-dire en résolvant, pour éviter des tâtonnements, un problème plus ou moins difficile de Géométrie de situation. On pourra étudier à ce point de vue l'exemple donné au n° 288; si l'on veut déterminer la représentation sphérique de la surface, on peut hésiter entre deux hexagones; mais on reconnaît aisément, et de U. — I. 35
différentes manières, qu'il faut choisir celui qui fait deux fois le tour de la sphère.
Nous ne développerons pas davantage la méthode précédente qui présente encore des lacunes. Dans le Chapitre suivant, nous allons proposer une autre solution, qui se rapproche peut-être de celle de Weierstrass, et qui repose dans tous les cas sur de belles formules dues à cet illustre géomètre.
