Reprenons les équations du n° 19J

l x = SV I (i — u-) j(u) du, (i) / y = Si fi(i + u*-)3(u)du,

I z = cR. / 111 $ (u) du,

qui définissent une surface minima réelle, et supposons qu'on substitue à la variable indépendante u une fonction quelconque t de u. Si l'on veut étudier, par exemple, une portion limitée de la surface, à connexion simple, et si on la suppose représentée sur la partie supérieure du plan, t pourra être l'affixe du point du plan qui correspond au point de la surface; mais, pour le moment, nous supposerons que la nouvelle variable t ait été choisie d'une manière quelconque. Gela posé, si l'on introduit les notations nouvelles

C ( t \ il) if= — — A J, $(u)du = — iR-(l)dt,

les équations (i) prendront la forme suivante :

l x = dîl A'[G»(0 — H*(0] dt,

(3) ) y = ë\j [G*(t) + W(t)]dt,

F .5 = cïl / 3JG(/)I](()A,

qui a été donnée par Weierstrass ( ' ).

Des formules (2), qui servent de définition à H(£) et à G(i), on déduit les suivantes :

(4) ^tt>=HG--GH' et

(4a) cf(«) rf£*2= i(HG'— GH') dP,

G' et H' désignant les dérivées de G et de H par rapport à t. Par suite, la fonction <r définie dans le Chapitre précédent aura ici pour expression

(5) d= fs/*i(UG'—GH')dt;

l'équation différentielle des lignes asymptotiques (n° 197) deviendra

(6) S\i(UG'—&H')dt'-=o et celle des lignes de courbure sera, de même,

(7) cR(IIG'— GH')dt*=.o.

Nous allons maintenant chercher comment se transforment, avec les notations nouvelles, les équations relatives à un déplacement de la surface ou à un changement d'axes coordonnés.