Reprenons les formules, données aux nos

(') Monatsberichte der K. P. Akademie, p. 612 et suiv.; 1866. Voir aussi le Tome III des Œuvres mathématiques de Weierstrass.

qui définissent le déplacement. On peut écrire la seconde sous la forme

Si l'on désigne par G((£), H,(£) les valeurs nouvelles de G(^), H(^), c'est-à-dire les valeurs de ces fonctions relatives à la surface déplacée, on aura, d'après la définition même de ces quantités,

(10) , = ^ii^, tj(v)dv=-nri(t)dt.

En portant ces valeurs dans la première équation (8) et dans l'équation (9), on trouvera

G(t) __ m Gi(Q — n Hi(Q H(0 ~~ »'oHi(0 + n0Gi(t)' 8H*(*)H?(0

[m0U1(t)~+-n0Gl{t)\i ou, plus simplement,

Vo y/ 0

le radical yo pouvant être pris, soit avec le signe 4-, soit avec le signe — . Ce double signe devait naturellement se présenter, car la forme (3) donnée aux équations qui définissent la surface n'est pas altérée si l'on change à la fois le signe de H et celui de G. Comme 0 désigne, dans les formules précédentes (n° 198), le

déterminant

on voit que le déterminant de la substitution linéaire définie par les formules (1 1) est toujours égal à l'unité. De là résulte le théorème suivant :

Un déplacement de la courbe minima définie par les équations

(12) x = i A G* — H*)dt, 7= f(G9--hE*)dt, z=f

liGttdt

55o LIVRE III. — CHAP. VIII.

se traduit par une substitution linéaire, au déterminant -+- 1 , effectuée sur G(t) etH(t).

H, et G, désignant les nouvelles valeurs de H et de G, on a

G(0 = -^Gi(0--^H1(0,

5i /e déplacement est réel, m0 et n0 sont respectivement les imaginaires conjuguées de m et de n.

296. La proposition si simple que nous venons d'établir conduit immédiatement à une conséquence importante. Formons l'équation du second ordre

(i3) dF+pdt^^ = 0->

qui admet comme solutions particulières les deux fonctions G(t) et H(z); il résulte du théorème précédent que cette équation demeurera la même lorsqu'on déplacera la surface d'une manière quelconque dans l'espace. Il est donc naturel de se proposer la question suivante :

Considérons une équation linéaire du second ordre donnée a priori, et prenons pour G(t) et H(*) deux solutions particulières quelconques de cette équation. On aura ainsi une infinité de surfaces minima qui dépendront de quatre constantes arbitraires, pouvant être imaginaires. Nous dirons que ces surfaces forment une même famille. Peut-on passer d'une de ces surfaces à toute autre par un simple déplacement? Ou, s'il n'en est pas ainsi, quelles sont les relations géométriques en Ire les différentes surfaces de la même famille?

Pour répondre à cette question, il suffît de remarquer qu'on passe d'une des surfaces à toute autre de la même famille en effectuant sur G et H la substitution linéaire la plus générale. Or, une telle substitution résulte toujours de la composition des deux

suivantes :

G = «Gi, H = «Hi et

Gr=efaGi, H = ê'«Hi,

LES FORMULES DE WEIERSTRASS. 55l

où a et a désignent des quantités réelles, avec une substitution quelconque, au déterminant + i .

La première de ces trois substitutions définit une transformation homothétique à pôle et à module réel, suivie, si l'on veut, d'une translation. Elle aura donc pour effet de remplacer la surface minima par une surface homothétique.

La seconde définit une transformation homolhétique à pôle réel et à module imaginaire; en sorte que les modules des deux transformations appliquées aux deux courbes minima dont la translation engendre la surface sont imaginaires conjugués. Si l'on se reporte au commencement du Chapitre V, on reconnaît immédiatement que les surfaces obtenues sont les surfaces associées à la surface primitive. On aura, en particulier, la surface adjointe si l'on prend

Enfin, la troisième substitution, au déterminant +i, définit un déplacement qui est généralement imaginaire (1).

(!) Les déplacements imaginaires, malgré tout l'intérêt qu'ils présentent dans certaines recherches, n'ont pas été, croyons-nous, étudiés au point de vue de la Géométrie. Nous croyons donc utile d'indiquer comment on peut les ramener, en quelque sorte, à une forme canonique.

Tout déplacement autour d'un point fixe réel peut s'obtenir, on le sait, par l'emploi successif de deux renversements, c'est-à-dire de deux symétries prises successivement par rapport à deux droites (D), (A), que l'on peut même faire tourner dans leur plan sans modifier leur angle. Or, ce plan, passant par le point fixe réel comme les droites (D), (A), admet au moins une droite réelle. Ainsi, tout déplacement autour d'un point fixe peut se remplacerpar un renversement autour d'une droite réelle (D) passant par ce point fixe et un renversement autour d'une droite (A), qui peut être imaginaire.

Considérons maintenant la droite ( A ) ; elle se trouve certainement dans un plan réel (P); on peut donc la remplacer par une droite réelle (A') de ce plan réel à condition d'ajouter au renversement autour de (A') une rotation autour de la perpendiculaire (A") au plan (P), rotation qui sera d'un angle égal au double de l'angle de (A') et de (A). Soit 6-w'a la grandeur de cette rotation.

En résumé, le déplacement est ramené à deux renversements successifs autour des droites réelles (D), (A') et à une rotation autour de la droite réelle (A") qu'on peut partager en deux : l'une réelle d'angle 6, l'autre imaginaire d'angle iz.

Les deux renversements autour des droites (D), (A') et la rotation 6 autour de (A") constituent, en somme, un déplacement réel qu'on peut remplacer par une rotation réelle autour d'une droite réelle (A'"). On est donc conduit au résultat définitif suivant :

Tout déplacement autour d'un point fixe réel équivaut à deux rotations

j5'2 LIVRE III. — CHAP. XIII.

En réunissant Jes résultats précédents, nous obtenons la réponse suivante à la question proposée.

Toutes les surfaces réelles d'une même famille se déduisent de l'une d'elles par l'emploi des deux opérations suivantes : transformations homothéliques à pôle réel et à modules imaginaires conjugués, appliquées respectivement aux deux courbes minima dont la translation engendre la surface; déplacements imaginaires conjugués respectivement appliqués à ces deux courbes. La première de ces opérations donne les surfaces homothétiques des surfaces associées à la proposée. Quant à la seconde, elle n'a pas encore été étudiée avec tout le soin qu'elle parait mériter. En général, l'étude des surfaces minima qui correspondent à une même équation linéaire du second ordre présenterait, au point de vue analytique aussi bien qu'au point de vue géométrique, un réel intérêt.

297. Nous venons de voir qu'un déplacement de la surface se traduit par une substitution linéaire, au déterminant -|- i , effectuée sur G et H; on reconnaît aisément que l'opération plus complexe par laquelle, après avoir déplacé la surface, on prend sa symétrique par rapport à un plan, se traduit de même par la substitution, au déterminant — i ,

où m0, ?i0 sont les conjuguées de m et de n quand la transformation est réelle.

autour de deux droites réelles; l'une de ces rotations a son angle réel, l'autre a son angle égal à une imaginaire pure ia.

On voit, que les déplacements imaginaires d'nn corps solide a}rant un point fixe réel n'introduisent qu'un élément nouveau, à savoir une rotation imaginaire pure autour d'un axe réel. Si cet axe réel a été pris pour axe des z, de telles rotations sont représentées par les équations