CHAPITRE II

Méthodes régulières pour la détermination des géodésiques. — L'équation différentielle du second ordre des géodésiques remplacée par un système canonique.

— Usage que l'on peut faire d'une ou de deux intégrales de ce système. - Intégrales homogènes. — Intégrale du premier degré : elle caractérise les surfaces applicables sur les surfaces de révolution. — Intégrale du second degré.

— Il y a deux formes distinctes de l'élément linéaire pour lesquelles on trouve une intégrale du second degré. Pour la première et la plus importante, l'élément linéaire est réductible à la forme de M. Liouville. — Détermination de tous les cas dans lesquels il y a à la fois une intégrale du premier et une intégrale du second degré.

590. L'artifice que nous avons employé dans le Chapitre précédent et qui nous a fait connaître les lignes géodésiques pour la forme spéciale de l'élément linéaire considérée par M. Liouville a permis à Jacobi de donner une solution élégante des problèmes les plus importants de la Dynamique du point matériel; mais il semble difficile de l'étendre ou de le généraliser. Il faut donc révenir à la théorie générale et indiquer les méthodes régulières qui permettent de déterminer une solution, contenant une constante arbitraire, de l'équation

Etant donnée uiie équation aux dérivées partielles

la recherche d'une intégrale complète de cette équation se ramène, comme on sait, à la détermination d'une fonction (p(w, t^, /?, q) telle que l'équation (2) et la suivante

(3) cp(w, (;,/>, ^) = G,

où C désigne une constante arbitraire, soient compatibles, c'està-dire qu'elles fournissent des valeurs dé/> et de q satisfaisant à la