LIVRE VI

— CHAP^ITRE I

condition

pour toutes les valeurs de C. D'après cela, si l'on calcule, au moyen des équations (2) et (3), les valeurs des deux dérivées qui entrent dans la relation précédente, on trouvera la condition

^^^ ^-^'^^ du dp dp du dv dq àq dv

qui ne contient plus C et devra avoir lieu, par conséquent, pour toutes les valeurs de ?/, t», /;>, q qui satisfont uniquement à l'équation (2).

Dans le cas spécial qui nous occupe^ nous sommes donc conduits à déterminer une fonction cp satisfaisant à l'équation linéaire

(5) (A,cp)^o,

pour tous les systèmes de valeurs de m, <% /^j q liées par l'équation (i).

L'intégration complète de cette équation linéaire (5) se ramène, comme on sait, à celle du système suivant d'équations différentielles

dp dq du- dv

qui définit ce que l'on appelle les ca/acléristiques de l'équation aux dérivées pxirtielJes (i).

Ce système admet évidemment une première intégrale, A, dont la valeur constante doit ici être prise égale à i. Si Ton en connaît une autre intégrale cp, on pourra achever la solution du problème et déterminer par de simples quadratures les géodésiques de la surface. Mais il est nécessaire de donner quelques développements sur ce point essentiel.

Si l'on combine l'une des équations (6)

dà

ÔA

avec l'équation de condition

on en déduira les valeurs suivantes de p et de q

. ^ j^ du ^ du du ^ dv

(8) ^=E^+F^^, <^^F^-hG^,

et il suffira de porter ces valeurs dans une autre des équations (6), par exemple dans la suivante

du — dp

ôq du

pour en déduire une équation du second ordre entre a et v. Cette équation du second ordre, qui tient lieu du système (6), sera précisément celle des lignes géodésiques. 11 est aisé de le vérifier presque immédiatement par le calcul direct; mais on peut aussi le reconnaître par un raisonnement a priori.

En effet, si, dans le système (6), on remplace p et q par les dérivées partielles d'une solution quelconque de l'équation aux dérivées partielles (i), on sait, d'après les propriétés générales des équations aux dérivées partielles du premier ordre, que ce système se réduira à la seule équation (7). Or cette équation définit, on le vérifie aisément, les trajectoires orthogonales des courbes 8 = const.. et ces trajectoires sont, comme on l'a vu, des lignes géodésiques.

Au reste, on arrive à la même conclusion si l'on traite le problème des lignes géodésiques comme une question de Mécanique. En employant la méthode et les variables d'flamilton [II, p. 481], on est conduit, pour définir la ligne géodésique, à un système canonique qui donne immédiatement les équations (()).

Ainsi, on peut considérer le système (6) comme tenant lieu de l'équation différentielle du second ordre des lignes géodésiques pourvu que l'on y regarde/? et ^ comme des inconnues auxiliaires,

qui sont d'ailleurs définies en fonction de n^ r, -r- par les formules (8). Ce point étant établi, examinons les différents cas (jui peuvent se présenter.

591. Supposons d'abord que Ton connaisse deux intégrales distinctes c^ et •]/ du système (6).

L^élimination de /? et de ^ entre les équations

donnera l'équation en termes finis, contenant les deux constantes arbitraires G, G', des lignes géodésiques. Gela résulte immédiatement de ce. que les trois relations précédentes donnent trois intégrales du système (G).

Si l'on a déterminé une seule intégrale cp, on pourra achever de deux manières différentes la solution du problème proposé. Ou bien on déterminera/? et </ par les équations

-A = i, cp=G,

et l'on effectuera ensuite la quadrature

— / {p du ^ cj civ)

les lignes géodésiques seront alors définies par l'équation

OÙ G' désignera une seconde constante- Ou bien on remplacera dans l'équation

p et q par leurs expressions (8) en -j-^ -j-» ce qui donnera une intégrale première de l'équation des lignes géodésiques, dont on déterminera ensuite un facteur en appliquant le théorème de Jacobi [II,P-43.].

On ne sait pas intégrer d'une; manière générale l'équation linéaire (5). Mais on a obtenu des résultats du plus haut intérêt en se donnant a priori certaines formes générales de l'intégrale cp que l'on suppose connue, «t-en se proposant de déterminer l'élément linéaire par la condition que ces formes puissent conduire à une solution complète du problème proposé.

Remarquons d'abord qu'en faisant usage de l'équation (i) on pourra toujours rendre la fonction (p homogène par rapport aux deux variables;» et q, Gette transformation est très avantageuse; car alors l'équation de condition (5) aura également son premier membre homogène par rapport aux mêmes variables. Gette équa-

tion sera ainsi réduite à ne contenir que les trois variables u. v. —,

qui peuvent être regardées comme indépendantes; et, par suite, elle devra avoir lieu identiquement.

Ainsi nous sommes ramenés à la détermination des intégrales homogènes par rapport k p et k q qui satisfont identiquement à l'équation (5). Il est utile de remarquer que les intégrales de cette nature conservent leur homogénéité et leur degré quand on effectue un changement quelconque de coordonnées.

592. Nous commencerons par les intégrales algébriques et entières ('), et nous étudierons en premier lieu le cas où la fonction cp est du premier degré. Supposons que la surface ait été rapportée à des coordonnées symétriques. Alors l'élément linéaire sera défini

par la formulé

ds^— 4^ dx dy.

L'équation (i) deviendra ici

(9) f =., et l'on aura

(10) o = ap->rbq,

a et 6 étant des fonctions inconnues de x et àe y. La condition (5) nous donnera

q ( da dh \ p / da db\ apq âX bpq d\

(') Le lecteur reconnaîtra aisément que toute intégrale algébrique et entière, non homogène, conduit à deux intégrales distinctes que l'on obtient en séparant les termes de degré pair par rapport à p et à q des termes de degré impair. Chacune de ces deux intégrales donnera ensuite, par l'emploi de l'équation A6 = I, une intégrale rationnelle et homogène du même degré. .

Dans une Note Sur les intégrales algébriques des problèmes de Dynamique insérée, en i886, au tome CHI des Comptes rendus, M. G. Kœnigs a montre que, s'il existe des intégrales algébriques quelconques, il y aura nécessairement des intégrales rationnelles, entières ou fractionnaires. L'étude des cas où il y a des intégrales algébriques irrationnelles se ramène donc à celle des questions que nous allons examiner dans le texte.

et, pour qu'elle soit identiquement vérifiée, il faudra que l'on ait

àb^da d(al) ^ d(b~k)

dx ~ ây ~ ' dx ' dy ~ ^

OU encore

(11) è=.Y, «^X, -^—^Aj^^o,

X et Y dépendant respectivement des seules variables x et y.

Or la forme de l'élément linéaire subsiste quand on y effectue une substitution

On reconnaîtra aisément qu'en effectuant ce ckangement on peut toujours ramener les fonctions X, Y à avoir l'une des valeurs constantes o ou i .'

On n'a donc que les deujx hypothèses suivantes à examiner :

La première nous donne