I -H il

qui se ramènent à une seule. On déduit do là, en tenant coniple de la formule (i>.4)^

équation qui fera connaître l'expression de u en a et [ii.

Pour obtenir de même l'expression de r, on remarquera que l'on a, par définition,

a db -{- a' db' -h a" db" — — r du — /'i dv — — C d^\

En remplaçant les cosinus t7, h, ... par leurs valeurs (28), nous trouverons

./■ fi df,-^df (3i) 2/1(1 — W) dv — (p cpi doi — do

équation qui déterminera (^ par une quadrature.

Il ne reste plus maintenant, pour définir complètement la surface, qu'à employer les formules

djT — adu -h bCdv, ...,

dans lesquelles on remplacera a, b, du y dv par leurs valeurs. 11 vient ainsi

!^k dx — (yo -\- cp,)(û?«]/i — d^) — (<]; -\-^^){dox — do). En intégrant et en employant les formules analogues relatives à

y et ^, on aura

i^f^x = o^i— 'hoi-r- I (oid<\ii — '\>idoi) — / (o d^ — ^ do), \l<y = ^f, -f^i-i-f(^i df,-f, d^,)-J{^ df -fd^\ !^kz =/o, - cp/i H-^ (/i do^-oy df,) -Jifdo - o df);

telles sont les formules par lesquelles la surface se trouve déterminée de la manière la plus élégante. On en déduit immédiatement une nouvelle et remarquable propriété géométrique de cette surface. Gomme l'on a

.,dx , dy ., dz

j.,dx , dy , , dz

on peut énoncer le résultat suivant :

En chaque point dUine ligne asymptotique, la tangente à l'autre ligne asymptotique est parallèle à un plan fixe.

Mais cette propriété n'est pas caractéristique et se distingue par là de celle qui nous a servi de point de départ. Elle appartient à toutes les surfaces définies parles formules (32), alors rtiême qu'il n'y a aucune relation entre les fonctions/, cp, '^ ou /,, cp,, tj;,.

768. Il ne sera pas inutile de vérifier les résultats que nous veinons d'obtenir en cherchant directement l'élément linéaire de la surface définie par les formules (Sa), où nous supposerons toujours que les fonctions fif\y • • ♦ vérifient les relations (i4) et (i 5). On aura

IG/.-2 C/.2 ^ [(/^/0-2-+- (o + cpO^-i- (^ -H <]., )^]

^\{^df-df,)'^-^{d^-d^,Y^{d^-d^,)'^\

-[{f^fx){df-df,)

-^ (? H- ?i) (û?o — C?Oi) -H ((j^ H- ^i){d^ — C^i'Ol'S

ce que l'on peut écrire, en conservant la signification donnée à H par la formule (27),

lalroduisons la variable u définie par Téqualion

ikdu = -{/l^^dn;

nous aurons

dR dU

l^at/p.

Or reprenons la valeur de di^ donnée par la formule (3i) el élevons-la au carré. Nous trouverons

(36) 4^*(i — H)2rft;2^