SI

D. - IIÏ.

370 LIVRE Vil. — CHAPITRE IX.

de sorte que les recherches précédentes en donnent l'intégration complète, et sous la forme la plus simple.

La valeur de dv fournie par l'équation (36) peut s'écrire comme il suit

et Ton retrouve encore l'équation (39) en exprimant que celle valeur de dv est réellement une diflerentiellè exacte.

Enfin, comme l'équation (Sg) n'est pas modifiée quand on j remplace to par tt — co en changeant le signe de l'un des radicaux, on voit que l'on pourra définir une fonction v^ par l'équation

...=ta„,^[^.-(^y..-^/7:(;)'.,];

les courbes (^' = const. seront les conjuguées des courbes de para nrè Ire V.

Il résulte de la formule (34) que l'on a

(4-2) ( ikdu — — cos2— û?to,

ce qui permet de donner à l'équation (3^) la forme suivante

(43) 4 A-2 ds-^ = cos* ~rftt)2-^ 4A:2 sin2 - dv^.

Cette expression de l'élément linéaire convient aux surfaces applicables sur le paraboloïde de révolution

(44) .z=^'-(x^-hy^),

c'est-à-dire sur le paraboloïde de paramètre -r*

769. En changeant un peu les notations, nous pouvons énoncer le théorème suivant, qui résume toute cette recherche :

Les équations

(45) {r^^fx-f^x-^f{^xdf,-f,d^,)-J{^df-fd^), - =^/?i— ?/i -^J^f^ ^?i — ?i û?/i) —Jifdf^ ~ cp df),

PROPRIÉTÉS DIVERSES DES SURFACES W. 3y ï

oàf^ co, 'j( sont des fonctions de a et/t, '^,, ^1;, des fonctions de ,3

assujetties à vérifier les relations

/2 + Cp2 ^ ^'

A étant une constante quelconque, représentent la surface la plus générale applicable sur le paraboloïde

(47) x^-\- y^~^hiz\

xet^ sont les paramètres des deux familles d^tsymptotiqucs.

Nous ajouterons les remarques suivantes :

Pour obtenir la surface qui, associée à la précédente, forme la développée complète d'une surface W, il faut simplement, dans les formules (45), changer le signe de/,, cpi, <}^, ou celui def^'f, 'h.

Nous reviendrons sur les surfaces définies d'une manière générale par les formules (4^)', mais, dès à présent, nous pouvons indiquer une génération très simple de ces surfaces.

Considérons les deux courbes (F) et (F,), définies respectivement par les équations

X = ~2 {^d'h — ^d(;^), I Xi= 2 / ('fi r/<];t— '>! do^),

T) ]Y^-^J{^df-fd^\), (rO ) Y,^7.J{^,df,-fyd^}^,),

Z=^-^J{fd^-'fdf), I Z,^i f(f,do,~'o,dj\).

Gomme on a, par exemple,

fd\ -H CD û?Y + 4» G?Z = o, dfdX. -{-d^dY-hd'\>dZ=^o,

on reconnaît que /, (p, <]> sont .proportionnels aux cosinus directeurs c, c\ d' de la binormale à la courbe (F). Nous poserons donc

f =lc, cp = X c', tj; = X c" ;

et, en portant ces valeurs dans l'équation

dX = — 2.(«f <iy — 4' ^T)' nous aurons

dX = 'i'k*(c''âc'~c'dc'').

Si l'on se sert des formules de M. Serret (n" i), eu désignaul par T le rayon de torsion de (T), on trouvera

Ainsi, on pourra poser

\/v ^-V^ "^-Wi

On trouverait de même, t, désignant le rayon de torsion de (F,) et Co c, , c\ les cosinus directeurs de la binormale à cette courbe,

Cela posé, adjoignons à la surface (Si) définie par les formules (45) celle que l'on obtient en changeant dans ces formules le signe de/,, o<, •{;,, et que nous désignerons par (S2). Il est aisé de voir d'abord que, si M, et M2 sont les points de ces deux surfaces correspondants aux mêmes valeurs de a et de p, la droite M, M2 est toujours tangente aux deux surfaces; de sorte que (S,) et (S2) forment les deux nappes de la surface focale pour la congruence des droites M, , M2. Mais on peut écrire comme il suit les équations qui définissent les points M4, M2

X = ! y/ — TTi {c C^ — C Cl ),

(50) [y= ^ ^ -L, , / xTi (cVi - CC\ ),

; = -f- - y/ — T^T^i (ccj — c Cl),

en donnant successivement au radical les deux signes différents. L'interprétation géométrique de ces formules ne présente aucune difficulté et conduit au théorème suivant :

Soient (F), (F,) deux courbes quelconques. On construit la surface (Sq) lieu du milieu pi de la corde qui joint un point P de la première à un point P< de la seconde. Si, par le point (jl, on mène une parallèle (d) à r intersection des plans osculateurs en P et en P,, la droite (d) touche deux surfaces (S|) et (S2) en des points M, et Ma tels que le milieu du segment M,M2 soit en {JL et que Von ait

Ml Mj = / — txi sinu),

PROPRIÉTÉS DIVERSES DES SURFACES W. 3y3

T et T| étant, en grandeur et en signe, les rayons de torsion des deux courbes en P et en P, et to V angle des plans osculaleurs en ces points. Les asymptotiques se correspondent, sur {Sx ) et sur (S2); et elles correspondent, sur (So), aux courbes conjuguées que Von obtient en laissant immobile un des points P, Pi, et déplaçant Vautre sur la courbe qui le contient,

11(S. Nous reviendrons plus loin sur cette proposition-, pour le moment, appliqtions-la au cas particulier dans lequel les deux conditions (46) sont vérifiées. En vertu des formules (48) et (49), ces conditions nous donnent

X — ih, Ti = — 2/1, ce qui nous conduit à la proposition suivante :

Si les courbes (F), (r< ), au lieu d^être quelconques, ont des torsions constantes, égales et de signes contraires -et » la

droite (d) qui figure dans V énoncé précédent sera normale, dans toutes ses positions, à une surface W appartenant à la nouvelle classe découverte par M, Weingarten; et les deux surfaces (S|) et (S2), qui constitueront les deux nappes de la développée de cette surface W, seront applicables sur le paraboloïde de paramètre 2'zi, Cette construction donne toutes les surfaces applicables sur le paraboloïde de révolution.

La génération précédente s'étend au cas limite où, t devenant nul, (F) et (F|) deviennent des courbes de longueur nulle. Alors la surface (So) devient une surface minima; (84) et (Sa) constituent les deux nappes de la développée de cette surface, et nous pouvons énoncer le théorème suivant :

/« H- cp2 -h <];« = 0,

les équations (4^) définissent les développées des surfaces minima, toutes applicables, comme on sait, les unes sur les autres.

Remarquons, en terminant ce Chapitre, que, si Ton veut avoir

toutes les surfaces réelles applicables sur le paraboloïde réel, il faudra, dans les formules (4^), remplacer h par /u, /, fï/i, ■ • • P^t/sJî, '^sfi/f\ s[î\ ...,puis prendre pour/ et/,, cp etcp,, t); ett^^ des fonctions imaginaires conjuguées. Les points réels des surfaces correspondantes s'obtiendront en donnant à a et à (3 des valeurs imaginaires conjuguées.

Dans la génération indiquée plus haut, cela revient à prendre pour (F) une courbe imaginaire don^t la torsion soit une imaginaire pure et pour (F,) la courbe imaginaire conjuguée.

Les rapports de cette théorie avec celle des surfaces minima sont nombreux et évidents^ nous nous contenterons maintenant des indications précédentes. Toute cette théorie se représentera lorsque nous nous occuperons de la déformation infiniment petite d'une surface.