CHAPITRE X
APPLICATION DES THÉORÈMES DE M. WEINGARTEN AUX SURFACES POUR LESQUELLES LA COURBURE TOTALE QU LA COURBURE MOYENNE EST CONSTANTE.
Remarque de M. O. Bonnet: La recherche des surfaces dont la courbure moyenne est constante' se ramène à celle des surfaces pour lesquelles la courbure totale est constante. — Les surfaces à courbure constante négative considérées comme surfaces W. — Propriétés géométriques relatives aux lignes asymptotiques. — Transformation de M. Bonnet et de M. Lie; surfaces à courbure constante qu'on peut faire dériver d'une surface donnée. — Propriétés géométriques signalées par M. O. Bonnet; les lignes de courbure de toute surface à courbure moyenne constante forment un système isotherme. — Toute surface à courbure moyenne constante est applicable sur une infinité de surfaces avec conservation des rayons de courbure principaux aux points correspondants. — Développées des surfaces à courbure constante négative; elles sont applicables sur l'hélicoïde minimum. — Les surfaces à courbure constante considérées comme applicai)les sur des surfaces de révolution. — Étude des trois formes distinctes que J'on obtient pour l'élément linéaire d'une surface de révolution à courbure constante négative. — Surfaces complémentaires ; elles sont applicables sur les surfaces de révolution engendrées par la révolution d'une traclrice ordinaire, d'une traclrice allongée ou raccourcie.
771. Le rôle que jouent, en Géométrie, la courbure totale et, en Physique mathématique, la courbure moyenne, donne la plus grande importance à la détermination et à l'étude des surfaces pour lesquelles Tune ou l'autre de ces courbures est constante.
Une ingénieuse remarque, due à M. O. Bonnet (*), permet de montrer que la difficulté du problème est la même, quelle que soit celle des deux courbures que l'on considère. Si l'on donne,
en effet, une surface dont la courbure totale soit égale à —> la
surface parallèle, menée à la dislance k de la première, aura ses
(*) Bonnet <0.), Note sur une propriété de maximum relative à la sphère {Nouvelles Annales de Mathématiques, t. XII, p. 433; i853).
rayons de courbure principaux liés par la relation
Si donc on prend
il restera
Ainsi :
A toute sur/ace dont la courbure totale est constante et égale à — correspondent deux surfaces parallèles, menées à la distance ± a de la première, et dont la courbure moyenne est é^'ale à —'
On démontrera, de même, que :
A toute surface dont la courbure moyenne est constante et différente de zéro correspondent deux surfaces parallèles, V une dont la courbure totale est constante. Vautre dont la courbure moyenne est aussi constante et a même valeur que pour la surface proposée.
Il est vrai que, si l'on donne une surface réelle à courbure
totale constante négative —^ > les surfaces parallèles à courbure
moyenne constante qu'on en dérive sont menées à la distance ai de la première et sont, par suite, imaginaires. Cette remarque peut avoir de l'importance au point de vue des applications; mais elle ne nous empêche pas de reconnaître, avec M. Bonnet, que l'étude des surfaces, à courbure totale constante est liée de la manière la plus étroite à celle des surfaces dont la courbure moyenne est constante.
Si la courbure moyenne devient égale à zéro, on obtient une surface minima. On voit donc que la recherche des surfaces pour lesquelles l'une ou l'autre des courbures est constante peut être considérée comme le premier problème qui s'offre aux efforts des géomètres après l'étude des surfaces minima. D'autres remarques confirmeront cette opinion; nous allons montrer, maintenant, que l'on peut trouver dans l'étude des théorèmes de M. Wein^arten
(les moyens très variés d'entreprendre la recherche précédente et d'obtenir, sous la forme la plus simple, les équations aux dérivées partielles dont elle dépend.
772. Nous nous attacherons surtout aux surfaces à courbure totale constante, et nous commencerons par celles pour lesquelles cette courbure a une valeur négative. On peut toujours, en employant une transformation homothétique réelle, réduire cette valeur à — i; de sorte que l'on aura
RR' = -i.
Les rayons de courbure étant liés par une relation, la surface peut être considérée comme une surface W. Appliquons-lui les formules du n" 74*2. En introduisant une variable w, on peul écrire
R = cp(A:) = — colw,
* R'= cp(A:) -- A' o'{k) = tangw.
On déduit de là
dtû
kt^'(k) = -. , to'{k)dk =
sincocoso) ' sin2(
et, par conséquent,
dk
-.— = — cotcû ao>.
L'intégration nous donnera
sinio et, par suite,
cp'(A-) =
COSU)
Nous aurions, d'après les formules (9) [p. 3i8], ^ = sino), /?i = — coso).
Mais, pour la commodité des calculs, nous prendrons (3) ^ = sino), pi—cosd),
ce qui est évidemment permis (n° 742).
Alors, nous pourrons écrire le Tableau complet suivant
dm i q = sino), K = — coto), A = costo, r =
/>i = cosa>, R = tangoj, G = sino), ri= j-^
OÙ A, C, r, j'i ont la même signification que dans le Tableau V [II, p. 386]. La dernière relation (A) de ce Tableau, entre les rotations, nous donne l'équation aux dérivées partielles
(5) ____ = sina>cosa>,
à laquelle devra satisfaire w. La solution complète du problème dépendra donc d^ l'intégration de cette équation, à laquelle on peut donner la forme un peu plus simple
(6) ^— — - = smû,
en posant Q= 20). Toutefois, il est bon de remarquer que, lorsqu'on aura la valeur de w, il restera encore, si l'on veut obtenir la surface, à intégrer les équations de Riccati dont dépend la détermination des neuf cosinus [I, p. 56, éq. (2)].
Ces équations, si l'on y remplace <t par e'^, prennent la forme remarquable
h -r- = — l SinO) COS0,
du dv
d^ doi . . .
—- -\- r— — icostosinO, dv du
que nous retrouverons plus loin. Nous verrons que les systèmes de ce genre jouent un rôle fondamental dans la théorie qui nous occupe.
Quelque réduite que paraisse l'équation (6), on peut encore la simplifier. En effet, l'équation générale des lignes asymptotiques
A^ du^ — G^i dv^ — o devient ici
du"^ — dv'^ = o.
Par conséquent, les asymptotiques des deux systèmes sont dé-
finies par les équations
a4-p = const., M— -p = const.
Si Ton pose
(8) M-hP = aa, u — i>=2^,
et si Ton substitue les paramètres aet ^ des asymptotiques à ceux des lignes de courbure, on aura
LMlément linéaire de la surface et celui de sa représentation sphérique seront respectivement déterminés par les formules suivantes
(9) ds^ = cos*a> du^-h sin^w dv^— rfa^-t- d^^-i- 2 cos2tù doid^,
(10) rfa*= sin*o> du^-¥- cos^w dv^= da^H- d^^ — 1 cos2u) d(id^\
et Péquation (5) prendra la forme
('0 ^— T^ = sinwcosto ou , ,Q = sm2aj,
que Ton obtiendrait d'ailleurs immédiatement en écrivant que l'élément linéaire défini par la formule (9) appartient à une surface de courbure égale à — i .
773. Les relations précédentes mettent en évidence quelques propositions géométriques que nous allons signaler.
Si Ton fait croître u et ^ par degrés égaux, on voit que l'on décompose la surface, et aussi sa représentation sphérique, en rectangles dont les diagonales sont toutes égales. Sur la surface, ces diagonales sont les tangentes asymptotiques.
Si Ton fait, de même, croître a et ^ par degrés égaux, la surface sera décomposée par les lignes asymptotiques en losanges ayant tous les mêmes côtés ( * ).
Comme il en est de même de la sphère sur laquelle s'effectue la représentation sphérique, on peut dire que la connaissance des
(>) Ces propriétés ont été signalées en premier lieu par M. DiNi. ( Voir le Mémoire Sopra alcune formole generali délia teoria délie superficie e loro applicazioni, inséré en 1870 au tome IV des Annali di Maeematica, p. 175.)
38o LIVRE VII. — CHAPITRE X.
lignes asymptoliques de toute surface à courbure constante négative permettra de déterminer sur la sphère et, par suite, sur toute autre surface à courbure constante positive, deux familles dé lignes pouvant diviser la surface en losanges ayant tous le même côté(»).
On peut encore signaler la propriété géométrique suivante. Considérons l'aire comprise entre quatre asjmptotiques formant un parallélogramme curviligne ABGD {Jig> 76); elle sera donnée par l'intégrale
I j sin 2 ta dot, d^,
Fig. 75.
étendue à tout l'intérieur du parallélogramme. Si l'on lient compte de l'équation aux dérivées partielles (n), on peut écrire celte intégrale comme il suit
(') Il est bon de remarque^' que, la surface étant donnée, on peut toujours obtenir les lignes asymptotiques par de simples quadratures. En effet, 5I $ désigne la forme quadratique définie au a" 764, les deux équations
ds' = cos' b> du^ -f- sin» w rfi>% ^ = du dv
vont nou9 permettre de déterminer (i>, u, v. On en déduit
<f«'±: 2 sin u> cosb) ^ = (costd £fu db sinu c^(^)*.
En exprimant donc que la forme
est un carré parfait, on obtiendra une équation du second degré, en X, dont les
APPLICAXrON J>ES THEORE.MKS J> E M. WEINGARTEN. 38f
«t, SOUS cette forme, on en trouve immédialemeot la valeur, qui est
A-f-b-T-C -H D -2Tr,
A, B, C, D étant les angles du parallélogramme. Comme celte expression doit être positive, on voit que la 3omme des angles est supérieure à 27:. Si le quadrilatère était formé avec des lignes géodésiques, au lieu d'un excès, il j aurait undrficit (n° 641), et l'aire du quadrilatère serait égale à ce déficit.
774. La considération des asymptoliques et la forme particulière (11) à laquelle on est conduit pour l'équation aux dérivées partielles donnent encore naissance à une remarque intéressante, qui a été faite par M. Lie (*). Comme l'équation (i i) ne change
pas lorsqu'on y remplace a par ma. ei^ par -^, m étant une constante quelconque, on voit que, si l'on a trouvé une solution
o) = o(a, p) de cette équation, on pourra en déduire la solution plus générale
Transportant ce résultat au cas où l'on a conservé les variables u et P», le lecteur reconnaîtra sans peine qu'à toute solution
deux racines seront rh sin2(i); puis on aura, (f après l'équation précédente,
2 cosw' c/m = \ ds''-^ ^ sin2 w -f- \ ds^ — ^ sin aw ,- 2 sin w dv = \ds' -i- r7 sin2u) — \ds* — ,^sin2w, et ces relations feront connaître du et dv au signe près. On en déduira
doL = - {du-h dv), d'^= - {du — dv};
a et p seront donc déterminés, comme u et i', à une constante additive près.
(») Lie (S.), Ueber Flàchen deren Krummungsradien durch eine Relation verkniipft sind {Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, t. IV, p. 5io; '879).
on peut faire correspondre la solution
h V sinh ç -}- u sïnh'
cosA cosh
où h désigne un angle quelconque.
Mais, il importe de le remarquer, toutes les surfaces ope l'on associe ainsi à une surface donnée, définie par exemple par son équation, ne sont pas aussi complètement connues que celle d'où elles dérivent. Il ne suffît pas, en effet, de connaître la valeur de w, il faudra encore intégrer les équations de Riccati correspondantes à cette solution; et cette intégration ne paraît pas pouvoir être effectuée lorsqu'on laisse à m ou à A toute leur généralité.
775. Avant M. Lie, M. Bonnet avait donné une remarquable propriété du groupe de surfaces que l'on obtient ainsi ou, plus exactement, de l'ensemble des surfaces à courbure moyenne constante qui leur sont parallèles (^). Nous allons rapidement indiquer les résultats de M. Bonnet.
La surface parallèle, menée à la distance X de la proposée, aura pour rayons de courlfure principaux
( R = X — cotw,
R'= X H- tangw.
Comme />! et ^ conservent leurs valeurs, l'élément linéaire de cette surface aura donc pour expression
(i3) ds^= (costo — X sinw)2 du^-h (sina> -h X cosoj)^ dv^.
La relation entre ses rayons de courbure sera
(i4) RR'— X(R-+-R')-+-X2-i-i=.o.
Pour que la courbure moyenne devienne constante, il faudra donc prendre 'k==±: i. Soit, par exemple,
Alors l'élément linéaire deviendra (i5) ds^= e^i^{du'^—dv^).
( ' ) O. Bonnet, Mémoire sur la théorie des surfaces applicables sur une surface donnée (.Journal de l'École Polytechnique, XLIP Cahier, p, 77; 1867).
Et de là résultent les deux propositions suivantes :
Les lignes de courbure de toute surf ace à courbure moyenne constante forment un système isotherme.
Les lignes de longueur nulle de la surface correspondent aux asymptotiques de la surface à courbure totale constante qui lui est parallèle,
La première de ces propositions avait déjà été établie au n** 433. La seconde met en évidence, une fois de plus, que, si la surface à courbure moyenne constante est réelle, elle est nécessairement parallèle à une surface dont la courbure totale a une valeur constante ^\, positive.
Examinons maintenant ce que devient, pour les surfaces à courbure moyenne constante, la transformation de M. Lie.
Introduisons, au lieu de u et v^ les paramètres a et P; Télémenl linéaire donné par la formule (i5) deviendra
(i6) ^52= 4^210) ^a<ip.
Soit donnée une valeur de w
a> = cp((2,|3);
on en pourra déduire une autre en prenant
Nous allons montrer que les deux surfaces correspondantes sont applicables Vune sur Vautre avec conservation des deux /ayons de courbure principaux aux points correspondants.
Soient, en effet,
les deux éléments linéaires de ces surfaces. Si l'on. fait correspondre au point (a, p) de la premièpe surface le point (ai, pi) de la seconde défini par les valeurs
on aura évidemment, aux points correspondants, 0)1= u> et daid^i— dxd^.
On déduit de là
ds^ = ds\ .
Les surfaces seront donc applicables l'une sur l'autre; de plus, comme les rayons de courbure principaux dépendent seulement de la valeur de to,- ils seront nécessairement égaux.
Ainsi se trouve établie la proposition de M. O. Bonnet :
Toute sur/ace à courbure moyenne constante est applicable sur une infinité de surfaces ayant même courbure moyenne, avec conservation des rayons de courbure principaux aux points correspondants.
L'éminent géomètre j a été conduit en cherchant tous les couples de surfaces applicables, l'une sur l'autre, de telle manière que les deux rayons de courbure principaux soient égaux aux points correspondants. Nous renverrons, pour l'étude détaillée de cette intéressante question, au Mémoire que nous avons cité plus haut [p. 382]. Relativement au cas particulier qui se présente ici, M. Bonnet a donné des propriétés géométriques que le lecteur établira aisément et que l'on peut énoncer comme il suit :
Faisons la carte de la surface donnée de telle manière que ses lignes de courbure soient représentées par les droites du plan parallèles aux axes coordonnés; pour le s autres surfaces associées, les lignes de courbure seront représentées par deux séries de
droites parallèles faisant des angles constants a et a H — avec les axes coordonnés.
La détermination complète de toutes ces surfaces associées dépend de l'intégration du système (7).
776. Dans les numéros précédents, nous avons supposé que la surface étudiée avait une courbure totale négative j le cas où la courbure est constante et positive se ramène facilement à celui que nous venons d'examiner. EtTectuons, en effet, une transformation homothétique avec le rapport de similitude f , ce qui change le signe de ds^. Les rayons de courbure principaux deviendront
R = — icotw, R'=i tango).
L'élément linéaire de la surface et celui d<j de la représentation
sphéri^ne seront donnés par les formules
ds^ = — cos2 (M du'^ — sin2 u) dv""-^ drs"-— sin^tt) <iw2-+- cos^to <3?i^2
On voit que les rayons de courbure deviendront réels si l'on remplace o) par — w'i, w' étant réel. L'expression de d(s- montre ensuite qu'il faudra remplacer u par uH, Ainsi l'on aura les formules suivantes
que l'on pourra employer si l'on veut étudier les surfaces à courbure constante et positive. Les surfaces parallèles dont la courbure moyenne est constante auraient pour élément linéaire
(i8) <i52=re*2w'(c?a'2-+-c?<^2).
Soit
une valeur de co' satisfaisant à la dernière équation (17); l'ensemble des surfaces réelles à courbure moyenne constante considérées par M. Bonnet, et qui sont applicables les unes sur les autres avec Conservation des rayons de courbure, correspondrait aux valeurs de iù' comprises dans l'expression générale
a>'-— cp(M ces a — V sina, u sina -i- v ces a), OÙ a désigne une constante réelle.
777. On peut aussi conserver toutes les notations de M. Weingarten en employant la valeur
pour les surfaces à courbure positive — ? et la suivante
pour les surfaces à courbure négative
Cette remarque permet même d'examiner très simplement ce que devient ici fe second théorème de M. Weingarten (n° 747).
Si l'on choisit, par exemple, la valeur (20) de <p(A'), l'élément
linéaire de la première nappe de la développée sera donné par la
formule
ds^ = do'' -r- k^ dv^ ou
(21; 0/52= ûfcp'^-t- (cû2H-a2)^(;2.
La comparaison de cette formule avec celles qui ont été données (n''^ 66 et 68) nous conduit au théorème suivant :
Les deux nappes de là développée d^ une surface à courbure constante négatwe sont applicables sur une même alysséide ou sur un même kélicoïde minimum.
Ainsi la connaissance de toute surface à courbure constante nous permettra de déterminer deux surfaces applicables sur l'a-
lysséide.
Et, réciproquement,
Toute surface non réglée applicable sur V hélicoïde minimum donnera, par de simples quadratures, une surface à courbure
Ces propositions expliquent pourquoi nous avons déjà été conduit, au n*^ 726, dans la recherche des surfaces non réglées applicables sur l'hélicoïde, à une équation aux dérivées partielles qui est évidemment identique, aux notations près, à celle que nous avons obtenue plus haut.
778. Les remarques précédentes semblaient épuiser tout ce que l'on peut déduire des théorèmes de M. Weingarten relativement aux surfaces à courbure constante; mais, dans un travail publié en
APPLICATION DES THEOREMES DE M- WEINGARTEN. Ou;
1879 (M, M. L. Bianclii s'est placé à un point de vue tout nouveau et a obtenu des résultats que nous allons maintenant exposer.
Les surfaces à courbure constante forment, sans doute, une classe spéciale de surfaces W; mais on peut aussi les regarder comme formant l'ensemble des surfaces applicables sur des surfaces de révolution déterminées, sur la sphère ou sur lapseudosphère suivanf que leur courbure est positive ou négative. On est ainsi conduit à rechercher les surfaces W pour lesquelles Tune des nappes de la développée a sa courbure totale constante.
Supposons, pour fixer les idées, que cette courbure totale soit né -
gative et égale à -^- Les résultais obtenus au n° 66 [I, p. 79]
nous permettent d'affirmer qu'il y a trois formes différentes, et trois seulement, pour les surfaces de révolution dont la courbure totale a
cette valeur
Nous aurons d'abord la pseudosphère engendrée par la révolution de la tractrlce dont toutes les tangentes sont égales à a. L'élément linéaire de cette surface rapportée à ses méridiens et à ses parallèles sera donné par la formule
Puis viendra la surface, représentée dans X-à jig. 3 [I, p. 80], dont tous les méridiens vont coviper l'axe et dont l'élément linéaire est réductible à la forme
i'!^) ds'^^aÂda'^-^r- — — j dvA.
Enfin nous aurons la surface représentée dans Xdifig. 2 [1, p. 81] dont les méridiens ne coupent pas l'axe de révolution et dont i'é lément linéaire a pour expression
[/ pU t. p-u \ 2 ~|
du'^-^r J j dç'-l
Comme ces différentes formes sont, d'une infinité de manières^
(•) DiANCHi (L.), Ricerche sulle superficie a curvatura costante e sull? elicoidi {Annali délia R. Scuola normale superiore diPisa, t. II, p. 285; 1879).
Ueber die Flàchen mit constanter negaiiver Kriimmung {Mathematische Annalen, l. XVI, p. 677; 1880).
applicables les unes sur les autres et conviennent à toute Surface de courbure totale — ^> nous pouvons énoncer la proposition suivante :
U élément linéaire de toute surface à courbure totale —^ peut
être ramené d^une infinité de manières à Vune des formes {11)^ (28), (24); et ces formes sont les seules pour lesquelles les géodésiques de paramètre ^puissent devenir, après une déformation, les méridiens dhtne surface de résolution.
779. On peut retrouver ce résultat par une méthode toute différente, qui repose sur la remarque suivante.
Pour toute surface de révolution, les parallèles sont des cercles i^éodésiques. Par suite, si une surface est applicable sur une surface de révolution, les géodésiques qui se transforment dans les méridiens admettent nécessairement pour trajectoires orthogonales des cercles géodésiques.
D'après cela, soit (S) une surface à courbure constante -y
Prenons sur cette surface un cercle géodésique quelconque (C), de rajon h. Les géodésiques normales à ce cercle formeront la famille la plus générale qui puisse se transformer dans les méridiens d'une surface de révolution quand on déformera convenablement la surface. Nous allons montrer qu'elles jouissent effectivement de cette propriété.
Si l'on rapporte, en effet, la surface au système de coordonnées formé par ces géodésiques et leurs trajectoires orthogonales, l'élément linéaire prendra la forme suivante (n° 599)
* r / pu p—u pu i p—u\i ~|
(25) ds''=a^\du'--^l\ ^ +Vi ^ ) "^^^ r
dans laquelle on peut supposer que u soit l'arc de la géodésique compté à partir de son pied sur le cercle (C). Le rayon de courbure géodésique pg des trajectoires orthogonales sera donné par la formule générale
gU
APPLICATION DES THÉORÈMES DE M- WEINGARTEN. SSq
et, si l'on exprime qu'il est égal à b pour le cercle (C), c'est-à-dire pour ur=z o^ on aura
Gomme on peut, en choisissant convenablement p', réduire Va l'unité ou à telle constante que l'on voudra, on pourra ramener l'élément linéaire à la forme
ds^- = aAdu^--h y [(a — 6)e«-f-(a-t- ^>)e~"]2û?p2 1
qui caractérise bien une surface applicable sur une surface de révolution. Mais, pour la réduction définitive, il j a plusieurs cas à distinguer :
i" Si b est égal à a en valeur absolue, si l'on a, par exemple,
on aura l'expression réduite (22);
2° Si b est plus petit que a, on déterminera une constante Uq par
l'équation
puis la substitution
u \ u -h- Uq, {a — b)e"oi> \ av
ramènera l'élément linéaire à la forme (24).
3° Enfin, si b est supérieur à a, on déterminera une nouvelle constante Uq par l'équation
et la substitution
u \ u-^ uq, (a— b)e^ov \ av
nous ramènera à la forme (28).
Les trois expressions différentes de Télément linéaire que nous venons d'obtenir offrent un caractère commun qui nous permet d'énoncer la proposition suivante :
Sur toute surface à courbure constante les courbes parallèles à un cercle géodésique sont elles-mêmes des cercles géodésiques.
Réciproquement, si les courbes parallèles à tout cercle ^éodésique sont elles-jnéiïies des cercles géodésiques, la surface a sa courbure totale constante ; car elle pourra être déformée de manière à devenir une surface de révolution admettant pour un de ses parallèles un cercle géodésiqiie quelconque, assigné à l'avance. Par suite la courbure totale, devant demeurer constanie lorsqu'on se déplacera sui' ce parallèle, sera nécessairement la même pour tous les points de la surface.
780. Examinons maintenant séparément les trois formes de l'élément linéaire.
Pour la première (22 ) les trajectoires orthogonales des géodésiques ont toutes un rayon constant et égal à a. Et il est aisé de voir qu'il j a )à une propriété caractéristique : SUI existe sur une Furface une famille de courbes parallèles for mée de cercles géodésiques dont le rayor^ de courbure géodésiciue a la même valeur a, la surface a, sa courbure totale constante et égale à -^•
Soil, en elTet,
1 expression de l'élément linéaire rapporté à ces courbes parallèles
et aux géodésiques orthogonales'. La propriété énoncée se traduit
par l'équation
' ^ = -f- I ^ au ~~ a
(pii donne
V étant une fonction de v', et de là on déduit^ en effet,
C oiC- ^ a^'
Pour les deux autres formes de l'élément linéaire les trajectoires orthogonales sont toutes des cercles géodésiques; mais, pour la deuxièifiie, ces cercles ont tous des rayons inférieurs à a et décroisscuû jusqu^à zéro, de- telle manière que les géodésiques vont toutes passer par un point fixe (u = o); au contraile, pour la troisième, les rayons des cercles sont tous supérieurs à et, et ils grandissent indéfiniment de telle manière que V un d^'Jix
APPLICATION DES THEOREMES DE M. WEINGARTEN. 6gi
(u = o) devient une géodésique à laquelle toutes les autres sont normales.
Ainsi, tandis que, sur la sphère, tout cercle géodésique est parallèle à la fois à un cercle de rayon nul et à un cercle de rayon infini, c'est-à-dire à une géodésique, ces deux propriétés s'excluent réciproquement dans les surfaces à courbure constante négative.
