Ecrivons comme il suit

l'une quelconque des trois expressions de l'élément linéaire, et supposons que l'on mène les tangentes aux géodésiques de paramètre i^. Elles seront normales à une surface W pour laquelle les deux rayons de courbure principaux seront déterminés par les équations (n° 748)

et elles toucheront une deuxième surface (S') qui formera avec la première (S) la développée complète de la surface W. Nous dirons avec M. Bianchi que (2') est la sur/ace complémentaire de (S). Nous avons vu (n^ 749) que l'élément linéaire de {l!) a pour expression

^^^^ Ur

( v8) ds'^ ^a>\[.--\ du^ -f ^^ dw-^

Appliquons ces résultats en substituant successivement les di verses valeurs de C.

Si l'on prend d'abord

C = e«, on a

\k — au, ^' =au — a, G r:^ G' = C".

La relation entre les rayons de courbure de la surface W correspondante est donc

et l'élément linéaire de la surface complémentaire (S') devient

(30) 0^52 = tZ2^rfM2 ^.^-^a^«,2^|,

Cette seconde nappe est donc, elle aussi, à courbure constante

^ , comme pouvait le faire prévoir la forme de la relation entre

R et R^

Voici un autre raisonnement qui conduit au même résultat : Soient M, M' les deux points de contact d'une normale à une surface (S) avec les deux nappes (2), (S') de la développée : MM' est le rajon de courbure géodésique des trajectoires orthogonales des géodésiques tangentes aux normales, tracées sur (S) et tangentes aux normales, aussi bien que des trajectoires orthogonales des géodésiques tracées sur (S'). Si donc ce rayon de courbure géodésique est constant pour l'une des nappes, il le sera aussi pour l'autre et, d'après la propriété que nous avons signalée plus haut, les deux

nappes seront nécessairement à courbure constante — ^ {voir

MM' aussi n° 763).

Si l'on prend ensuite pour G la valeur

qui correspond à l'équation (24), la relation entre les rayons de courbure R et R' deviendra

yZi) — ^—

On trouverait de même la relation

pour la valeur

Vu 4,' G =

relative ^ la forme (2.3).

Ainsi, il revient au même de déterminer les surfaces à courbure constante ou les surfaces W pour lesquelles les rayons de courbure sont liés par une des relations (29), (82) ou (33).

782. Par un calcul qui n'offre aucune difficulté, on trouvera éga-

lemenl que la seconde nappe (S') de la développée est applicable sur la surface de révolution dont le méridien est défini par les équations

(3.-)) ^ = a( cos(p -1- log tang-cp 1, r = --^:=^smçp,

où r désigne la distance à l'axe de révolution; m est une constante arbitraire et e doit être pris égal à o,i ou — i suivant qu'il s'agit de la première des formes (22), (28) ou (24)-

Pour £ = o, ces équations représentent la tractrice; donc, pour les deux autres cas, elles représentent une tractrice dont on aura augmenté ou diminué dans un rapport constant les ordonnées perpendiculaires à la base. C'est ce que M. Bianchi a nommé des^ractrices allongées ou raccourcies.

On peut encore remarquer que, dans la seconde fqrme, en prenant pour m la valeur limite,

on obtiendra le méridien

(36) r = ae«.

// suffirait donc de savoir déterminer toutes les sur/aces applicables sur la sur/ace de réi^olution dont le méridien est défini par V équation précédente ou par les formules (35).

Toutes ces transformations paraissent n'avoir d'autre avantage que de nous faire connaître des problèmes équivalents au fond, quoique très différents en apparence. Mais M. Bianchi a su trouver dans l'étude d'un cas particulier de la méthode un moyen nouveau d'obtenir un nombre illimité des surfaces à courbure constante. L'exposé des résultats que nous lui devons sera mieux compris quand nous l'aurons fait précéder d'une étude rapide sur la géométrie des surfaces à courbure constante négative : ce sera l'objet du Chapitre suivant.