CHAPITRE XI
LES SURFACES A COURJBUUE TOTALE îïÉGATIVE.
Surface pseudosphérique. - Représentation conforme de la partie réelle de la surface sur le demi-pl?n supérieur. - Étude des transformations qui conservent l'élément linéaire et qui réalisent, par suite, une application de la surface sur elle-même. - Représentation des géodésiques par des cercles ajânt leur centre sur l'axe des x. - Distance géodésique de deux points. — Les cercles géodésiques sont représentés par des cercles. — Division des différents cercles géodésiques en trois espèces. — Les cercles situés tout entiers à distance finie ont seuls un centre; aire de ces cercles, longueur de leur circonférence. — Classification, due à M. Klein, dçs transformations qui conservent l'élément linéaire. — Analogies et différences entre la géométrie des diverses surfaces à courbure constante. — Géométrie non euclidienne. — Résolution d'un problème relatif au changement de coordonnées. — Considérations géométriques conduisant à la x-eprésentalion conforme qui vient d'être étudiée. — Représentation de M. Bel- Irami dans laquelle les géodésiques ont des droites pour images. — Formules qui permettent de passer de l'une à l'autre de ces représentations.
782. Toutes les surfaces à courbure constante étant applicables les unes sur les autres, nous choisirons, pour plus de netteté, la surface pseudosphérique , dont l'élément linéaire est défini par la formule
(i) ds^ =:= a^idu'^ -h e^fdv'^),
et qui tist engendrée par la révolution de la tractrice
asiiKp, ^ =r a( logtang -i- -h cos<p I
autour de sa base. On peut donner des formes très simples à l'élément linéaire défini par la formule (i). Posons d'abord
(3) u=T, e-«=^, l'élément linéaire deviendra
/ / X , « • ^^ -+- dy"^
(4) ds^ = a-^ J^ '
L'os SURFACES A COURBURE TOTALE NÉGATIVE. ^(jS
de sorte que, si l'on considère x ely comme les coordonnées rectangulaires d'un point dans un plan, on obtiendra ainsi une carte géographique dans laquelle toute la partie réelle de la surface sera représentée sur la partie supérieure du plan avec similitude des éléments infiniment petits. Nous allons présenter d'abord quelques remarques sur cette représentation.
A tout point réel M de la surface correspond certainement un point m du plan, qui est réel et situé au-dessus de l'axe des x ; mais la proposition réciproque n'est pas complètement exacte. Ecartons d'abord une première difficulté relative aux limites entre lesquelles varie v. Si la surface pseudosphérique était formée d'un seul feuillet, V et par suite x prendraient seulement des valeurs comprises dans un intervalle de 271; mais on peut admettre que la surface est composée d'un nombre illimité de feuillets superposés, qui correspondront à toutes les valeurs tqint positives que négatives de (', et qui seraient engendrés en quelque manière par les révolutions, répétées soit dans un sens, soit dans l'autre, de la tractrice autour de sa base. 11 est bon d'ailleurs de remarquer que ces différents feuillets se séparent les uns des autres quand on déforme la surface de manière à la transformer en un hélicoïde, comme nous l'avons indiqué au n*^ 74.
Il reste maintenant à étudier la seconde équation (3). Si Ton se reporte au n"78 [I, p. 96], on voit que, m désignant une constante d'ailleurs quelconque, choisie à l'avance, il n'y aura de point réel de la surface correspandant à une valeur réelle àe y que si l'on a
Ci) m2e2'^<i,
c'est-à-dire
Par suite, si une figure est tracée sur la partie supérieure du plan, au-dessus d'une parallèle à l'axe des x^ il existera une s^^rface pseudosphérique sur laquelle elle pourra être rapportée tout entière. Mais, si elle vient toucher l'axe des x, il j a toujours, dans le voisinage de cet axe, des parties de la figure qui ne seront pas représentées sur la pseudosphère. Ces parties toutefois pourront être réduites autant qu'on le voudra, si l'on diminue indéfiniment la constante m, qui figure dans l'inégalité précédente.
Il y alô^ on le voit, un fait très curieux, sur lequel nous avons
déjà insisté. Il semble, au premier abord, que, l'élément linéaire restant réel, il devrait en être de même de la surface; en réalité cela n'a pas lieu, et l'on ne connaît d'ailleurs aucune surface donnant la représentation complète des éléments linéaires (i) ou (4), c'està-dire ajant un point réel pour chaque valeur réelle de u et de v.
783. La forme (4) de l'élément linéaire a été employée de la manière la plus utile dans d'importantes recherches d'Analyse moderne (^). Elle met immédiatement en évidence différentes propriétés intéressantes que nous allons signaler.
On voit tout d'abord que l'élément linéaire ne change pas de forme si l'on effectue les deux substitutions très simples (^'; x — K) ou (x, y\ hx^ 1^y)i h désignant une constante quelconque. La première équivaut à une translation h parallèle à l'axe des x^ la seconde à une transformation homothétique par rapport à l'origine, ayant h pour module ; h doit être positive si l'on veut que la partie supérieure du plan se corresponde à elle-même. En combinant ces deux transformations, on aura une homothétie dont le pôle sera un point quelconque de l'axe des x.
Il existe une autre transformation très simple qui conserve l'élément linéaire ; c'est une inversion ayant pour pôle un point quelconque de l'axe des.r. On le vérifie aisément en employant les formules
{ 6 ) x-h= --, — — , jK = ^
qui définissent cette inversion. Pour que la partie supérieure du plan se transforme en elle-même, il faut que le module soit positif.
784. Au reste, on peut obtenir très simplement toutes les transformations qui n'altèrent pas l'élément linéaire (4)- A cet effet, intro-
(') Consulter en particulier les Mémoires suivants :
Klein (F.), Elliptische Functionen und Gleichungen funften Grades {Ma- Ihematische Annalen, t. XIV, p. m; 1878).
PoiNCARÉ (H.), Théorie des groupes fuchsiens {Acta mathematica, t. I, p. i ; J882). ~ Mémoire sur les fonctions fuchsiennes {Jbid., p. 193).
Voir aussi :
ScHWARZ (H.-A.), Gesammelte mathematische Abliandlungen^ t. II, 1890.
duisons les coordonnées symétriques
(7) «=:a:-Hï>, ^ = x — iy\ l'élément linéaire prendra la forme
que nous aurions pu obtenir immédiatement; car elle convient évidemment à une sphère de rayon ai (n^ 23). Il y a toutefois une différence essentielle à signaler; tandis que, dans la sphère réelle
et pour les points réels, a est l'imaginaire conjuguée de -x- ? ici a est
la conjuguée de p.
Les transformations de a et de p qui conservent l'élément linéaire s'obtiendront par la résolution de l'équation
doLd^ doL^d'^
qui admet, nous le savons, deux espèces différentes de solutions. Les première^ sont définies par les formules
OÙ m, n, p, q désignent des constantes quelconques. Si l'on veut que des points réels correspondent aux points réels, il faudra évidemment que ces constantes soient réelles : alors la première équation (10) donnera la seconde par le changement de i en — /. Les formules précédentes, considérées comme s'appliquant au plan, définissent ce que nous avons appelé une transformation circulaire [I, p. 162] ; si nous admettons de plus^ que l'on ait
(11) mq — np'^ o,
la transformation fera correspondre à tout point de la partie supérieure du plan un point compris dans la même région [I, p. 172]. Les autres transformations qui conservent l'élément linéaire (8) sont définies par les formules
qui se ramènent aux premières par l'échange de a, «t de ^1 et qui
ne font correspondre la partie supérieui-e du plan à eUe-même que si l'on a
( 1 3 ) mq — np < o.
Toute inversion a jant son pôle sur l'axe des x est un cas particulier de ces dernières transformatians. Par exemple, les équations (6) peuvent être remplacées par les suivantes
Ci) «-^=57^' ^-f'^-^h'
omprises comme cas particulier dans les équations générales (12)*.
785. Les remarques précédentes mettent en évidence une propriété fondamentale de ces substitutions linéaires à coefficients réels qui interviennent si fréquemment dans les recherches des analystes modernes. Si l'on envisagé, dans les formules (11) et (12), a et [3 comme les coordonnées symétriques d'un point du plan, elles définissent une transformation plane dont on peut dire seulement qu'elle a lieu avec conservation des angles; mais, si l'on regarde a et p comme les coordonnées symétriques d'un point de \di pseudosphère, on reconnaît que la transformation y conserve les arcs, et par suite les angles et les aires, ce qui est un résultat infiniment plus précis ('). En d'autres termes, la transformation réalise une application de la surface sur elle-même; et, si l'on se reporte aux résultats du n" 683, on reconnaîtra que cette application est la plus générale de toutes celles que l'on peut obtenir (2).
Si l'on considère, en particulier, les formules (lo) et si l'on sup-
(') H. PoiNGARÉ, Acta mathematica, p. 8.
(») On peut établir directement cette proposition de la manière suivante : soit h résoudre l'équation
C4ette équation ne peut admettre (n» 117) que des solutions pour lesquelles a, et jî, dépendent d'une seule des variables a et p. Soit d'abord
Donnons à ^ une valeur particulière b; p, et -^prendront des valeurs b^, b'^, et
pose que m, /?, p, ç y varient d'une manière continue en partant des valeurs i, o, o, i, on obtiendra ainsi une déformation continue dans laquelle la surface ne cessera pas de coïncider avec elle-même. Toute figure tracée sur cette surface subira une série de déformations tout à fait analogues au mouvement d'une figure sphérique sur la sphère qui la contient.
Nous reviendrons plus loin sur les transformations définies par les formules (lo) et (12); nous nous contenterons de remarquer qu'on peut les obtenir toutes par l'emploi combiné de translations parallèles O^ et d'inversions par rapport à un point de cet axe.
786. Si nous avons étudié d'abord les transformations qui conservent l'élément linéaire, c'est qu'elles permettent, une fois connues, d'établir sans calcul les propriétés principales de la surface. D'après la forme même (4) de cet élément linéaire, on reconnaît immédiatement que, dans le plan, les parallèles à l'axe des j^ représentent des géodésiques de la surface; et de là résulte immédiatement que les différentes géodésiques de la surface admettent pour images des cercles ayant leur centre sur Vaxe des X.
Soit, en effet, BMM| G un de ces cercles ^fig- 76). Si l'on effectue une inversion en prenant comme pôle l'un des points G où il coupe l'axe des x^ le cercle se transformera en une droite hmm.^ parallèle à Taxe des r; comme cette droite est l'image d'une géodésique et que d'ailleurs l'inversion n'a pas changé l'élément linéaire, on voit que le demi-cercle BMM<G représente, lui aussi.
l'on aura
doL b\ dcL^.
On déduit de là, en intégrant,
c désignant une nouvelle constante.
a est donc une fonction linéaire de a, et, de même, J3 une fonction linéaire de p,. La substitution de ces deux fonctions linéaires dans l'équation à résoudre montre aisément qu'elles doivent être identiques.
Les solutions pour lesquelles a, dépend de ^ et p^ de a se déduisent immédiatement des précédentes par l'échange de a et de p.
une géodésique. D'ailleurs, on peut toujours construire un tel cercle en le définissant par la condition de passer en un point et d'y admettre une tangente donnée; il suit de là qu'il représente la géodésique la plus générale tracée sur la surface. Ainsi l'équation de cette géodésique sera
ihx
b elc désignant deux constantes arbitraires.
Fig. 76.
La représentation précédente nous montre immédiatement que, par deux points réels M, Mi de la surface, on ne peut faire passer cju^une géodésique ; car ii passe, par deux points de la partie supérieure du plan, un seul cercle ayant son centre sur Ox.On peut^ du reste, déterminer très simplement la distance géodésique de ces deux points ; elle est égale à celle des deux points /n, lUi qui leur correspondent dans l'inversion employée plus haut (fig' 76). Or, pour deux points situés sur une parallèle à l'axe des y, on a
d'où l'on déduit
ds = a --)
bmx
arc mmi = a log -r — = ^ log
tangMiGB tangMGB
Ainsi la distance géodésique de deux points M, M, est proportionnelle au logarithme du rapport anharmonique des quatre points M, M|, B, C sur le cercle qui représente la géodésique.
Cette distance devenant infinie lorsque l'un des points M, M, se rapproche de l'axe des x^ on peut dire que les points de cet axé représentent les points à Vinfini de la surface. Quaut aux
poinlsdu plan qui sont à l'infini dans toutes les directions, comme une inversion ayant son pôle sur Ox les ramène tous à se confondre avec ce pôle, on reconnaît qu'ils correspondent tous à un seul point à l'infini delà surface, celui par lequel passent toutes les géodésiques représentées par des parallèles à l'axe des y.
On peut encore obtenir la distance géodésique de deux points de coordonnées symétriques a, [B et a,, p,, en se servant des formules (5) [l, p. 32] (*), dans lesquelles on remplacera <i par pour une sphère de rayon a, et par — . pour une pseudo-sphère de
rayo
n a. On trouvera ainsi
(^-^iP-^(.r-ri)'
= -/iry^ = ^^^' P>' °'^' P^»
\^.j d .(a-Pi)(p-aO 2a.-"(a-p)(pi-aO
Jyyi ~ ^ ' ^' ^*' ^''
787. Nous allons maintenant nous occuper des cercles géodésiques et de leur représentation sur le plan. On a vu au Chapitre précédent que les géodésiques normales à un cercle géodésique dont le rayon est différent de a vont toutes passer par un point fixe ou sont toutes normales à une autre géodésique (n° 780).
D'après cela, prenons dans le plan tous les cercles ayant leur centre sur Ox et passant par un point M; leurs trajectoires orthogonales représenteront des cercles géodésiques de la surface. Or ces trajectoires orthogonales sont, comme on sait, des cercles admettant pour axe radical l'axe des ,a? et pour points limites le point M et son symétrique par rapport à O^. Ainsi :
Tous les cercles géodésiques de rayon moindre que a sont représentés par des cercles ne coupant pas Vaxe des x.
Construisons maintenant, dans le plan, tous les cercles ayant leur centre sur Ox et normaux à un cercle fixe (C) dont le centre se
(') Le lecteur est prié de tenir compte de i'errata du tome IL
D. - lU. î6
40ï LIVRE VII. — CHAPITRE XI.
trouve aussi sur O^. D'après la proposition que nous avons rappelée, leurs trajectoires orthogonales représenteront des cercles géodésiques parallèles à une géodésique et, par suite, de rajon plus grand que a. Or ces trajectoires orthogonales sont les cercles passant par l'intersection de (G) avec Ox. Ainsi :
Tous les cercles géodésiques de rayon supérieur à a sont représentés par des cercles coupant Vaxe des x en deux points réels et distincts.
Le rapprochement des deux résultats précédents montre que :
Les cercles géodésiques de rayon a sont représentés par des cercles tangents à Vaxe des x.
788. On peut vérifier et confirmer ces différenls résultats en appliquant à la recherche des cercles géodésiques la formule donnée aun^ 653. Un calcul que nous omettons montre que l'équation générale du cercle géodésique ayant pour courbure - est
Ainsi les cercles de la surface ont bien pour images les cercles du plan.
Soit (G) le cercle du plan représenté par l'équation précédente : cherchons son intersection avec l'axe des x. Si nous faisons^ = o, nous trouverons
les valeurs de x fournies par cette équation seront réelles et inégales, égales, ou imaginaires suivant qu6 p sera supérieur, égal, ou inférieur à a.
Le cercle (G) fait avec l'axe des x un angle <p qui est défini par la formule
- /p*— a* s= / tang;p^ d'où l'on déduit
(18) p=:-fL..
LÉS SURFACES A COURBURE TOTALE NÉGATIVE. 4o3
Ainsi la courbure du cercle géodésique dépend uniquement de r angle sous lequel son image (C) coupe Vaxe des x.
789. Pour le plan et pour la sphère, les cercles géodésiques, c'est-à-dire les lignes dont la courbure est constante, peuvent être regardés aussi comme lieux des points qui sont à une distance donnée d'un centre fixe. Cette propriété fondamentale ne s'étend pas complètement à la pseudo-splière : pour toute surface à courbure constante, les lignes parallèles à un cercle géodésique sont ellesmêmes des cercles géodésiques; mais, dans le cas de la pseudosphère de rajon a, les géodésiques normales à un cercle géodésique ne vont concourir en un point réel situé à distance finie que si la
courbure du cercle estsupérieure à— C'est ce que montre d'ailleurs le calcul suivant :
D'après les formules (i6), le lieu des points à la distance d du point (^Oî JKo) sera défini par l'équation
(19) (a? — a7o)»-i-(^-f-7o)2=4rroCOS2
lai
Idenlifions-la avec l'équation (17) d'un cercle de courbure -
nous aurons
XQ=h, l=zyQCOS^., /2(ût2 p2^==^2^J;
on déduit de là
(20) - = Uang— . = — ; ; ,
et cette équation ne fournira pour d une valeur réelle que si p est inférieur à a. Dans ce cas, nous l'avons vu, le cercle (G) sera tout entier au-dessus de Ox. Les coordonnées Xq, y^ du point du plan qui correspond au centre du cercle seront
(21) XQ=h, yo= /a2— p2.
Ce point sera le centre du cercle de rajon nul passant par l'interseclion du cercle (C) avec l'axe des x.
4o4 LIVRE VII. — CHAPITRE XI.
790. Parmi les cercles géodésiques, ceux qui ont des centres sont seuls des cercles finis; les autres admettent un ou deux points réels à rinfini suivant que p est égal ou supérieur à a; on ne peut donc se proposer d'évaluer la longueur d'une circonférence ou Paire d'un cercle géodésique que dans le cas où p est inférieur à a. Si l'on emploie l'équation (i^) et si Ton pose
P Ip
X — Ao == l- cos t. y — l = -^smt,
la formule (4) nous donnera
a dt
ds =
h sm ^
et par suite la longueur L de la circonférence géodésique sera . ^ , *^^ a dt "XTiap
Jo P
Si l'on introduit, au lieu de la courbure géodésique, la dislance au centre û?; définie par l'équation (20), on trouvera
(- --\ (23) L = 7ra\e«— e "/.
Quant à la surface* S du cercle, elle est donnée par l'équation
(•M) S=^iî-^27r)a2,
qui se déduit immédiatement de la formule (i i) [p. 126]. En remplaçant L par sa valeur, on trouve
(25) S = 'ira2\e««— e 2./^ .
791. Nous allons maintenant revenir aux transformations qui conservent l'élément linéaire et en donner la classification, qui ne peut être précise que si l'on y fait intervenir les propriétés des cercles géodésiques.
Considérons d'abord celles qui sont définies par les formules (10) et cherchons s'il existe des points qui ne sont pas déplacés par la
iy =
iy =
iy =
iy =
LES SURFACES A COURBURE TOTALE NÉGATIVE. 4o5
transformation. Pour cela, faisons a = a, , p = p, ; a et p seront les racines de l'équation
(26) pz^-h(q — m)z — n=o.
Cette équation à coefficients réels admet deux racines, imaginaires ou réelles. Désignons-les par z' , z"; les quatre points définis par les équations
l X -hiy = z', ( x — iy = z,
