IX -h iy = z', -: (3o

x — iy=z,

ne seront pas déplacés par la déformation. Pour les deux derniers on a j^ == o ; ils seront donc à l'infini sur la surface. Les deux premiers, au contraire, seront à distance finie, au moins tant que z^ sera différent de z" . Mais, pour compléter la discussion, nous allons examiner successivement les différents cas :

i^ Supposons d'abord les racines z\ 5'' imaginaires; elles seront nécessairement conjuguées. Des quatre points du plan définis par les équations précédentes, les deux premiers seulement seront réels; mais, comme ils sont placés symétriquement par rapport à Taxe des x^ un seul correspondra à un point réel M de la surface. Ainsi un seul point réel de la surface sera demeuré immobile: tous les autres, étant assujettis à rester à une distance invariable de M, se déplaceront sur les cercles géodésiques de la surface décrits du point M comme centre. Dans ce cas, la substitution est dite elliptique, d'après M. Klein (^); elle peut se ramener à la forme

<3i) ?Lz£; = e-e?^,

où 8 est réelle.. Si l'on déforme la surface de manière que toutes les géodésiques qui passent par M deviennent des méridiens, l'élément linéaire se ramènera à la forme (28) (n° 778), et la formule

(*) Kl»in (F.), Mathematiscke Annalen, t. XIV, p. 122.

406 LIVRE Vil. — CH'APITRE XI.

précédente définira simplement une rotation d'angle 8 autour de l'axe de révolution. C'est ce que l'on reconnaît d'ailleurs en effectuant la substitution définie par les formules

,- , CL — z' e"-—\. 8 — z" e'^—i

^ ^ oL — z e" + i ^ — z' e»-+-i '

qui ramène l'élément linéaire de la surface à la forme

(33) ds'-=a4du^-i- /g"--g~"y^ J^

La transformation, exprimée à l'aide des variables u et p, est alors définie par les formules

(34) U=lfy^ V = Vi — ô.

2^ Supposons maintenant les racines z', z" réelles et inégales. Les deux équations (27), (28) définiront des points imaginaires; la transformation ne laissera invariables que les deux points du plan

\ de = z', l X = 2",

a — z' , OLi — z'

a~z" ai — z

qui correspondent à des points à l'infini de la surface ; les formules qui la définissent admettront la forme canonique

où k désigne une constante réelle. La transformation laissant invariables deux points réels à l'infini, nous dirons avec M. Klein que, dans ce cas, elle est hyperbolique. Nous allons démontrer qu'ici encore on peut déformer la surface de telle manière que la transformation se réduise à une simple rotation.

On pourrait d'abord établir ce résultat en effectuant le changement de variables défini par les formules

('\n\ — />t' -h 2 /arc lange" L — pP — 2/arclangt " •

l'élément linéaire serait ramené à la forme

r / pU .j:^ p—u \ 2 1 '

(38) ds'^^aAda'^^i ^l Wç,2l

et la transformation serait exprimée par les formules

(39) Ui = U, P = Pi-f-log/o,

(|ui définissent une' rotation égale à logA* pour l'iine des surfaces de révolution admettant l'élément linéaire (38). Mais on peut encore employer les considérations géométriques suivantes. Des équations (36), on déduit

CL — -S p — z ai — z pi — A,

ce qui montre que, dans le plan, la transformation laisse iruvariables tous les cercles (C) passant par les deux points z', z" , définis par les formules (35). Donc, sur la surface, elle laissera invariables tous les cercles géodésiques (C) ayant pour images les cercles (G), c'est-à-dire ayant en commun deux points à l'infini. Nous allons montrer que la surface peut être déformée et transformée en une surface de révolution dont les cercles (C) seront les parallèles.

Pour cela, il suffît de remarquer que les cercles (C) du plan passant par les deux points réels z', z' admettront pour trajectoires orthogonales des cercles (D) ayant leur centre sur la droite z' z'^, c'est-à-dire sur l'axe des x. Ces cercles (D) seront done l'image d'une famille de géodésiques (D') tracées sur la surface et coupant à angle droit tous les cercles (C). Comme, au nombre de ces cercles, il y en a un, représenté par le cercle (C) décrit sur z' z'^ comme diamètre, qui se réduit à une géodésique, on voit que toutes les géodésiques (D') seront normales à une méîne géodésique et, par suite, pourront être transformées dans les méridiens d'une surface de révolution dont l'élément linéaire sera donné par la formule (38). La transformation, laissant invariables les parallèles de cette surface, se réduira nécessairement à une simple rotation autour de cet axe.

3^ Enfin, si les racines z' ^ z" sont égales, la forme canonique de la transformation est la suivante :

La transformation est dite alors parabolique ; elle laisse invariable un seul point réel, à l'infini,

4o8 LIVRE Vil. — CHAPITRE XI.

Si l'on effectue la substitution

l'élément linéaire est ramené à la forme

(43) ds'^=a'^{da^-^e'^"'dv'^),

et la transformation s'exprime par les formules

(44) M=Mi, v = ç^^m,

qui montrent qu'ici encore on peut la ramener à une rotation.

En résumé, les trois types de transformations définis par les formules (lo) sont représentés par des rotations des trois surfaces distinctes de révolution à courbure constante négative.

792. INoiis dirons peu de mots des transformations correspondantes aux formules (12); elles se ramènent aux précédentes suivies de celle qui est définie par les équations

et qui équivaut à une transformation par symétrie, relative à l'axe desj^. Nous nous contenterons de remarquer qu^ en général eMes déplacent tous les points de la surface situés à distance finie. Si en effet, dans les formules (12), l'on fait ^ = a^ et a = pi, on est conduit aux deux équations

qui donnent

y = 0, toutes les fois que l'on a

Mais, si la somme précédente q -\- m est nulle, les formules (12) prennent la forme suivante :

p^i — in ^ poLi — m

Elles définissent une inversion ayant son pôle sur 0^; tous les points situés sur le cerele principal de cette inversion demeureront invariables par la transformation. On dit quelquefois que la

figure primitive et sa transformée sont symétriques par rapport à ce cercle principal; la transformation est alors involutive.

793. Nous pouvons maintenant indiquer de la manière la plus nette les analogies et les différences entre la géométrie du plan et celle des diverses surfaces à courbure constante. Pour toutes ces surfaces, il passe une géodésique et une seule par deux points donnés; toutefois, si la surface a sa courbure positive et si les deux points correspondent à deux points diamétralement opposés dé la sphère, il passera une infinité de lignes géodésiques par ces deux points. Toute figure tracée sur l'une de ces surfaces peut subir un mouvement de déformation dans lequel les angles et les longueurs ne sont pas altérés et qui dépend de trois constantes arbi* traires; c'est-à-dire que l'on peut amener deux quelconques de ses points A et B à coïncider avec deux autres points quelconques Ai et B^ de la surface, pourvu que les distances géodésiques AB et A^Bi soient égales. Il résulte, d'ailleurs, du théorème de Gauss relatif à la courbure totale que cette propriété fondamentale convient seulement aux surfaces à courbure constante.

En ce qui concerne les cercles géodésiques, c'est-à-dire les courbes dont la courbure géodésique est constante, une propriété commune rapproche les trois surfaces : toute courbe parallèle à un cercle géodésique est un cercle géodésique. Mais, si l'on veut approfondir, on constate des propriétés particulières aux surfaces à courbure constante négative. Tandis que, dans les surfaces à courbure positive ou nulle, tout cercle géodésique peut être défini comme le lieu des points situés à la même distance d'un centre fixe, il peut se faire, dans les surfaces à courbure négative, qu'un cercle géodésique n'ait pas de centre : les géodésiques normales à un cercle géodésique concourent en un point situé à distance finie, ou bien elles concourent en un point à l'infini, ou enfin, elles n'ont aucun point réel commun à distance finie ou à l'infini; ce dernier cas se présente, en particulier, pour les géodésiques normales à une géodésique.

Pour les triangles géodésiques, il résulte du théorème de Gauss (n" 641) que la somme des angles est supérieure, égale ou inférieure à 7t, suivant que la courbure est positive, nulle ou négative. \J excès dans le premier cas, le déficit dans le troisième, sont

4lO LIVRE VII. — CHAPITRE XI.

ég^iix a la surface du triangle multipliée parla valeur absolue de la courbure.

794. Appliquons ces remarques à l'étude des problèmes les plus simples qui se présentent au début de la Géométrie plane. Nous reconnaissons immédiatement que deux géodésiques, perpendiculaires à une troisième géodésique, se rencontrent toujours si la courbure est positive et ne se rencontrent jamais si elle est nulle ou négative. Ainsi, pour les surfaces à courbure négative comme pour le plan, on ne peut mener pa?^ un point qid une géodésique perpendiculaire à une géodésique donnée. Et d'ailleurs, si l'on fait usage de la représentation que nous avons étudiée dans ce Chapitre, on reconnaîtra que \on peut toujours en mener une.

Proposons-nous maintenant de voir ce que devient la théorie des parallèles. Etant donnée une géodésique {g) et un point M, cherchons s'il existe des géodésiques passant par M et ne rencontrant pas [g). Cela est évidemment impossible dans le cas de la sphère où deux géodésiques se rencontrent toujours. Dans le plan tel que nous l'étudions lorsque nous admettons le postulatum d'Euclide, il j a une seule géodésique ne rencontrant pas {g) et passant en M; c'est la parallèle à [g) menée par le point M. Considérons maintenant une surface à courbure négative. En faisant usage des transformations que nous avons indiquées, on peut, sans diminuer la généralité, admettre que {g) est représentée par l'axe desjK {fig- 77)-

Fig. 77.

Alors il y aura deux géodésiques passant en M et rencontrant {g^ à V infini. L'une sera représentée par la parallèle MP à l'axe des jk; l'autre par le cercle OMQ tangent à l'origine au même axe. Ainsi :

LES SURFACES. A COURBURE TOTALE NÉGATIVE. ^Jl

Une géodèsique réelle peut être considérée comme ayant o, I ou 1 points réels à Vinfini suivant qu'elle appartient aux surfaces à courbure positive, nulle ou négative.

On voit ici que les géodésiqiies passant en M se diviseront en deux classes; les unes, représentées par les cercles qui pénètrent dans l'angle PMO, couperont la géodèsique proposée {g) ; les autres, ayant pour images les cercles qui pénètrent dans l'angle OMR, ne rencontreront pas {g). Menons du point O comme centre un cercle MS passant par M; ce cercle représente la géodèsique menée par le point M perpendiculairement à [g). Il est d'ailleurs aisé de voir que les deux angles SMO et SMP sont égaux. D'après cela, toutes les géodésiques passant en M et faisant avec la géodèsique normale un angle inférieur à SMO couperont la géodèsique (^); au contraire, celles qui feront un angle supérieur à SMO ne rencontreront pas {g). Pour cette raison, on a donné à SMO le nom à^ angle de parallélisme. On peut obtenir son expression en fonction de la distance du point M à la géodèsique {g). Cette distance^ étant celle des deux points M et S, s'obtient par la simple application de la formule donnée au n" 786. On a, en la désignant par/7,