MOR

p = a\o^ SÔR =«Jogtang— -.

tang-—

D'autre part, on a

SMO - SMP = MOR,

de sorte que, si l'on désigne par lI(/>) l'angle du parallélisme, il viendra

(46) tangin(/>)=e^ tangn(/>)= ^^"

Il résulte de cette formule que, lorsque p varie de o à oo, !!(/?) décroît de - à o.

795. On sait que, dans une étude approfondie des principes de la Géométrie, Gauss, Lobatschefskj et Boljai ont montré que le célèbre postulatum d'Euclide ne doit pas être considéré comme

4l2 LIVRE Vil. — CHAPÏTRE XI.

compris dans les autres axiomes ou dans les faits d'expérience que nous invoquons d'une manière plus ou moins explicite au début de la Géométrie. Les recherches de ces géomètres et de leurs successeurs nous ont montré qu'il est possible de constituer, sans admettre le postulatum d'Euclide, une géométrie où toutes les propositions s'enchaînent sans conduire à aucune contradiction et qui comprend comme cas limite la géométrie d'Euclide et de Legendre. Cette théorie plus générale à laquelle Lobatschefskj avait donné le nom de Pan géométrie, et que l'on s'accorde aujourd'hui à désigner sous le nom de Géométrie non euclidienne, concorde entièrement, dans le cas du plan, avec celle que nous venons de développer pour les surfaces à courbure constante négative. Cette remarque, développée d'une manière complète par M. Bellrami('), se justifie de la manière suivante :

Il suffît de se reporter au Traité d'Euclide pour reconnaître que toutes les propositions qui reposent sur la notion du déplacement d'une figure invariable s'appliquent aux diverses surfaces à courbure constante, pourvu qu'on j remplace les droites du plan par les géodésiques de la surface. Le fait, admis dans les éléments, que l'on ne peut mener plus d'une droite par deux points, exclut les surfaces à courbure positive. 11 suit de là que toute Géométrie dans laquelle on n'ajoutera pas le postulatum d'Euclide aux faits antérieurement admis devra convenir aux surfaces à courbure constante négative aussi bien qu'au plan. Telle est, dans ses traits généraux, l'explication que nous devons à M. Beltrami de l'analogie complète qui existe entre la géométrie non euclidienne du plan et celle des surfaces à courbure constante négative. Nous nous contenterons de ces indications rapides et nous renverrons, pour plus de détails, à l'élégant Mémoire de M. Beltrami.

796. L'étude détaillée que nous venons de faire nous permet de résoudre simplement une question dont la solution nous sera né-

(») Beltrami (E.), Essai d'interprétation de la Géométrie non euclidienne {Annales de l'École Normale, i" série, t. VI, p. 256; 1869). ^® Mémoire, traduit de l'italien par M. Hoûel, a paru en 1868 dans le tome VI du Giornale di Matematiche.i Voir aussi dans le même volume des Annales, p. 867, un autre Mémoire de M. Beltrami, intitulé : Théorie fondamentale des espaces de courbure constante.)

LES SURFACES A COURBURE TOTALE NÉGATIVE. 4l3

cessaire dans le Chapitre suivant. Nous avons pris comme point de départ la réduction de Félément linéaire d'une surface de courbure constante négative à la forme (i). Nous savons, d'ailleurs (n^ 683), que cette réduction est possible d'une infinité de* manières. Proposons-nous de rechercher le changement de coordonnées le plus général qui conserve cette forme de l'élément linéaire. Pour résoudre cette question, il suffît de remarquer que, dans la forme (i) de l'élément linéaire,^ les courbes de paramètre i^ sont des géodésiques passant toutes par un même point à l'infini de la surface, les courbes de paramètre u sont les trajectoires orthogonales de ces génératrices. Il suit de là que, si l'on veut conserver la forme de l'élément linéaire, il sera nécessaire et suffisant de prendre, pour les courbes nouvelles de paramètre ^', toutes les géodésiques représentées par des cercles tangents les uns aux autres en un point déterminé de l'axe des x et, pour les courbes de paramètre u', les trajectoires orthogonales de ces géodésiques. En d'autres termes, il suffira d'effectuer une inversion par rapport à un point quelconque de l'axe des x. Les formules qui résolvent la question proposée seront donc les suivantes

si l'on substitue à w et à p les variables x et y qui figurent dans l'équation (4); ou bien

(t;a)2-i-e-2« (v — a)2-he-2»'

si l'on conserve les variables u et v. On voit que le changement de coordonnées dépend d'une seule constante arbitraire a.

797. Nous venons d'étudier les surfaces à courbure constante négative en faisant usage d'une représentation conforme de la surface qui repose tout entière sur l'expression (4) de l'élément linéaire. Il ne sera pas inutile de montrer comment on peut obtenir cette représentation de la surface, et d'autres encore, par l'emploi de quelques considérations géométriques très simples..

Étant donnée une sphère (S), de rayon a, effectuons la projection stéréographique de cette surface sur le plan (P) d'un de ses grands

4l4 LIVRK VII. — CHAPITRE Xl.

cercles en prenant comme point de vue l'un des pôles A de ce grand cercle. On sait que, dans cette représentation, les angles seront conservés et que les cercles se transformeront en cercles. D'après cela, soient (G) et (C^) deux cercles de la sphère : ils admettront comme projections stéréographiques deux cercles (c) et (c') qui se couperont sous le même angle que (C) et (C). Cet angle peut être calculé de la manière suivante.

Soient O le centre de (S), a et a' les pôles par rapport à (S) des plans de (C) et de (C); il est clair que l'angle cp de ces deux cercles sera égal à celui des deux sphères qui ont pour centres a et a' et passent respectivement par (C) et (C). Or, les rajons de ces

sphères étant y Oa — a^, \ OaJ — a^, on aura

aa'' = Oa — a2-t- Oa'' — «24. ^ VOa — a^ VOa'^ — a^ coscp.

Telle est la formule qui fera connaître l'angle o des deux cercles (C), (C) ou, ce qui est la même chose, des cercles (c) et (c') de la carte. Cela posé, supposons que le cercle (C^) vienne coïncider avec le cercle à l'infini de la sphère, c'est-à-dire qu'il se trouve aussi sur la sphère de rajon nul ayant A pour centre. Sa projection stéréographique sera un cercle (K) que nous appellerons cercle fondamental et qui sera décrit de O comme centre, dans le plan (P), avec le rayon ai. Quant an pôle a', il viendra coïncider avec O. La formule précédente nous donnera donc, pour l'angle cp de (c) avec le cercle fondamental (K), l'expression

, , , ai ai

(49) coscp= =-,

VOa— «2 ^

p désignant le rayon de courbure géodésique du cercle (C), qui est évidemment égal à la tangente menée du pôle a à la sphère (S).

798. La formule précédente joue un rôle essentiel dans la projection stéréographique; car elle permet de calculer la courbure géodésique d'un petit cercle de la sphère au moyen de l'angle cp qui n'est autre que l'angle de la représentation de ce petit cercle sur la carte avec le cercle fondamental (K).

On en déduit, en particulier, que tous les grands cercles de la

LES SURFACES A COURBURE TOTALE NEGATIVE. 4l5

sphère sont représentés en projection par des cercles normaux au cercle fondamental.

Ainsi la projection stéréo graphique de la sphère permet d^ obtenir une carte de toute surface à courbure constante positive dans laquelle les géodésiques sont représentées par des cercles normaux à un cercle fixe dont le rayon est imaginaire, .

Si Ton désigne par x et y les coordonnées du point de la carte par rapport à des axes rectangulaires dont l'origine est en O, au centre du cercle fondamental, l'élément linéaire de la sphère se déterminera sans difficulté; on trouvera

Supposons maintenant que l'on change a en ai : la courbure de la surface deviendra négative et égale à — -; l'expression précédente de l'élément linéaire se transformera dans la suivante

qui conviendra aux surfaces à courbure négative. Le cercle fondamental (K) deviendra réel, et les géodésiques seront représentées par les cercles orthogonaux à ce cercle réel. Les cercles géodésiques de la surface seront représentés encore par des cercles, et la formule (49)j où l'on changera a en ai, nous donnera, en négligeant un signe,

(52) coscp = -. .

Ainsi la courbure géodésique - de tout cercle de la surface sera

une fonction, déterminée par l'équation, précédente, de l'angle îo sous lequel le cercle qui le représente sur la carte coupe le cercle fondamental (K).

Il suffira maintenant d'appliquer à la représentation précédente une inversion qui transforme le cercle (R) en une droite pour retrouver toutes les propriétés que nous avons étudiées au début de ce Chapitre.

4l6 LIVRE VII. — CHAPITRE XI.

799. Dans ses études sar la géométrie des surfaces à courbure constante, M. Bel tram i a employé une autre représentation dont nous avons déjà dit quelques mots (n°* 599 et607) et dan$ laquelle les géodésiques sont représentées par des droites. Ou peut très simplement la rattacher aux. précédentes.

Considérons d'abord les surfaces à courbure positive. Si l'on effectue une projection de la sphère sur un plan en prenant pour point de vue le centre de la sphère, on réalisera une représentation de cette surface qui cessera à la vérité d'être conforme, mais dans laquelle les géodési<Jues seront représentées par des lignes droites indéfinies.

Désignons par ;r, y et par X, Y les coordonnées des deux points qui sont respectivement la projection stéréographique et la projection centrale du uqLéme point de la sphère; un calcul facile donnera les relations

aX

a;i-^jrî^a^' [-^ ^X2-hY2-+-I — l'

qui permettent de passer de l'une à l'autre de ces deux projections. On en déduit, en particulier, que l'élément linéaire de toute

surface à courbure constante -^> donné parla formule (oo), le sera

aussi par la suivante

ce qui est pleinement d'accord avec les formules du n'*599.

. 800. On obtiendrait immédiatement le résultat analogue relatif aux surfaces à courbure négative en changeant, dans la formule précédente, a, X, Y en ai, Xt, Y i) mais on peut opérer directement et sans passer par les imaginaires, de la manière suivante, qui a été indiquée dans un cas particulier par M. Bianchi.

Reprenons, pour fixer les idées, la première représentation conforme, dans laquelle les géodésiques ont pour images des cercles orthogonaux à l'axe des ^, la partie réelle de la surface étant représentée sur le demi-plan situé au-dessus de l'axe des x. Si l'on

effectue une inversion dont le pote soit un point quelconque A de l'espace, le plan de la représentation se transformera en une sphère (S) passant par A, l'axe des x an un cercle (K) passant également en A, et-le demi-plan supérieur se projettera sur l'une des deux calottes dans lesquelles le cercle (K) partage la sphère (S). Quant aux cercles qui représentaient les géodésiques, ils se transformeront en des cercles normaux au cercle (K). Nous avons ainsi une représentation géographique de la partie réelle de la surface sur l'une des calottes sphériques limitées par le cercle (R), les géodésiques étant figurées par des cercles normaux au cercle (K). Les plans de ces cercles passeront donc par le pôle P du plan du cercle (K) et, par suite, si l'on effectue, de ce point comme centre, une projection sur un plan quelconque, on obtiendra une représentation de la surface dans laquelle les géodésiques auront pour images des lignes droites. La portion de la sphère qui représentait la partie réelle de la surface se projettera tout entière sur ta partie du plan située à l'intérieur d'une conique (G) qui sera la perspective du cercle (R). Les cercles delà sphère, qui représentaient les cercles géodésiques de la surface, se projetteront suivant des coniques doublement tangentes à la conique (G).

Soient M, MMeux points de la sphère (S), servant de représentation à deux points 7/2, m' de la surface. Désignons par Q et Q' les deux points où le cercle (R) est coupé par le cercle (D) qui lui est normal et qui contient M, M'^ Ge cercle représente la géodésique /nm^, et nous avons vu que la distance mrr^ était définie par l'équation

m/n' = aIogR(M, M', Q, Q'),

le symbole R désignant, comme précédemment, le rapport anharmonique des quatre points M, M', Q, Q'.

Joignons ces quatre points au pôle P du plan du cercle (R); les droites PQ, PQ' seront tangentes à la sphère. Le lecteur établira aisément que le rapport anharmonique R(M, M', Q, Q') est la racine carrée du rapport anharmonique formé avec lés quatre droites PM, PM', PQ, PQ', c'est-à-dire avec les points {Ji, ^^ qui sont, dans la projection centrale, les projections de M, M' et les points ^, q^ où la droite p-jx' coupe la conique (G) (^^.^8). Nous pouvons donc énoncer le résults^t suivant :

D. - IIL 27

4,l8 LIVRE VII. — CHAPITRE XI.

Dans la représenlation, due à M. Beltrami, des surfaces à courbure constante négative, la partie réelle de la surface est représentée par les points du plan situés à l'intérieur d'une conique (C); les points de la conique correspondent à des points à l'infini de la surface. Les géodésiques sont représentées par des droites, les cercles géodésiques par des coniques doublement tangentes à (C). La distance de deux points représentés sur la carte par les points

a et pi' est égale à - 'ogR, R étant le logarithme du rapport anhar-

monique formé par les points [i., ^' et les deux points q, g' où la droite [xpi' coupe la contque (G).

Fig. 78.

801. Pour trouver d'une manière simple les formules qui permettent de passer de la représentation étudiée ,au début de ce Chapitre à celle de M. Beltrami, nous supposerons que l'on ait choisi le point A dans le plan (II) passant par l'axe des ^ et perpendiculaire au plan de la carte. La partie supérieure du plan de la carte se projettera cette fois suivant un hémisphère de (S), et il suffira ensuite de projeter orthogonalement les points de cet hémisphère sur le plan (II) pour obtenir la représentation de M. Beltrami.

Soient :r et^ les coordonnées d'un point dans la carte primitive et soient X, Z les coordonnées du point correspondant dans la représentation de M. Beltrami. Le lecteur établira aisément les re-

lations suivantes

X / ix

Z , \ 073-4- r^-Hi

qui permettent de passer de Tune à l'autre de ces représentations. On en déduit, pour l'élément linéaire donné par la formule (5i)^ l'expression nouvelle

dX^-^dZ^ — (XdZ — ZdXy (58) ds^.=.a^- ^j^-jjy, ^.

qui concorde entièrement avec la formule donnée au n" o99.