CHAPITRE XII

Résumé des résultats obtenus dans les Chapitres précédents. — Méthode de transformation de M. Bianchi, complétée par M. Lie. — Théorèmes énoncés en ig^o par JVI. RJbaucour; leur dénrionstralion par la Géométrie. — Conséquences et applications de la méthode de M. Bianchi; on suppose la surface initiale rapportée à ses lignes de courbure. — Système de deux relations du premier ordre entre deux solutions de l'équation aux dérivées partielles du second ordre dont dépend la recherche des surfaces à courbure constante.— Système orthogonal de M, Ribaucour. — Transformation dé M. Bâcklund. — Propriétés relatives à la conservation des lignes de courbure. — Les transformations précédentes rattachées à des transformations beaucoup plus générales des équations aux dérivées partielles du second ordre.

802. Les résultats que nous avoiis obtenus dans les Chapitres précédents et dont nous allons faire usage peuvent être résumés de la manière suivante :

1° L'élément linéaire d'une surface (S) à courbijre constante

négative jpeut, d'une infinité de manières, être ramené à la

forme

(i) ds^^a^(du^'-^e^'^dv^).

Il suffît de prendre pour les lignes de paramètre i> les géodésiques qui vont concourir en un point à l'infîni de la surface. Lorsque l'on sait déterminer les géodésiques de la surface, on peut, sans aucune quadrature, ramener son élément linéaire à la forme (i)> et, lorsqu'on a obtenu cette forme avec un système de variables w, (^, on la conservera avec tous les systèmes de variables «', r' définis par les formules

où a désigne une constante quelconque (n° 796).

LES TRANSFORMATIONS. 4,il

2° L'élément linéaire de la surface (S) étant ramené à la forme (i), les tangentes aux géodésiques de paramètre (^ sont aussi tangentes à une deuxième surface (S,), lieu des centres de courbure géodésique des courbes u = const. ; et elles sont normales à une surface (S) dont la développée se composera, par conséquent, des deux nappes (S) et (S<). Désignons par M, M^ et ^ les trois points en ligne droite, qui se correspondent sur (S), (S,) et (S); on aura

(3) MMi = a, M 11 = au.

Si ^, y, z désignent les coordonnées de M relatives à des axes fixes, celles de M, seront déterminées par les formules

âx ôy âz '

(4) ^. = ^-j^' y>=y-ru' '^ = '-^'

et celles de {jl par les suivantes :

/ V X ôx dy âz

^ ^ du ^ '^ au du

Si Ton pose ( n""» 749 et 781 )

(6) e'^{qdu-\- qidv) = dv',

q elÇi désignant les rotations du trièdre (T) relatif au point M de (S), Télément linéaire de (S,) aura pour expression

(7) dsl = a^{du'--h e-^'^di^'^),

de sorte que (S, ) aura, comme (S), sa courbure constante et égale

Quant à la surface (S), comme ses deux rayons de courbure principaux M {Jl, M^jj ont pour valeurs au et a(u — i), ce sera une surface W pour laquelle la relation entre les rayons de courbure sera

(8) R— R'=rt.

Réciproquement, toute surface pour laquelle les rayons de courbure seront liés par cette relation sera telle que les deux nappes

de sa développée auront même courbure constante — ^' Cette

proposiûon, qui a été démontrée au n° 781, résulte aussi immédiatement des formules (lo) du Tableau VII [p. 34o], qui font connaître la courbure des deux nappes de la développée.

3"" Il résulte enfin des propositions données aux n°* 757 et 765 que les surfaces (S) et (S^) se correspondent, point par point, de telle manière que les lignes de courbure et les lignes asymptotiques soient des lignes homologues.

803» D'après cela, supposons que Ton connaisse une surface (S),

à courbure -i dont on puisse déterminer les géodésiques. Si

l'on construit toutes celles de ces lignes qui passent par un même point à l'infini et si on leur mène des tangentes, ces droites seront aussi tangentes à une nouvelle surface (S^) que Ton déterminera évidemment sans aucune intégration, par exemple à Faide des formules (4). Celte surface (Si) aura sa courbure constante et égale à celle de (S);- de sorte que l'on pourra ainsi déduire de toute surface (S) dont les géodésiques seront connues une infinité de surfaces (S,), qui dépendront d'un paramètre arbitraire. Cette remarque fondamentale est due à M. Bianchi et a été faite dans les travaux cités plus haut [p. SS^]. M. Bianchi a ajouté que, si l'on peut déterminer les géodésiques sur les surfaces (S» ), on en déduira une double infinité de surfaces nouvelles (S2), puis de celles-ci des surfaces (S3), et ainsi de suite, indéfiniment. L'application de la méthode exigera seulement que l'on connaisse les géodésiques des surfaces successives (Sr), (S2), (S3),

Or, en étudiant la méthode précédente^ M. Lie a montré que, pouj^ chacune des sur/aces obtenues^ la détermination des géodésiques dépend exclusivement d^une quadrature. Il suffira évidemment d'établir ce résultat pour les surfaces (Si ), considérées comnie dérivant de (S). On pourrait le rattacher à la proposition générale démontrée au n° 764; mais il vaut mieux le démontrer directement de la manière suivante.

Supposons l'élément linéaire de (S) ramené à la forme (i). La surface (S<) étant déterminée par les formules (4), on pourra calculer soii élément linéaire â?^,, que l'on exprimera en w, v, du^ dv. Mais, par hypothèse, cet élément linéaire doit pouvoir se ramener

à la forme (7) qui donne

(9) dv' = — ydsf—a^-du^.

Portant la valeur obtenue de ds^ dans cette formule, on obtiendra une expression de dv' de la forme suivante :

dv' = Fdu-i-qdv.

Une simple quadrature fera ensuite connaître ç^'; elle permettra de ramener l'élément linéaire de (S,) à la forme (j) ou à la forme (i), en changeant le signe de w; alors, d'après les résultats du Chapitre précédent, on pourra obtenir toutes les géodésiques sans nouvelle intégration. Ainsi se trouve établie la remarque essentielle que nous devons à M. Lie.

On voit que l'application de la méthode de M. Blanchi exigera seulement une série de quadratures ; et elle introduira autant de constantes qu'on le voudra, une à chaque opération. Nous laissons de côté, pour le moment, la question de savoir si ces constantes sont réellement distinctes.

804. C'est en 1879, i^^us l'avons dit, que M. Bianchi a fait connaître sa méthode, presque immédiatement complétée par M. Lie; mais, il est juste de le remarquer, les propositions géométriques sur lesquelles s'appuyait M. Bianchi étaient virtuellement connues et avaient été énoncées en 1870 sous une autre forme par M. Ribaucour.

Dans une Note que nous avons déjà citée [p. 352], M. Ribaucour fait connaître en efl'et le théorème suivant, déjà démontré en partie au n« 762.

Étant donnée une surface (S) à courbure constante — - > les

cercles (C), de rayon a, décrits dans les différents plans tangents de la surface, des points de contact de ces plans comme centres, sont normaux à une famille de surfaces {S ^),

Toutes ces surfaces (S, ) ont aussi leur courbure constante et égale à celles de (S).

M. Ribaucour s'est contenté d'énoncer cette proposition, sans en poursuivre les conséquences; mais, il est aisé de le reconnaître, les

surfaces (S,) qui figurent dans la proposition précédente sont identiques à celle qu'une première application de la méthode de M. Bianchi ferait dériver de la surface (S). Si l'on conserve en effet toutes les notations des numéros précédents^ on voit immédiatement que le cercle (G) de centre M et de rayon a=;MM,, décrit dans le plan tangent de (S), sera orthogonal en M, à la surface que nous avons désignée par (S,).

Ajoutons toutefois que la méthode de M. Ribaucour met en évidence un résultat très intéressant et que M. Bianchi a depuis généralisé dans une série de Mémoires élégants : Toutes les surfaces (S,) normales aux cercles (G) constituent Vune des familles d^un système triple orthogonal. Gela résulte immédiatement de la proposition relative aux systèmes C3'cliques établie au n° 477.

Il ne sera pas inutile de démontrer géométriquement le théorème de M. Ribaucour. Notis ferons d'abord la remarque suivante.

Gonsidérons une sphère variable dont le centre décrive une courbe et dont le rayon soit une fonction donnée delà position du centre sur la courbe. Elle enveloppera une surface qu'elle touchera suivant un cercle ; et, à chaque instant, la distance/» du plan de ce cercle au centre de la sphère sera définie, en grandeur et en signe, par la formule

R étant le rayon de la sphère et 5 l'arc de la courbe décrite par le centre. Il résulte de cette formule que le plan de contact ne changera pas si Von augmente d^une quantité constante le carré du rayon.

D'après cela, considérons une surface quelconque (S), et soit (K) l'une de ses lignes de courbure ; les centres de courbure principaux associés à cette ligne de courbure formeront une ligne (D) qui sera à la fois une développée de (K) et une ligné géodésique de celle des nappes de la développée de (S) sur laquelle elle est tracée. Si une sphère variable (U), ayant son centre en un point m de (D), touche la surface au point correspondant M de (K), le plan de contact de cette sphère avec son enveloppe sera le plan tangent en M à (S). G'est là une propriété des développantes qui résulte

d'ailleurs de la formule (lo). Si donc on augmente de la constante a^ le carré du rajon de(U), on obtiendra une nouvelle sphère (U') qui coupera le plan langent en M suivant un cercle (C) de rayon a {Jig. 79), et l'enveloppe de la sphère (U') sera, d'après la remarque précédente, engendrée parles positions successives du cercle (G). On peut donc énoncer le théorème général suivant :

Les cercles (G) de rayon constant a, décrits dans les différents plans tangents d^une surface (S), des points de contact comme centres, peuvent être distribués de deux manières différentes sur des surfaces enveloppes de sphères. Tous les cercles ayant leur centime sur une même ligne de courbure (K) engendrent une enveloppe de sphères et les normales à cette enveloppe en tous les points de Vun des cercles vont concourir au centre de courbure correspondant ,

Soit (^fig. 79) (G) l'un des cercles, de centre M. Suivant que l'on fera* décrire au point M Tune ou l'autre des lignes de courbure qui se croisent en ce point, on obtiendra les deux enveloppes de sphères auxquelles appartient le cercle (G). Les normales à ces enveloppes en un point quelconque M du cercle sont les droites Mi m, M< m! qui joignent ce point aux deux centres de courbure principaux m et m! .

Gela posé, supposons que la surface ait sa courbure constante

et égale à ^; m et m' seront de part et d'autre de M et l'on

aura

MMi = Mm' X Mm.

Par suite, les droites M, /w', M, m seront perpendiculaires ; les deux enveloppes de sphères qui contiennent le cercle (G) se couperont à angle droit, et d'ailleurs, le cercle (G) sera une ligne de courbure commune à ces deux surfaces. Or on sait que, lorsque les surfaces appartenant à deux familles distinctes se coupent à angle droit et suivant une ligne de courbure commune, elles sont orthogonales, les unes et les autres, à une troisième famille de surfaces (n"441). Il y aura donc ici une famille de surfaces (S^) orthogonales aux deux premières, d est-à-dire aux cercles (G). D'ailleurs, ces surfaces auront aussi leur courbure constante et

égale à -^ — ; car, si M, désigae le point où l'une d'elles (S|) est

normale au cercle (C), il est clair que la droite MM| sera normale à une surface W pour laquelle la différence des rayons de courbure sera égale à a. Les deux nappes (S) et (S< ) de la développée de cette surface auront donc une courbure constante et égale

à • On peut encore invoquer, pour établir ce dernier résultat, le raisonnement du n° 780.

La pf'oposition de M. Ribaucour est ainsi entièrement démontrée .

80d. Nous allons maintenant étudier anal}'tiquement les conséquences et les applications de la méthode de M. Blanchi. Comme les lignes de courbure de toute surface W se déterminent par des quadratures (n** 764), nous pouvons supposer que la surface initiale à courbure constante (S) ait été rapportée à ses lignes de courbure. Pour simplifier les calculs, nous admettrons que la courbure soit égale à — i ; s'il en était autrement, on pourrait substituer à (S) une surface semblable.

Soit '

(ii) ds^= cos^ixidu'^-\-s'm^(jidv^

la formule qui détermine l'élément linéaire. Nous avons vu (n* 772) que l'on peut prendre, en conservant toutes les notations du Tableau V,

i A=/?i=cos(D, R = G = ^ = sin o), R' = tangu), ''i — ^

col w, r = T—

du}

Le point correspondant M, de la surface (S|) (^^>*. 79)^iirapour coordonnées relativement au trièdré (T) du point M

cos6, sin6, o.

Les projections de son déplacement sur les axes de ce trièdre seront, par suite,

— sin G c?Ô -h cos oi du — l -r- du -^ ^— dv ] sinQ. \ di> du I

'^ cos9 f/Ô -+- sino) û?i^ -h( — <3?M-t- -r- û?^ jcos6,

cosa)sinO<:/p — sin w cosG â?«*.

Pour que ce point M, décri-ve une surface normale au cercle, il faut que Son déplacement soit toujours normal à la tangente en M, au cercle (C), dont les cosinus directeurs sont

— sin6, cos6, o.

Exprimant cette condition, on trouve

cl% -f. — du -h -,— di> — sin 6 ces oj du -+- sin w ces 6 c/t' = o. av ou

En égalant à zéro les coefficients de du, dç, on sera conduit au système suivant de deux équations

, -+--—= coso) sin y, du ov

âv du

sino) cos6,

que devra vérifier ô. 11 est aisé de voir qu'elles sont compatibles; car l'élimination de 9, que l'on effectue en prenant la dérivée de la première équation par rapport à i^ et celle de la seconde par rapport à iij conduit à la condition

(i5) -r— -— = sinto costo,

qui est vérifiée par la valeur de w (n*^ 772).

Donc, comme nous le savions déjà, l'intégration des deux équations simultanées (i4) donnera une solution ô contenant une constante arbitraire, c'est-à-dire une infinité de surfaces (Si ). On peut compléter comme il suit ce premier résultat.

Les courbes de (S) qui sont normales aux rayons MM, doivent être, nous le savons, parallèles les unes aux autres. On obtient aisément Téquatidn différentielle de ces courbes, qui est

(i6) COSO) COS0 t/a H- sino) sinô ^ç' = o.

Mais, comme elles sont parallèles, il doit exister un facteur k qui transforme le premier membre en la différentielle exacte d'une fonction cp satisfaisant à l'équation

('7) Aç?=ri.

Soit

d(p do