X: cos u) cos 6 = rr- > â: sinio sin6 = -r^ : du dv

en exprimant la condition (17), on trouvera

On peut donc prendre A = i et le premier membre de l'éq'aation (16) sera nécessairement une différentielle exacte. C'est ce que l'on peut aisément vérifier en faisant usage des équations (i 4)-

Posons donc

(18) d'y. = — cosa)COs6c?a — sinwsinGû?^. On aura, pour la surface (S),

(19) ds"^ — ci?a^ = (cos 0) sin6 ^a — sino) cos6 û?(')2.

Les théorèmes déjà démontrés nous conduisent aisément à reconnaître que l'on peut déterminer une fonction ^ par l'équation

(20) e-a(cosw sinO rfa — si nto cos 6 d'p) = o?p,

de sorte que l'on trouvera pour l'élément linéaire de (S) l'expression

(21) ^^2= cra2-+-e2arfp2.

Les lignes p = const. sont les géodésiques tangentes aux, rayons MM,. Ce résultat est en parfait accord avec ceux que nous avons obtenus en premier lieu.

Examinons maintenant ce qui concerne la surface (Si) : si l'on tient compte des formules (i4)) ^es projections du déplacement de M^ deviennent

/ cosO(costo cos6 <^a-i- sinto sinQ c?p),

(22) I sin 9(G0sa> cos6 û?M -h sino) sin6 û?p), \ côsto sin6 c^t» — sino) cosO <a?a.

On en déduit, pour l'élément linéaire de (S,), la double expression

(23) «^s2^COS2 0rfM2-+-sin2erf(^2

et

(24) ds\ = <^a2-f- (cosw %m^ dv — sinw cosô û?w)2.

LES TRANSFORMATIONS. 4vi9

Ici encore, il est aisé de vérifier que l'on peut poser

(25) e*^(cosw sinO fl?p — sinw cos6 <^m) = c^Y- ♦ Nous aurons alors

(26) dsY=d^'''-he-'^^d^C-\

et cette expression montre que (Si) aura aussi sa courbure totale égale à — i .

806. Pour compléter ces vérifications, remarquons que 8 peut être considérée comme une fonction de u^ v et de la constante arbitraire introduite par l'intégration, constante que nous appellerons w. Alors w, v^ w sont dé véritables coordonnées curvilignes propres à définir tout point de l'espace. Les surfaces u = const. ou (^ = const, seront engendrées par les cercles (G) dont les centres décrivent une ligne de courbure de paramètre u ou de paramètre ç; quant aux surfaces w = const., ce seront les différentes surfaces (S^) normales aux cercles (G).

Si nous tenons compte de cette nouvelle variable w, il faudra, dans les formules (i3), substituer à 6/8

-^-au -i- — ap 4- — «iv, ou ov Ow

et les projections du déplacement du point M, deviendront

cos6(cosw cos6 û?w-l- sino) sinOâ?^') — sin6 r— ^»',

ow

(27) / d^ ^ '' ' sin6(cosa) cos6 <iM-H sinwsinÔ G?r)-i-cos6 ^- </«',

ow ^

cos(i>sin6û?p — sinw cosôrfa.

Par suite, l'élément linéaire décrit par le point M de l'espace sera défini par la formule

(28) û?55=cos2erfa2-+-sin2 0rfp2^(T- )'<3^«'^

obtenue en ajoutant les carrés des trois expressions précédentes. Gette forme révèle un s^'stème triple orthogonal dont l'une des familles est formée par les surfaces (S^) (çv = const. ); et nous vovons de plus que, pour chaque surface (S,), les lignes de cour-