CHAPITRE XII

bure, qui se trouvenL nécessairement sur les surfaces ii z=z const., ou ç = const., correspondent aux lignes de coi;rbure de la surface initiale (S). Nous retrouvons ainsi toutes les propositions que nous avions obtenues directement.

807. Voici encore quelques conséquences des résultats précédents.

Puisque, d'après ce qui a été démontré plus haut, et aussi d'après les formules (22), les droites M< m, M, m' sont les tangentes principales de (S,) {Jig' 79)1 il faudra, la relation entre (S) et (S,)

l^ig- 79-

étant réciproque, que les centres de courbure /i, n' de(S<) en M, soient sur les tangentes principales de (S) en M, C'est ce que l'on vérifie aisément, de la manière suivante.

Les coordonnées relatives du point /i, par exemple, sont

si 116

Les projections du déplacement de ce point seront donc

cos w du I -7— du -+- ^- dv ] ,

sinô \dv du )

(29 ) \ sin to dv

cosO ,^

costo •sin6

dv.

LES TRANSFORMATIONS. 43l

Éliminons les dérivées de (o à l'aide des équations (i4)- Nous trouverons les expressions réduites

,, . j r/0 . , cotO „ cosw -

cotO sinw <ip H — ^,> sinwr/t^ ^-r"0, -t~zCW.

sm(i sinO sinO

On voit ainsi que, si l'on se déplace sur la ligne de courbure V = const., le déplacement du point n est bien tangent à la normale de (S,). De plus, si l'on fait la somme des carrés des trois déplacements précédents, on obtient l'élément linéaire de la surface décrite par le point n sous la forme suivante

(3o) f/52 = (r/cot,e)2-f- (, ( cot2e) dv-"-,

équivalente à celle que nous avons obtenue au n" 777.

Nous remarquerons encore que l'on peut transformer la formule (28) en y introduisant les variables déjà employées a et [3,

à la place de u et de (^. On obtient ainsi l'expression suivante

(32) ds'^ = (^j ^w^2^^aM-^iB2^2COS2 6^a<f[i

de l'élément linéaire de l'espace. On voit ainsi que les surfaces de paramètre a ou j^ coupent à angle droit les surfaces (S,) suivant des lignes qui sont géodésiques pour les surfaces de paramètre a ou [3 et qui sont, par suite, asymptotiques si on les considère comme tracées sur les surfaces (S, ).

808. Les propriétés géométriques sont si nombreuses dans la théorie que nous venons d'exposer qu'elles y introduisent peutêtre quelque confusion. Il ne sera donc pas inutile de montrer que l'on peut obtenir tout ce qu'il y a d'essentiel dans les résultats précédents en se plaçant à un point de vue exclusivement analytique.

Reprenons le système (i4)

()3 di

. , = sin 0 cosw, ou di>

d^ dm

-r- H- — - = — cosQsinio,

ôv du

432 LIVRE VII. — CHAPITRE Xll.

et considérons-le indépendamment de son origine. Mais auparavant, substituons aux. variables indépendantes u eii^ tes variables a et ^ définies par les formules (3i). On trouvera aisément

et cette^ forme est peut-êlre encore plus simple que la précédente. Cela posé, considérons le système

-T h -7— = o sin(0 — to),

qui comprend comme cas particulier le précédent. Si nous prenons la dérivée de la première équation par rapport à P et celle de la seconde par rapport à a, nous trouverons

^2(6-+-^) ^^6008(6 — a))sin(e -h w),

ab cos(9 H- w) sin(6 — to);

d'où l'on déduit, en ajoutant et retranchant successivement,

(36) -T — tq = aô sin 6 cos 0, ^^ — r^ = ab sinoi cosin.

On voit donc que ô et w seront des solutions particulières de l'équation

(37) -v— tq- = ^^sinûcosû, da dp

qui devient identique à l'équation proposée (i5) si l'on y suppose

(38) ab = i,

ce qui ne restreint pas la généralité.

Gela posé, supposons que l'on connaisse une solution quelconque (i)i de l'équation (87) : portons-la dans les équations (35), qui peuvent être regardées comme deux équations simultanées de Rie-

LHH 7KAMîF0liJIATI05% A COUBBCftE COJf«TA?fTi :-

cati en lang; • Ce» deux écja^lion?, étant compaliUes, loumuont

pour 0 une valeur ^i qui contiendra an*: ' ' - '' "*e arbitraire et qui. en vertu de la première des relations ^ une solation nou-

velle de l'équation aux dérivées |>artielles ( 37). Sobstîtoons maintenant cette valeur de ht dans le STStéme des équations (35 «. où u sera regardée comme l'inconnue. Ces équations, qui seront éridenunerit compatibles, donneront pour (i> une solution nonrelle de l'équation (87) Wj, qui contiendra une nouTeDe constante arbitraire ; mais, comme elles admettent déjà la solation ci) = W|^ leur solution générale Wj s obtiendra par de simplesqaadi-atnres(n*oO). Opérant avec'uj comme on l'a fait avec la solation primitive w«^ et poursuivant l'application de la méthode, on formera une suite indéfinie de solutions de l'équation (87 |. Le développement des calcals. que nous réservons pour le Chapitre suivant, montrera que chaque nouvelle opération exige seulement une quadrature nouvelle.

Le système (35) est un peu plus général que le système analogue (34)> équivalent au système (14^ étudié dans les numéros précédents. Mais il s'y ramène immédiatement si Ton effectue la substitution définie par les formules

oa — a", 6â = 3'.

substitution qui équivaut à la transformation de M. Lie ^n^^ 774^ si l'on tient compte de la relation (3S) entre u c\ b. Au reste, nous allons retrouver le système (Sd") dans IVlude d'une question de Géométrie qui se rattache naturellement à celles qui ont trouvé

place dans ce Chapitre.

809. Étanl donnée une surface à courbure constante ^S . li .tv. ^ li?. dans chaque plan tangent et du point do contact comme centre, un cercle (G) de rayon constant m. Soit M| un point de ce cercle, dont les coordonnées relatives seront

m cosô, m sinft, o.

Les projections du déplacement de ce point sur les trois âxes du Irièdrc (T) relatif au point M de la surface seront

00s jo tin m sin 6 ( «VO -♦- ^r- </•» H~ -x— *'*^ ) > l>. III. iS

Dans la transformation de M. Bianchi, le point M, devait décrire une surface (Sj) tangente à MMi ; et, de plus, les plans tangents en M et M< à (S) et à (S,) devaient être rectangulaires. Gardons la première condition, mais généralisons la seconde en assujettissant lés deux plans tangents à se couper maintenant sous un angle constant quelconque, suivant MM, .Nous exprimerons la première condition de la manière suivante :

Projetons le déplacement du point M<, non sur les axes M^ et Mjr du trièdre (T), mais sur MM, et la perpendiculaire MM2 à MM^ tracée dans le plan des xy {fig- 80). Les projections nouvelles du déplacement sur MM, , MMg et Mz seront

icos6 cosw <iM -4- sin6 sino) c?t', , ^v, , — sin 6 cos lù du -h sin w cos 6 <it» -i- m ( <f 6 -h ~r— dv

m(sin6 cosa).(Q?t^ — sinw cos6 ç?w).

Fiff. 80.

Pour que la surface (S,) soit tangente à MM,, il faut qu'il existe des valeurs de du, dv anntilant les deux dernières projections, ce qui donne la condition

sin 6 cosw

-h m ( -r — h -— l-f- sinw cosO singi cos 6 = o,

que Ton peut remplacer par les deux suivantes

m{ 1- .-T- 1 = sin 8 jcoso) — À smco cos6,

\du ov /

mi -, h -T- = — sinio cos 6 -1- A sin 6 cosw,

\dç du/

uu / acsî^ne une aibitrure. ÎBli«Mintc poar la roMiiiiiilr des cal-

cols. Les trois projections (4o) simple

. SIBMS»i^ eOSMCOSf^k.

' iK(eos«» sû^ ^ — âmi»€m&%dM

Le rapport — des dcKi: denûêrcs dosne "Tf-TniTnt la

gente de l'aii^ u du piaii tangcBt ^ 31 r iv«c le p

x^^, c'est-à-dire avec le pbn tai^eat à * S ' es M. Si mmb la condition qoe cet an^ soir cobsUkI. jl devra être stante. Noos sommes ainâ coadaîts à Fétade âm : lilàme (4>^« où À devra être regardé comme coastaat.

Or.si noasintrodnîsoDsàlaplacedevetdeirks varîali£es a et ^ nous aorons le 5V5tèmc

qui est identique au STStèm-? ^* ■: Ton ferait

Par suite, la relation \^38^ ikmk coAdsira îcî àla

qui fera connaître À en fiMKtîoii de at«

En tenant compte de la condition prêcédesley oa tRMiTera po«r

l'élément linéaire de ^S») Texpressioa

ds} = cosS% dm^^ sia^t **.

Cette formule, toute semldaUe à cdle q«e mmis aToas obtc»«e dans le cas ^rticolier où^ les |^«bs tangents à (S) et à (S«) sont rectangulaires, nous conduit à supposer ^ne, dsns le cas général oà c e > r lans tan^rents fent un angle qiieJcon<pBie« les lignes de conilMre

se correspondent encore sur S et sur » S,>. CTesl là «n point essentiel que le lecteur pourra verider en effectuant les calcnls qne nous alloQS indiquer.

436 LIVRE Vil. — CHAPITRE XII.

Les cosinus directeurs, relatifs aux axes du trièdre (T) de la normale à (Sj) se déterminent sans peine. Les projections du déplacement du point M, sur les axes de ce trièdre ont pour expressions

cosO(cosw cosO -h X sino) sin 9) du -h sin6(sHiw cos6 — X coso) sinG) dv, cos6(cosa) sin6 — X cosw sin6) du -f- sin6(sin(ii) sin 6 -h X coso) casJ9) dv, — w. sina> cosO du -h m costo sin 6 di^.

Si donc c, c'j c" désignent les cosinus directeurs de la normale, on devra avoir

c(costo cosO-f-X sinto sinO) -f-c'(coso) sin6 — X sinw cos6) — c" m sino) = o, c(sinw cos6 — X sinio cos6)-i-c'(sinio sin 6 h- X cosw cos6) -f- c"mcosa) = o,

ou, plus simplement,

c cos6 -h c' sinB = o, c X sin 6 — c' X cos 8 — me" = o.

Ces deux équations nous conduisent aux valeurs suivantes

c = msin6, c' = — /7icos6, c"= X

des trois cosinus.

Par suite, les coordonnées d'un point P pris sur la normale à (S,) auront pour expressions

a? = m(cosO -hp sinO). y=m(sin^ — pcos6), z = lp)

©désignant la distance du point au pied de la normale. Si Ton suppose p constant, le point P décrira une surface (S) parallèle à (Si) et dont on pourra calculer l'élément linéaire. En effet, les projections du déplacement du point P sur les trois axes du trièdre (T) sont

(costo cos 6 -f- X sino) sin6)(cos0 -j- p sin6) du "

-h (sino) cos6 — X cosw sinO)(sin6 p cos^) dv, (coso) sinO — X sino) cos9)(cos0 -h p sin6) du

-+- (sino) sin 6 -f- X cosw cos0)(sin6 — p cos6) dif, — m sin (L) ( cos 6 -h p siri 6 ) du -+- m ( sin 8 — p cos 8 ) cos w <ip,

et, par conséquent, l'élément linéaire de la surface (2), obtenu en faisant la somme des carrés des trois projections précédentes,

sera défini par la formule

('47) ds^-^-^ {s\n^ — pcbs^ydu^-\-{cosf) --h psin^y-dv^,

d'où il résulte immédiatement que u et t» sont les paramètres des lignes de courbure de (Si) et de toutes les surfaces parallèles (S). En effet, les lignes de paramètres u et (^ sont orthogonales, non seulement sur la surface (Si), mais aussi sur toutes les surfaces (S); et l'on sait que les lignes de courbure de (S<) sont les seules dont l'orthogonalité se conserve, dans le passage à la surface parallèle.

810. Mais, au lieu de poursuivre cette vérification, il vaut mieux employer la démonstration géométrique suivante, qui donnera d'ailleurs des résultats plus complets.

Reprenons le trièdre, que nous désignerons par (T') (Jlg^ 80) formé par la normale M^j à (S) et par les droites MMj, MMo. Soit de même (T^) le trièdre analogue, de sommet M<, formé par la normale en ce point à (S,), par M, M et une troisième droite perpendiculaire aux deux précédentes. Nous remarquerons d'abord que ces deux trièdres sont invariablement liés l'un à l'autre, puisque, d'après nos hypothèses, la distance MM< est constante, ainsi que l'angle des faces, appartenant aux deux trièdres, qui se coupent suivant cette droite. Par suite, les deux trièdres prendront en même temps les mouvements infiniment petits qui se réduisent à de simples rotations.

Ce point essentiel étant admis, remarquons que le premiei' trièdre a son plan des xy tangent en M à la surface (S);, par suite^ son déplacement infiniment petit se réduira à une rotation lorsque son sommet M décrira une ligne de courbure de (S), et dans ce cas seulement (n° 489). Le second trièdre (T'^) est placé par rapport à (S<) comme (P) l'est par rapport à (S); par suite, lorsque M décrira une li^ne de courbure de (S), le mouvement du second trièdre se réduisant à une rotation, le sommet M, de ce trièdre décrira une ligne de courbure de (Sj), et vice versa. Ainsi les lignes de courbure se correspondent sur [S) et sur (S^).

A ce premier résultat on peut ajouter les suivants. Supposons que le sommet M décrive une ligne de courbure de (S). Nous avons vu au numéro cité que l'axe de la rotation infiniment petite à la-

quelle se réduit le mouvement de (T) passe toujours par le centre de courbure correspondant G et se trouve dans le plan principal normal à la ligne de courbure ou, si l'on veut, tangent en G à la nappe (G) de la développée de (S) décrite par ce point.

Gomme le mouvement de (T'J est identique à celui de (T'), l'axe de rotation passera de même par le centre de courbure G, de (S|) relatif à la ligne de courbure décrite par Mi et se trouvera dans le plan tangent en G, à la nappe (G, ) de la développée de (Si ) décrite par le point G. De là résultent les relations géométriques suivantes :

Soient C et D les centres de courbure principaux relatifs au point M de (S); G) et D^ les centres de courbure correspondants relatifs au point M< de (Si ). Les plans tangents en G, D, G, , D^ aux quatre nappes des développées décrites par ces quatre points sont respectivenient les plans GDGi, GDD<, CDiGi, DG,D,.

En d'autres termes, les plans principaux de chaque surface vont passer par les centres de courbure principaux de Vautre, Le quadrilatère GDD4G, est tel que chacun de ses côtés est tangent aux surfaces décrites par ses deux extrémités.

On peut dire aussi que les congruences engendrées par les droites GG, ou DDi admettent comme focales les nappes (G), {Ci) pour la première, et (D), (D|) pour la seconde.

Ges relations avaient été déjà établies en partie, pour le cas de l'angle droit, au n° 806.

8i 1 , G'est à M. Bàcklund que l'on doit la découverte de la transformation que nous venons d'étudier (*). Malheureusement, elle se ramène, commenous l'avons déjà remarqué, aune combinaison des deux transforma^tions différentes que nous devons à M. Lie et à M. Bianchi. M. Bàcklund en a rattaché l'étude à celle d'une question très générale, dont nous allons dire quelques mots en terminant ce Ghapitre.

C) Baecklund (A.-V.), Om ytor med konstant negativ krokning {Lunds Universitets Arsskri/t, t. XIX; i883). Le Mémoire est accompagné d'un résumé en français.

(2) el (2') désignant deux surfaces distinctes, peut-on établir une correspondance entre un point M(;r, j)', z) de la première et un point M'(^', y' ^ z') de la seconde, de telle manière que quatre relations données à l'avance

soient vérifiées identiquement?/?, q désignent, suivant l'usage, les dérivées de z considérée comme fonction de x^ y et de même, p\ q' celles de z' considérée comme fonction de x' , y' . Il est aisé de voir que, si une des surfaces est donnée, le problème sera, en général, impossible. Supposons, par exemple, que;j' soit une fonction donnée de x\ y'. Si l'on élimine x', y' entre les quatre équations précédentes, on sera conduit, en général, à deux équations aux dérivées partielles pour^; ces équations n'auront pas nécessairement d'intégrale commune.

On peut encore remarquer que les éc^uations précédentes peuvent être considérées comme contenant quatre fonctions inconnues de x et de r, savoirs, x',y'y z'. On pourrait même exprimer/?', q' en fonction des dérivées premières de x',y'j z' par rapport à ^ et ky. Or quatre équations à quatre inconnues forment, en général, un système déterminé. Donc ^, considérée comme fonction de x^y^ devra satisfaire à une ou à plusieurs équations aux dérivées partielles. Ce sont ces équations qu'il s'agit de former.

A cet effet, différentions les équations (4^). Si l'on pose, pour abréger,

/ /dFA ÔF,- dFi dFi dFi

} \dx J âj; dz ^ dp dq

/àFA dFi dFi dFi dFi ^

on aura des relations de la forme

Ces équations permettent d'exprimer dx^ dy^ dp\ dq' en fonction linéaire de- dx\ dy' et nous donnent, par exemple, un résultat

440 LIVRE VII. — CHAPITRE X|l.

de la forme suivante

Ndp'= Hdx'-^-Kdy, N dq'=h dx -f- M dy ^

OÙ H, K, L, M, N sont des fonctions linéaires de r, 5, t^ ri — s'^. Or on doit avoir évidemment

Sans cela, /?' et q' ne seraient pas les dérivées d'une même fonction. Le calcul de K et de L n'offre d'ailleurs aucune difficulté et nous conduit à la relation

dq dy ^ dz' ■

dp' ùx' "^ ^ dz'

où chacun des membres doit être remplacé par le déterminant formé avec les lignes que l'on obtient en donnant à îles valeurs i, 2, 3, 4' L.e développement conduit à la condition suivante, qui a été donnée par M. Bàcklund (^),

( -4-(34)[FiF2]-+-(42)[F,F3]-4-(23)[FiF4] = o. On à posé, pour abréger,

à^\làJk\ldYy^ /d¥j,\^

'■'•-mm-mi

âx /

Quant au symbole [F^F^], il désigne le crochet jacobien

\dx'

\ày

dz' 1 dp' \dx' ^ dz' ) dp'

dz' j dq' \dy

dz' } dq'

Ce premier point fondamental étant établi, il peut se présenter deux cas distincts.

1° L'équation (5i), jointe au système (48), permet de déterminer

(') Baegklund, Zur Théorie der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung {Mathematische Annalen, t. XVII, p. 285; i88o j et Zur Théorie der Fiàchentransformationen (Même Recueil, t. XIX, p. 387; 1882).

LES TRANSFORMATIONS A COURBURE CONSTANTE. 44r

x\ y ^ z' ^ p' ^ q' en fonction de x^y^ :;,/?, q^ /•, s, t. S'il en est ainsi, il restera seulement à exprimer que les valeurs trouvées vérifient identiquement la relation

(54) dz' = p' dx' -^ q' dy\

ce qui conduira, en général, à deux équations aux dérivées partielles du troisième ordre pour z. Toute intégrale de ces deux équations donnera une surface (S), à laquelle correspondra une seule surface (S').

2® Supposons, au contraire, qu'en tirant, par exemple, du système (48) les valeurs de x' ^ y' 1 p' ^ ^'et les portant dans l'équation (5i), on obtienne une relation ne contenant plus z' . Alors il restera pour z une équation du second ordre seulement, linéaire par rapport à r, 5, t, rt — s-. Mais, quand on aura trouvé une intégrale de cette équation et, par suite, une surface (S), il lui correspondra une infinité de surf aces (S'); car, si l'on porte dans l'équation (54) les valeurs de/?', q' ^ x' ^ y\ on sera conduit à une équation aux différentielles totales

dz'= PL{x,y, z')dx-'r-Yi{x, y, z')dyy

qui sera intégrable et donnera z' avec une constante arbitraire.