M. Bàcklund à appliqué sa théorie au système suivant
Fi= {x~x')'^^{y—yy--^ {z — z'Y—a"'^ o, Y^=z — z'—p ^x — x') — q {y —y') = 0, ^^=zz—z'--p'{x — x') — q'{y — y') = o, F4 = i -¥-pp' + qq' — b /h-jd2| qi ^/j + jd'2 f. q'i =^ q.
Alors les deux points M, M' sont à une distance invariable a\ les deux plans tangents en M et en M' passent par la droite MM' et font un angle constant. Cette relation entre les deux surfaces est précisément celle que nous avons étudiée au n° 809. Mais, si l'on forme ici l'équation (5i), elle exprimera que la courbure totale de {II) est constante. En tenant compte de la symétrie des équations (55), on peut donc dire que la relation qu'elles exprimentne peut exister qu'entre deux surfaces à courbure constante.
Nous n'insisterons pas sur cet exemple, parce que nous allons
généraliser. Considérons le système suivant
/ Fi = (it— a:')2-+- {y —fyi ^ (^z — z'^— a'^ = o,
1 Y^— z' — z — p' {oc' — x) — q'{y' — y) — b' a\/ i-^p'^-\- q'^ — o,
\ F!^=ï-hpp' -^ qq' C \/l-+-/>2-^ ^2 ^I-f-/?'2H- ^'2 = o^
où a, bj 6', c désignent des constantes.
Alors la rel'^alion entre les deux surfaces sera telle que les deux plans tangents en M, M' et la droite MM' formeront un système invariable ; les constantes b et b' seront les sinus des angles des deux plans tangents avec MM'; c sera le cosinus de l'angle des deux plans. On retrouve le cas particulier étudié par M. Bàcklund en faisant b^= b' ^= o.
Formons la condition (5i); mais, pour éviter les calculs, nous supposerons, ce qui est évidemment permis, que l'on ait choisi les axes coordonnés de telle manière que l'on ait, pour le point M de (2),
Alors les rayons de courbure de (S) en M seront
En calculant l'équation (5i), on trouvera
a2(i 6'2),.;(^4 ^)<2(^» — è'c) -Hi — c2= o, .
ou, en remplaçant /' et t par leurs expressions en fonction des rayons de courbure,
(5;) (i — c2)RR/— (R-+-R')a(è — 6'c)-ha2(i 6'2) = o.
On se trouve ici dans le cas exceptionnel où z satisfait à une équation du second ordre. Si la relation précédente était identiquement vérifiée, on aurait
c=±i, b^±zb', 6'2 = i.
La droite MM' serait une normale commune aux deux surfaces (S) et (S'), qui seraient parallèles.
Ecartons cette solution, qui est bien connue; nous voyons que
la surface (S) doit être une surface W pour laquelle la relation entre les rayons de courbure sera donnée par l'équation (Sn). Par raison de symétrie, la surface (S') sera aussi une surface W, correspondante à la relation
(58) (i— •c2)Ri r; — (Ri-f- R'i )a(6'— bc) -^ a2(i — 62) = o
entre les rayons de courbure R^, Rj.
Au premier abord, il semble que les résultats précédents aient une grande généralité; mais on peut remarquer que la relation, telle que nous l'avons définie, entre (S) et (S') subsistera entre deux surfaces quelconques respectivement parallèles à (2), (2'), c'est-à-dire que, pour ces surfaces, les plans tangents aux points correspondants et la droite quijoint Jeurs points de contact formeront un système invariable.
D'après cela, supposons d'abord c^— i différent de zéro. Si nous remplaçons les surfaces (2), (S') respectivement par les surfaces parallèles pour lesquelles les relations (57) et (58) sont privées de leurs seconds termes, ce qui est toujours possible (n° 771), on devra avoir, pour les nouvelles surfaces,
b — b'c = o, b' — hc = o et, par suite,
Alors on retrouve le cas particulier étudié par M. Bàcklund; la droite MM' est tangente aux deux surfaces, qui ont leurs courbures constantes et égales.
Soit maintenant c^= i ; on obtiendra des surfaces pour lesquelles les rayons de courbure auront une somme constante. Si on leur substitue les surfaces minima qui leur sont parallèles, il viendra
mais la correspondance ainsi établie n'aura jamais lieu entre deux surfaces réelles. Nous laisserons au lecteur le soin d'étudier toutes les surfaces minima que l'on peut faire ainsi dériver d'une surface minima donnée.
Le résultat essentiel de cette recherche est donc exprimé par le théorème suivant :
Si deux surfaces se correspondent point par point j sans être
