CHAPITRE XIII
DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES SE RATTACHANT AUX TRANSFORMATIONS PRÉCÉDENTES.
Détermination de surfaces particulières à courbure constante négative. — Rappel des surfaces de révolution et des hélicoïdes^ — Surfaces à lignes de courbure planes ou sphériques dans un système. — Recherches de M. A. Enneper et de M. H. Dobriner. — Comment on exprime qu'une surface rapportée à ses lignes de courbure a ses lignes de courbure sphériques dans un système. — Application aux surfaces à courbure constante négative. — Intégration des deux équations auxa'»elles doit satisfaire simultanément la fonction w qui se présente dans l'élémeat linéaire de la surface rapportée à ses lignes de courbure. — Propriété géométrique de la surface : les sphères qui contiennent les lignes de première courbure ont leurs centres en Hgne droite. -^ Cette propriété permet de ramener à des quadratures la détermination des trois coordonnées d'un point de la surface. — Comment on exprime qu'une surface a ses lignes de courbure planfts dans un système. — Application aux surfaces à courbure constante; gi les lignes de caurbure sont planes dans un système, leurs plans passent par une droite et, par suite, les lignes 'de courbure de l'autre système sont situées sur des sphères ayant leurs centres sur cette droite et coupant la surface à angle droit. — Détermination effective de ces surfaces. — Dévelop-
. pements analytiques sur les méthodes de transformation de MM. Bianchi, Lie et Bâcklund. — On peut réduire l'application de ces méthodes à de simples calculs algébriques précédés d'un certain nombre de quadratures. — Les deux équations de Riccati qui se présentent dans cette théorie et qui contiennent un paramètre arbitraire. — Véritable origine de ces équations et leur réduction au système qui se présente dans l'application de la méthode de M. Bâcklund. — Théorème général résumant les résultats obtenus.
813. Nous terminerens nos études sur les surfaces à courbure constante en indiquant les moyens de déterminer quelques-unes d'entre elles, c'est-à-dire en faisant l'application aux cas les plus simples des méthodes précédentes de transformation.
Différents moyens s'offrent à nous pour trouver des solutions particulières de l'équation
On peut supposer d'abord que w soit fonction d'une seule des variables u ou ^, ce qui conduit aux surfaces dé révolution déjà étudiées dans la première Partie [n° 66, 1, p. 79]. Supposons, par exemple, que to dépende de u seulement. L'intégration de l'équation
, - = sina> coso)
nous donnera
Vdu)
(-zrr.) =sin2a)-ha,
a désignant une constante quelconque, et nous conduira à des fonctions elliptiques en général. Si, en particulier, la constante a est nulle, on pourra se borner à prendre
{'i) tang- = e".
C'est l'expression qui convient à la surface pseudosphérique. En «ffet, la formule (11) [p. 4.26] nous donne ici, pour l'élément linéaire de la surface, l'expression
;et il suffît de poser
pour retrouver la formule déjà donnée [p. 894]»
ds'^ ^ du'^ -4- e2'*' dv^,
qui convient à la sur^dice pseudosp hé tique de raj'on i rapportée à ses lignes de courbure.
On pourrait obtenir d'autres solutions de l'équation (i) en: supposant que w dépende seulement de la fonction linéaire aw + 6<^ ; mais cette hypothèse, qui conduit aux hélicoïdes à courbure constante, peut être laissée de côté. Les surfaces correspondantes se déduisent, en effet, des surfaces de révolution par la transformation de M. Lie, indiquée au n"" 774.
814. Pour obtenir d^autres surfaces à courbure constante, nous
allons chercher, avec M. Enneper (*), celles dont les lignes de courbure sont planes ou sphériques. Nous commencerons par le cas le plus général, celui où les lignes de courbure sont sphériques dans un seul système.
Supposons une surface rapportée à ses lignes de courbure et conservons toutes les notations du Tableau ¥[11, p. 386]. Pour exprimer que les lignes de courbure de paramètre u sont sphériques, nous raisonnerons comme il suit. Les coordonnées du centre de la sphère qui contient cette courbe, prises par rapport aux axes du trièdre mobile (T), sont
Xq et Zo étant évidemment des fonctions de u : car, si l'on désigne par R le rayon de la sphère et par t Tangle sous lequel elle coupe la surface, on doit avoir
(4) iro = Rsinj, ^o=Rcosa;
et Ton sait, d'après le théorème de Joachimsthal, que <t doit conserver la même valeur en tous les points de la courbe, c'est-à-dire être indépendant de v. Exprimons que le centre de la sphère, c'est-à-dire le point (^o, o, Zo), ne se déplace pas quand on se déplace sur la ligne de courbure. Nous aurons l'équation de condition
(5) C-^r^Xo — p^zq = o,
par laquelle nous exprimons que la seule composante du déplacement de ce Centre qui ne soit pas identiquement nulle est égale à zéro. Cette condition, qui est nécessaire, est d'ailleurs Suffisante, on le reconnaîtra aisément ; car elle exprime que l'une des développées de la ligne de courbure se réduit à un point, c'est-à-dire que cette ligne de courbure est sphériqùe.
Dans le cas actuel, la condition (5) devient, en tenant compte des valeurs (12) [p. 426] de G, /?i, /•<,
(o) sinoi -f- aro -T >3ocosa> = o.
ou
(') Enneper (A.), Analylisch-geometrUche Untersuchungen {Gottinger Nachrichten; 1868, p. 558-277 et 4ai-443 ).
AfA
Elle est de la forme
il!) 2-^ = a^^-f^-^,
Ou *
a et p étant deux fonctions de a liées à x^^ t\. ,z^ |Mrr les relations
(8) 'iz^ — X(i{%-^'^), i=~ix^{^ — '3.).
Il noiis reste à déterminer La fonction cj qui satisfait à la fois aux équations (7) et (i).
815. L'équation {7) fournil, par la différentiation, la dérivée seconde de co,
( 9 ) 4 Yl ^ * ^ a^^^''^ — p^€-2^w ) -i- 2 a' e^^ H- 2 P' e-'w,
et l'équation (i) nous permet alors de calculer ---. On obtient ainsi la valeur suivante
Multiplions cette équation par 2 -r-? et intégrons par rapport à v ; nous aurons
0) 4(y*^) = (a2 -hi) eSito | ([32 ^ 1)^-2^0) , 4 toc' eiw| 4 jp>-i(D^6y ^
Y étant une nouvelle fonction de u introduite par l'intégration. Nous avons maintenant les deux dérivées de oj ; il ne reste plus qu'à écrire la condition d'intégrabilité. En dilTérentiant l'équation précédente par rapport à «, on aura
ùv daàv - ' ^ ^ au
-f- 2aa'62'w -f- 2 pp'e-2'w 4 ia"e*w + 4(P"e-''w h- 67'.
En différenliant de même l'équation (7) par rapport à v^ on
trouverait
(i2a) ., . ^ . ^ da> 2- — - = i(ae*w— 3e-'w).
Egalant les deux valeurs de 3 — t-> nous sommes conduit à la
relation
l 2aa'e2'<^ -f- 2 ^|3'€-2«'w — 4 ja"e'w -f- 4 ip"e-'w + 6^', qui, simplifiée, devient
67' -t- 6aP' -h 6 j3a' -+- e'^ [— 4 ta" -h 2 /p(a2 + i) Ga y i]
Si cette relation n'était pas identiquement vérifiée, elle déterminerait (0 qui serait une fonction de u. Excluons cette hypothèse qui conduit exclusivement aux surfaces de révolution. Nous aurons
2a"— P(a2-+-i) + 3aY = o, 2P"-a02+i)|3pY==o.
La première équation s'intègre sans difficulté et donne
a désignant une constante arbitraire. Les deux autres deviennent alors
(li)
"=rï?-4-2a?2^^L:rji,
et leur intégration est la principale difficulté du problème. Une remarque très simple ouvre la voie qui conduit à leur solution.
