Puisque les deux équations qui déterminent —? y-' sont
Celles que la condition d'intégrabilité est vérifiée ; elles admettent iine solution w contenant une constante arbitraire. En particulier, J<es fonctions w de w défiiiies par l'équation
satisferont à l'équation (7). Ainsi, lesquatre valeurs de e^*^, racines
de l'équation
U = (a2-hi)e**"<«)4(a'e**w-l-6Ye2i'w-l-4i3'e'<*>+p24 i = q,
donneront des solutions particulières de l'équation (7); et, comme
cette dernière se réduit à une équation de Riccati lorsque l'on
prend comme variable e^^ au lieu de to, le rapport anharmo-
nique des quatre racines du polynôme U doit être une constante.
§3 On sait que ce rapport est une fonction du quotient ^i S et T
désignant les deux invariants, quadratique et cubique, de U. On est donc conduit à calculer ces invariants
et l'on constate que non seulement =r^ j mais chacun des invariatits
S et T, est constant en vertu des éqiiations (i i). On obtient ainsi deux intégrales premières de ces équations, dont l'intégration est ainsi assurée.
817. Au lieu de suivre cette méthode, on peut encore procéder comme il suit : effectuons la substitution définie par les formules
(i3) a=y-{-zi, ^=y — zi.
Les équations à intégrer' deviendront
( y=(H-«)jK + 2JKCr2-+-i52),
^=az-+-2^(jr*H-^2).
Sous cette forme on reconnaît qu'elles se présenteront dans le problème de Mécanique pour lequel u serait le temps, la fonction des forces F étant exprimée par la formule
On aura donc tout de suite l'intégrale dçs forces vives
(|5) j.'2^^2=(x-+-«)jr^-t-a^2-|-(^«-h^*)'-f-2/i,
et l'on sait que toute la solution sera ramenée à la recherche d'une solution particulière avec une constante arbitraire de Téquâtion
DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 45l
aux dérivées pai'tielles en 9,
ày) \àz)
Tran-sformons en coordonnées elliptiques, c'est-à-dire substituons àjK etx les deux racines p, p, de l'équation en t
nous aurons
r^ = — (i — p)(i — Pi),
( ^^=. ppi,
et une transformation bien connue ramènera l'équation en Ô à la forme
= (p — pi)[(r + a)72H- az2-h (jK2-4-s5)2^2/i],
ou, en remplaçant y^^ ^^ par leurs valeurs et posant
(19) 4p(p-i)(^)'-4pi(pi-')(^)'=/(p)-Api).
Cette équation admet la solution
2tJV p(p-i) ^ 2j V pi(pi-0 '^
qui contient la constante arbitraire k] et, par suite, les valeurs de p, pi seront fournies en fonction de u par les formules
Si donc on pose
les deux équations suivantes
P^ Pi^^ , A(p-)^A(pO -^'^"'
dp dpi
donneront les intégrales cherchées. On voit que p, p< sont des fonctions ultra-elliptiques de u,
A l'intégrale des forces vives on peut ajouter la suivante
(24) . z'^-^{yz'-zyy^-z'^{a+y^^z'^)^ik,
que le lecteur vérifiera aisément et qui nous; permet de calculer les invariants S et Tde U. On constate, comme nous l'avons annoncé, qu'ils sont constants et ont les valeurs suivantes
818. Il nous reste maintenant, y^ z, ol, ^ étaut déterminés, à obtenir l'expression de w. On y arrive de. la manière suivante.
Remplaçons, dans l'égalité qui sert de définition à U, e^^ par Ç; nous obtenons un polynôme du quatrième degré dont on peut calculer le Hessien. Si nous le désignons par H, et si nous y remplaçons Ç par e^'^, nous aurons
+ 2i[(i-h a2)8'+ Ya']e3"o ^ ^ -h[(a2-hi)(^2|,)^2a'|^'- 3Y2]e2!w
- 2i[(i+ p2)a'-H Y^']e'-(OH .^(H ^2) 4. p'2.
D'après la théorie des formes biquadratiques (' ), on a l'identité àll „ dU
U 3r — H 3^ = 2 /- 4H3+ SHU2 - TU^.
D'autre part, si l'on pose
on aura
àv U2 dv 2U/ÏÏ
(') Salmon, Leçons d'Algèbre supérieure, iraductioti 0. Chemin; 1890.
OU encore, en tenant compte de l'identité précédente.
(28) ^>.v/4^^-Si. + T.
S et T étant des constantes, le rapport anharmonique de Pline quelconque des racines de l'équation (27) et de trois racines de U dépend exclusivement de ^. et non de u, d'après la théorie des formes biquadratiques. Donc ^ sera une simple fonction de p et sera, par suite, entièrement déterminée par l'équation précédente, qui introduit cfette fois des fonctions elliptiques. Signalons là relation identique
entre Jes deux polynômes du troisième degré qui figurent dans la solution.
On a ici un nouvel exemple d'un problème dans lequel figurent à la fois les fonctions elliptiques et les fonctions hjperelliptiques.
819. L'intégration des équations (i4)î qu'EnneJ)er n'avait pu effectuer et qui lui paraissait présenter de grandes difficultés, est due à M. Dobriner qui l'a donnée dans un Mémoire publié en 1887 (<). Nous nous contenterons âe montrer ici que la détermination des coordonnées X, Y, Z d'un point de la surface en fonction de u et de p n'exige plus l'intégration d'une équation de Riccati, mais s'effectue au moyen de simples quadratures. Il nous suffira pour cela d'établir que les sphères coupant la surface suivant des lignes de courbure ont leurs centres en li^ne droite.
Les coordonnées, relatives aux axes du trièdre (T), du centre de la sphère qui contient la ligne de courbure de paramètre u ont été désignées plus haut par ^oj o? ^o- Elles sont liées aux fonctions y^ z par les relations
(3o) zçi — x'Qy, 1 = ^0-5.
(•) H. Dobriner, Z>fe Flâchen cànstanter Krûmmung mit einem System sphàrischer Krummungslinien dargestellt mit Hilfe von Thetafunctionen zweier Varîabeln {Acta Mathematica, t. IX, p. 73-io4; 1886-1887).
déduites des formules (8) et (i3). Lorsque l'on passe d'une ligne de courbure à une autre, c'est-à-dire lorsque u varie, les projections du déplacement de ce centre sont
(a?^-!- coso) -t-^o sintu) û??^, Xq~ du^ {z'^^ — ^Tq sinto) <fw.
Remplaçons Xq^ Zq en fonction de y et de s, et calculons les cosinus A, B, G, proportionnels à ces trois projections, des angles que fait la tangente à la courbe des centres avec les axes du trièdre mobile. En tenant compte de l'équation (lo), nous trouverons les expressions suivantes
(3i) { Bv/^ = -2^,
G \/q1c = yz' — zy' -\- z siaw.
Or on reconnaît aisément que ces cosinus directeurs vérifient identiquement les relations telles que les suivantes
û?A = B(r û?w-i- Ti G?p) — Q{q du-\- q^dv), ...,
qui caractérisent une direction invariable dans V espace. La proposition que nous avions en vue est donc établie et la ligne des centres est une droite.
820. Prenons cette droite pour axe des X. Rien ne sera plus aisé que de déterminer la coordonnée X. On a, en effet,
ax . dX . .
-— =Acosa), — - = J3sina),
du dv
et, de ces deux formules, on déduit sans difficulté
/ o ^ V ^ COS 0) ^ C ^ j
(32) X = -— z= -j=. I z^ du.
La sphère contenant la ligne de courbure aurait évidemment pour équation
où u désigne maintenant une fonction inconnue de u ; et il est clair
que X — U est la projection sur Taxe des X du rayon de la-sphère qui aboutit au point considéré de la surface. Mais cette projection peut être calculée à l'aide des formules (3i) et elle est égale à
— (AiCo— Czo)
— I /z' y^z' A -zcost!) z'(j-hy^) yy'
On a donc
ce qui donne
(34) u=î^ii^tZ!)JZl__L r^,rf„.
z y/ÏT /ÔÂ- /2X J
Connaissant X — U, nous pourrons déduire de la formule (33) la \aleur de Y^ -}- Z^
Si nous posons enfin
(35) Y = Xcos6, Z = Xsint|;, l'identité
(36) C?5«=C?X2~crA«-r-X»rf4'*,
OÙ ds^^ X, \ sont entièrement connus, permettra de déterminer -v par une simple quadrature.
Appliquons cette méthode au cas spécial où Ton suppose
Alors on doit avoir
(38) ^'»=^4^az«-r 2A,
(39) ^= — zsino).
De cette dernière équation on déduit
OU, en donnant 'à f(y) une forme spéciale,
/— = — I z (lu — I Zi dv.
sinw J J
Au lieu d'appliquer les formules précédentes, cherchons directement ^, et w.. De l'équation précédente on déduit
(39/^/5) — = — zisinw.
Pour déterminera, , remarquons que l'on a
—— - = — z sinci>-^^2 giiicocoso), du^
— — - = — 2, sinco -h-Zi sinto coso),
ce qui donne, en substituant dans l'équation (1)
(40) .os« = ^^i;=^.
11 ne reste plus qu'à porter cette valeur de w dans l'équation (89) pour obtenir la condition
qui définira z\. La fonction w se trouve ainsi directement déterminée en fonction de z^ et de v. On aura ici
A\/2/i^ = z' — Z^ COSlii,
(42) I B y/^X = — ^-T- = ^^1 sino),
G \Jih=^ z sinoj, (.',3) X^=Y^+Z^=i^l^ = ii±lsm^«, X^iï^^K^^.
Un calcul facile donnera
(44) dh^"
d'où il suit que | sera une fonction de v,. En d'autres termes, les lignes de courbure de paramètre v seront planes; et leurs plans passeront par la droite, lieu des centres des sphères qui contien-
nanties lignes de première courbure. C'est un résultat qu'il était aise de prévoir, l'hypothèse
y = n ou ^0=^0,
que nous qyonâ faite, exprimant que les sphères contenant les lignes de première courbure coupent la surface à angle droit. Comme elles ont déjà leurs centres en ligne droite, on devait trouver une variété des surfaces de Joachimsthal [n°^ 92 à 94, I, p. 1 12 et suivantes].
821. Le cas que nous venons d'étudier est le seul dans lequel une surface à courbure constante puisse avoir ses lignes de courbure planes.
En effet, pour que les lignes de courbure, de paramètre ^\ d'une surface quelconque, soient planes, il faut et il suffit [n"509, II, p. 394] qne leur plan osculateur coupe la surface sous un angle constant. Or, lorsque la surface est rapportée à ses lignes de courbure, la tangente de cet angle est — - (n° S07). Il faut donc que l'on ait, en général,
Ici cette équation .devient
Aux notations près, elle est identique à l'équation (89 bis) qui entraîne comme conséquence l'équation (39). En déterminant les fonctions d'une seule variable z et Zi, on retrouve les hypothèses et les valeurs que nous venons d'étudier. Ainsi,
Quand une surface à courbure constante admet une famille de lignes de courbure planes, les plans de ces lignes de courbure passent par une droite et, par conséquent, les autres lignes de courbure sont sur des sphères qui ont leurs centres sur cette droite.
Pour ce qui concerne le cas général, l'introduction des fonctions 0 à une et à deux variables, nous renverrons le lecteur à l'élégant Mémoire de M. Dobriner.
822. Pour obtenir de nouvelles surfaces à courbure constante, il suffira d'appliquer à celles que nous venons de déterminer les méthodes, de transformation de M. Lie et de M. Bianchi. Nous allons donner rapidement quelques indications sur la suite des calculs qu'il y aura à exécuter pour obtenir les surfaces en nombre illimité que l'on peut ainsi faire dériver d'une surface donnée.
Reprenons le système fondamental
-T h -— = sin^cosw,
ou âç
-r- -}- -r— = — sin 0) cos8, ap du
d'où l'on déduit toute la théorie.
Gonsidérons-y d'abord to comme donnée et cherchons à en déduire la valeur la plus générale de 9. Si l'on en connaît une solution particulière 9, la solution la plus générale, que nous désignerons par 9', sera définie par la formule très simple
(47) cot(^-^-j =Pe-«,
où l'on a posé, en modifiant légèrement les notations du n** 805, cfct = cos6 cosej du -+- sinÔ sinto c?p,
e-^ d^ = coso) sin6 du — sino) cos6 dv
Ces quadratures, eff'ectuées avec la plus grande généralité possible, introduiront évidemment une constante arbitraire en facteur
dans l'expression de cot
Supposons maintenant que, considérant 9 comme donnée dans le système (4^)7 ou veuille avoir l'expression la plus générale de la fonction w qui satisfait à ces deux équations^ Si nous désignons encore par o) une solution particulière et par w*^ la solution générale, nous aurons, de même que précédemment,
Y étant la fonction introduite au n® 805 et définie par la quadrature
(50) e^dy = — cosô sinw du -h sin6 cQStadv.
La méthode de M. Biancbi consiste, nous l'avons vu, dans l'exécution alternative de ces deux opérations. Remarquons que les calculs relatifs à la seconde se déduisent de ceux qui se rapportent à la première, si l'on échange to, 9, a, p, y respectivement en 9, w + Tw, — a, y, |B, comme on s'en assure aisément.
Supposons que, partant d'un système de solutions (w, 0) du système (46)) on ait calculé les fonctions a, p, y. Appliquons la formule (47) pour avoir une solution plus générale et remplaçons ô par 0'. Nous aurons de nouvelles valeurs a', |i', y' de a, p, y. Les valeurs a', ^' se calculent algébriquement par ks formules
Mais, pour obtenir la nouvelle valeur y^ de y, il faudra effectuer une nouvelle quadrature.
Si, de même, on remplace w par la valeur u)" fournie par l'équation (49)) on aura de nouvdles valeurs cl'\ ^" , ^' de a, p, y.
Des formules analogues aux précédentes donneront
Mais, paur obtenir la nouvelle valeur ^'^ de p, il restera ici encore a effectuer une nauvelle quadrature.
823. En appliquant successivement les dçux opérations que nous venons de définir, on déduira, on le voit, de tout système de solutions des équations (46) un nombre illimité de systèmes nouveaux contenant autant de constantes qu^on le voudra; et la détermination de chaque système nouveau exigera seulement une nouvelle quadrature.
Mais ces quadratures portent sur des expressions de plus en plus compliquées contenant les constantes arbitraires mêlées aux vanables aussi bien dans les dénominateurs que dans les numérateurs. Il semblait donc que l'application de là méthode étaitpresque impossible et devait être promptement arrêtée dans le cas général. 11 y a donc quelque intérêt à signaler le résultat suivant :
Il suffira d^ effectuer au débuts en dehors de a, p, y, un certain nombre de quadrature^ {inférieur d^une unité au nombre
46o LIVRE VII- — CHAPITRE XIII.
des solutions nouvelles que l'on veut obtenir) portant sur des fonctions parfaitement déterminées de u et de v\ et ces quadratures une foi^ effectuées, V application de la méthode n'exigera que les calculs algébriques les plus élémentaires.
Voici d'abord quelles sont les quadratures à effectuer: elles sont définies par les formules
dbi — dba-k- ibi dz — ib^ d<t — e-^^b^ d^,
db,i = dbn-î-h ibn-i dz — ^ bn-i dt
— {b^bn-'i-^b^bn-^'^-' .-+- ^>«-2 6o)e-«aû?P -h {bx b,i-î -*r 62 bn~z -H . . . -t- bn-% ^i ) d-ç.
Cq —y
dCi = 2Co</(Py- £)-(Y^-He;-2a)c?j3,
dc2 = dcg-hici d{^y — i)'^ 2CodoL — e^^cl dy,
dcn = dCn-2 •+■ 2 Cn-i d{^y — l) -\- 2 c^-s dct
— {coCn-i-^ cic«3 + . . .H- o„2Co)e2aû?Y
-h (Ci Cy,2 -h Ci Cn-i + . . . -4- C«^2 Cl ) d^,
où l'on a posé, pour abréger,
(55) c?£ = p<iY-i- sin6 sinti) c?w-i- cosoj cos6 t/p. '
Il résulte des équations (4^) c[ue de est une différentielle exacte.
Nous supposerons que toutes ces quadratures soient calculées de la manière la plus générale, c'est-à-dire qu'on ait ajouté une constante arbitraire après chaque intégration.
Ces définitions une fois admises, supposons qu'on substitue partout à 9 la valeur h' définie par la formule (47)' Les nouvelles valeurs è^-, c'^ des fonctions bt^ ct seront déterminées par les formules (5i) et les relations très simples de récurrence qui suivent
(56) )^'^ = <^-Pï^-
et
DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 46i
Cn= ^«+lH- P'(c«i6l+ C;2^2 + - ..H-c'o/^«).
Lorsque, au contraire, on substituera le système (co'^, 8) au système (o), ô), les formules que l'on aura à employer pour calculer les nouvelles valeurs de bi, c/ seront pareilles aux précédentes et s'en déduiront par la substitution des quantités — a, y, p, c/, bi à a, p, y, bi, Ci respectivement. On aura, par exemple,
(58) />; = Cn-i-i~^f{b"^-i Cl -h bl^c.2 4-. . .-\-b"QCn).
( 59 ) cl = 6„i — Y ( bn-2 C"i -f- bn-3 c", -f- . . . + Ôq C/^- i ) .
Gela résulte de la remarque faite plus haut : le système fondamental ne change pas quand on change w en 0, 0 en w + tc; mais alors il faut changer le signe de a, échanger p et y, bi et Ci, e et
824. On peut établir tous ces résultats d'une manière relativement simple en opérant comme il suit.
Remarquons d'abord que toutes les relations par lesquelles on détermine les fonctions 60, ^i, ^2? ••• peuvent être comprises dans une formule unique à l'aide de l'artifice suivant.
t désignant une variable auxiliaire, considérons la fonction '^ de tj de i^ et de i^ qui serait définie par le développement suivant
(60) <^{t,u,v)=bo-i-bit + b2f^-{-...-hbat"-h...>
Multiplions maintenant les équations (53) qui servent de définition à 6< , 60, . . ., bnj respectivement par t, t-, . . ., t^j et ajoutons-les. En désignant par â?cp la différentielle de <p où ^ serait traitée comme une constante, on effectuera, aisément la sommation de tous les termes semblables, ce qui conduira à l'équation
c?(p — d^ = t^- do -hiot dB^2ot^ doL
— ( p2 + e2a)jf d^Y — t^e-^^ cp^ d^ -{- P (^^-^)*^Y>
que l'on peut ordonner comme il suit
(61) {i--t^)d^ = d^—te^<=td-{-^it(dt — ^d^{—tdoL)o-ht(d-{—te-^<^d^)(^^.
Celte unique équation tient lieu de toutes celles qui sont comprises dans le Tableau (53) : il sujjîradonc de démontrer qu'il en existe une solution o, développahle suivant les puissances entières et positives de t, pour établir en une fois que tous lesseconds membres des formules (5^) sont bien dés différentielles exactes. " ,
Or, si dans l'équation précédente on remplace c/cp par sa valeur
— ^ du -h ~~-dç, Ou ôv
et si l'on égale à zéro les coefficients de du^ dç dans les deux membres, on a deux équations de Riccati auxquelles on pourra appliquer les méthodes données au n° 48 et l'on reconnaîtra que, pour elles, les conditions d'intégrabilité sont vérifiées. A la vérité, les calculs par lesquels on établit ce résultat sont assez compliqués; on pourrait les présenter sous une forme élégante. Mais le fait essentiel que nous avons en vue sera établi plus loin (n** 829) par une simple transformation de l'équation (6i).
Si l'on considérait de même la fonction ^ définie par le développement
(C2) ^{t, U, Ç) -— Cq^ Cit -\- C2t'^'. . . ,
on verrait qu'elle doit satisfaire à l'équation
(63) (i-t'')d'^ = d^(-te-^^df^^2ti^d^( — dt-htdoL)'\>-ht(d'^ — te''''^d^()'h''
toute semblable à celle qui détermine cp. Nous allons montrer tout d'abord que les équations en o et t!> se ramènent l'une à l'autre. Si on les ajoute, en effet, après avoir multiplié la première par ^ et la seconde par cp, on trouve
(i — t^)d{o^) = (d-{ — te-^^d'^)o{i-\-to^)-h(d'^ — te^'^ d^)^{i-+- to^),
équation qui est identiquement vérifiée quand on fait
On passe donc de l'une à l'autre des deux équations par la substitution
Mais, pour bien comprendre la nature de cette relation, il faut remarquer que Téquation en cp a deux espèces bien distinctes de solutions. Les unes sont développables suivant les puissance^ positives de t et leur développement
cp = ^0 + ^1 ^ -+- ^2 ^^ -+- • • •
donnera, avec les constantes arbitraires que comportent les quadratures, les fonctions que nous avons désignées par 60, ^1, ^2, ^ • • • Les autres ont un développement
Ç)=— -+-Ai-t-A2^H-...,
qui commence au terme en -? et ce sont celles-là seulement qu'il
faudra porter dans la formule de substitution (64) pour obtenir la
solution ^
tjy = Y + Ci if -+- . . . ,
développable suivant les puissances de t.
825, Une fois établie l'existence des fonctions ht et c/, voyons comment se transforment ces fonctions lorsqu'on applique la méthode de transformation de M. Bianchi. La première transformation est définie par la formule
col = Be--a.
Elle substitue 9' à 0 ; les nouvelles valeurs a', P', y', s' de a, [i, y, e sont définies par les équations suivantes
(65) -^■=p^e-«' P-prt' ' = -'' ^'=*'-
Si l'on désigne par cp' la nouvelle valeur de cp, on peut donc, grâce aux formules précédentes, écrire l'équation en cp' qui remplace l'équation en cp (61). Un calcul, que nous omettons, montre que l'on passe de l'une de ces équations à l'autre par la substitution
(66) cp'-P'=ç)'H-
p2^e2a cp — 3
Si donc on tient compte des formules (64), on obtiendra les relations suivantes
entre les nouvelles et les anciennes valeurs de cp et de ^. Ces relations ont été écrites sous une forme telle qu'elles fournissent, comme cela doit être, pour cp' et ']>' des fonctions développables, comme cp et 'h, suivant les puissances positives de t.
Ce point une fois reconnu, si l'on chassie les dénominateurs et si l'on égale dans les deux membres les coefficients des mêmes puissances de t^ on obtient les formules de récurrence (56), (5^) données plus haut et qui permettent de calculer les nouvelles valeurs 6^, c'^ des fonctions bi^ Ci. On peut encore employer les formules (67) sans chasser les dénominateurs et effectuer le développement des seconds membres suivant les puissances de t pour obtenir sans intermédiaire les expressions de 6|, c^.
En résumant tout ce qui précède, nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :
Toutes les fois que Von saura déterminer la solution la plus générale de Vuae des équations différentielles (61) ou (6'3), V application de la méthode de transformation de M, Blanchi n^ exigera plus que des calculs algébriques sans aucune quadrature.
