Comme application partons de la solution
du système (4^). On a ici
a = u, d'^ — o, c/y = 0, <Yî = dv.
Les équations en cp et ^ se présentent sous la forme suivante
^\ — t'^)do— it^{dv — tdu), {i — t^)d^ = — 2t^(dç — tdu),
DliVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 4G5
d'où l'on déduira sans peine leurs intégrales, qui seront
V — lU i> — tlt
(68) 9 =.7(0^"'^^^, 4/ = cr,(0e~''^^=^,
a- et (7, désignant deux fonctions quelconques, développables suivant les puissances positives de t, dont les coefficients donneront les constantes qui doivent figurer dans bn et dans Cn- La première solution dérivée est fournie par les formules
lï P = hi, col- = hie-",
où hi désigne une constante. Elle correspond à la pseudosphère. On voit ainsi que toutes les surfaces dérivées de la pseudosphère suivant la méthode de M. Bianchi s'obtiendront sans aucune intégration.
827. Les équations de Riccati à deux variables indépendantes en cp et en <J; dont l'intégration ramène à des calculs algébriques l'application de la méthode de M. Bianchi contiennent un paramètre auxiliaire t. Nous avons vu qu'elles se réduisent l'une à l'autre par l'emploi de la formule de substitution
Nous allons maintenant montrer qu'on peut les rattacher l'une et l'autre à un système analogue contenant un paramètre arbitraire et déjà rencontré dans cette théorie au n'* 808.
Écrit avec les variables a et [d qui, au n" 808, désignaient les paramètres des lignes asymptotiqnes, ce système prenait la forme
T — h -— = ri: sin(0 — (o).
où l'on avait
(70) al) = I, a = - — , p =
Ecrit avec les variables a et r, il deviendra donc le suivant
— sinO cosw H- sinto cosO,
— sinO cosœ sinco cos'i,
<)0 au
(ko
Ov
dû
identique, aux nolalions près, à celui que nous avons rencontré dans l'étude de la transformation de M. Bàeklund (p. 4^4) ^^ il ne pourra avoir lieu (n'* 808) qu'entre deux solutions de l'équation
&^ M ()2 tO
— - — • — - = sinto coso).
Cela, posé, supposons que Ton connaisse une fonction w solution de cette équation aux dérivées partielles, c'est-à-dire que l'on connaisse l'élément linéaire d'une surface (S) à courbure constante rapportée à ses lignes de courbure. Nous allons montrer que l'intégration complète du système (71), c'est-à-dire la détermination de la fonction la plus générale B qui j satisfait pour chaque système de valeurs de a et de />, entraîne la détermination saris quadrature des neuf cosinus qui fixent la position du trièdre (T), non seulement pour la surface (S), mais pour toutes celles qui s'en déduisent par l'application combinée de la transformation de M. Lie (n'* 774) et de celle de M. Bianclii, ou si l'on veut encore par l'unique application de la méthode de transformation de M. Backlund (n" 809).
Considérons d'abord la surface (S); la détermination des neuf cosinus dont dépend la position du trièdre (T) relatif à cette surface exige l'intégration du système (-) [p. 3^8] qu'on obtient immédiatement en faisant dans le système (^i)
et que Ton saura par suite intégrer, d'après l'hypothèse. La détermination de la surface (S) exigera donc seulement Irois quadratures. D'autre part, la détermination de la surface (S,), qui dérive de (S) par la première application de la méthode de Bianchi, exige l'intégration du même système (71) avec les valeurs égales à l'unité de a et de h. Le système étant supposé intégrable pour toutes les valeurs de a et de b^ on saura donc déterminer (S<).
Comme, d'ailleurs, il est évident, d'après les développements du n° 808, que le système (71) conserve sa forme, mais avec d'autres ^aleurs des constantes a cl b, quand on applique la transformation de M. Lie, il est clair que la p^'oposition s'étend à toutes les surfaces qui dérivent de (S) soil parla transformation
DÉVELOI*PÉMENTS ANALYTIQUES. 467
de M. Lie soit par une première application de la méthode de M. Bianchi ou de celle de M. Backlund.
828. Mais on peut la compléter encore en montrant que l'on pourra, sans aucune quadrature, poursuivre l'application de la méthode de M. Bianchi, non seulement à la surface (S,), mais à toutes celles qui en dérivent par la transformation de M. Lie. Cette nouvelle proposition se traduit analytiquement par le théorème suivant :
Soient ^ et tù deux solutions connues'du système (71). Considérons les deux systèmes suivants
d6i do) «iH-^i . A bi — «1 . ■
1 — :- = — smOiCoswH smtocosBi,
au dv 1 1
^61 dta ai — ôi . û ai-y-bi . ^
-T h -r— = sinOi coso) smwcosOi,
dv du 2 2
ÔQ <)a>i a^-hbi . ^ bi—ai. ^
-r ! — r— ^ — smecoswiH sintoiCOsG,
du dv 2 2
où Ton a toujours
à^ diiix «1 — bx . f, ai-hbi . ^
^ — h -r- = — ^ sm0cos(i)i sina)iCos6,
dv du 2 2
a,èt
et où 64 et (x>i sont deux inconnues à déterminer. On passera du premier au second par la substitution
(1)1 — 0) Oi — 6 «1 — a
tans—^ tane-- = >
° 2 ° 2 ai-f-a
de sorte que, si Von sait intégrer le premier y on saura aussi intégrer le second.
Le lecteur vérifiera ce résultat. Nous nous contenterons de remarquer que le théorème n'est même pas en défaut pour les valeurs
de ai. Supposons, par exemple, a^ = a. Alors il y a une infinité de solutions du système (72), qui tendent vers ô quand a^ tend vers a. Sort, en effet,
la solution générale du système (72) où G désigne la constante arbitraire choisie de telle manière que, pour af=a et C=o,
on ait
Alors on pourra prendre pour C une fonction de a^
G = K(aj — a)-T- Ki(ai— a)2-f-...,
et, si on lève l'indétermination dans la formule
(a -f- <2, ) tang = -
lang-—— -
on aura
a tang
I vil- -^11)
le dénominateur étant calculé pour les valeurs o et a de C et de a, .
Une méthode analogue s'appliquerait à l'hypothèse a^=: — a.
On j)eut donc énoncer le théorème d'Analyse suivant :
Considérons le système des relations (71) qui ne peuvent subsister qu'entre deux solutions io et 9 de Inéquation aux dérivées partielles (1). En y considérant successivement tù et 8 comme inconnues et changeant ^ si Con veut, chaque fois les valeurs des constantes a et b, on peut faire dériver de toute solution iù de V équation (i) une infinité d^ autres solutions. Si, quedcc que soient les constantes a et b, la première application de la m.éthode n'exige aucune quadrature, il en sera de même de toutes les applications suivantes.
Géométriquement, nous avons l'énoncé suivant :
Si Von sait déterminer par de simples quadratures une surface à courbure constante (S) ainsi que toutes celles qui en dérivent par V application de la transformation de M. Lie (n"774), V application successive des méthodes de transformation de MM. Blanchi, Bàcklund et Lie n'exigera aucune quadrature nouvelle.
Il ne sera pas inutile d'ajouter ici la remarque suivante, qui in-
h EVE h O P P E M E N T S A \ A L V T I Q l. i: S. 4(h)
cliquera comment on a élë conduit à prévoir hi proposition nue nous venons d'énoncer et de démontrer.
Le système (71), identique au système (69), est celui que nous avons rencontré au n"* 809 lorsque nous avons défini la transformation deM.Bâcklund. Nous avons vu que, si l'on mène par chaque point d'une surface à courbure constante (S) et dans le plan tangent à cette surface une droite {(/) faisant rant;le 0 avec l'axe des X du trièdre (T) attaché à (S) et si Ton veut que cette droite engendre une congruence pour laquelle le segment focal soit constant et égal à m, l'angle des plans focaux étant aussi constant et
admettant pour cotangente — ? il sera nécessaire et suffisant que 0
satisfasse au système (71), où ^ et /> recevront les valeurs suivantes
m in
la relation
(75) ah — i entraînant la suivante
entre X et m. Mais il importe de remarquer qu'il existe deux systèmes de valeurs de a et de b satisfaisant à la relation (75) et auxquels ne correspond aucune valeur finie de 1 et de m. On a, en effet,
