LIVRE VII. — CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES

plan fixe. D'ailleurs le système qui détermine 8 devient identique, comme nous l'avons déjà remarqué, à celui dont dépend la détermination du Irièdre (T) attaché à la surface (S). Ainsi ce système j)aiticulier (7), donné à la page 878, correspond à ce que nous appellerons un cas limite de la transformation de M. Bàcklund. Ce point étant admis, supposons qu'on fasse dériver de (S) une surface (S^) par la méthode de M. Bianchi, ce qui exige l'intégration du système (71), où a et 6 seraient remplacés par l'unité. Si l'on sait déterminer le trièdre (T) attaché à (S), on saura aussi déterminer le trièdre (T) attaché à (S<); cela résulte de la définition même de la transformation. En d'autres termes, si l'on sait appliquer à (S) le cas limite de la transformation de M. Bàcklund, on saura l'appliquer aussi à (84). Pour vérifier par l'analyse celte proposition, il était naturel de substituer à la transformation limite une transformation quelconque, ce qui devait nous conduire au théorème général qui fait l'objet de ce numéro.

829. Nous n'avons plus qu'un mot à ajouter pour rattacher ces résultats à ceux qui concernent les fonctions cp et ^. Si l'on effectue dans l'équation en cp la substitution

o = e"-*- col

où 9 est la fonction satisfaisant aux équations (46) et, si l'on pose

elle prendra la forme suivante

t^tO , ÔLÙ ^ Cl . ,^ ^,- . ^ b . ,^ ., , , ,

tm^ H- --- dv -i- —-du = - sin (0i — ti))(du -h dv) H — sin (0i -♦- iii)(du — ^'. ). au dv o. ^ '^ ' 2 ^

En égalant les coefficients de du et de d\^ dans les deux membres, on retrouve les équations

h -,- = -sin(0i — to) H — sin(6i-i- to),

du âi> -2 ^ ^ 2 ^

dbi ôtii Ci . ,c. N l* • tt. \

~ -H -r- = -sin(Oi — (o) sin(6iH-u)),

ov du 2 2

c'est-à-dire le système (71) où 8 serait remplacé par 84.