CHAPITRE XIV

RAPPROCHEMENTS ET ANALOGIES ENTRR LES SURFACES A COURBURE CONSTANTE ET LES SURFACES MINIMA.

Recherche des surfaces (M) telles que deux familles de lignes conjuguées aient pour tangentes des droites qui soient, en même temps, tangentes à une même surface du second degré. — Quand celte quadrique se réduit au cercle de l'infini, on doit retrouver les surfaces minima; mais, quand elle est de la classe la plus générale, la détermination des surfaces cherchées se ramène à la même équation aux dérivées partielles que celle dés surfaces à courbure constante. — Signification géométrique des résultats précédents; généralisation des notions de distance et d'angle due à M. Cayley. — Relation avec les définitions données au Livre V, Chapitre VIII. — Les lignes géodésiques dans la Géométrie de M. Cayley. — Leur plan osculateur est toujours normal à îa surface sur laquelle elles sont tracées. — Les lignes les plus courtes dans l'espace sont encore des lignes droiles. — Généi^alisation des principales propriétés des lignes de courbure. — Formules analogues à celles d'Olinde Rodrigues et relatives aux lignes de courbure généralisées. — Les surfaces (M) étudiées au début de ce Chapitre onl, dans la Géométrie Cayleyenne, leurs rayons de courbure égaux et de signes contraires; elles sont les seules qui jouissent de Cette propriété. — Elles se rapprochent encore des surfaces minima par la propriété ire rendre minimum la portion de l'aire cayleyenne comprise dans un contoui^. donné. — Étude d'une transformation qui permet de transportera la Géométrie euclidienne toute relation entre les angles dans la Géométrie de M. Cayley. — Cette transformation fait correspondre une sphère à un plan et un cercle à une droite. — Généralisation delà théorie des tangentes conjuguées de Dupin. — Propriétés diverses des surfaces (M') qui dérivent des surfaces (M) par la transformation précédente.

830. Dans les Chapitres précédents nous avons fait connaître Jes principaux résultats acquis à la Science en ce qui concerne les surfaces à courbure constante. Nous aurons encore à revenir sur ce sujet dans le Livre suivant^ nous allons terminer celuî-ci et la troisième Partie de cet Ouvrage en indiquant quelques propositions qui établissent certaines analogies, certains rapports de voisinage entre les surfaces à courbure constante et les surfaces minima.

Nous avons vu (n*' 186) que les surfaces minima peuvent être caractérisées par la propriété suivante : Les deux tangentes de longueur nulle menées par chaque point de la surf ace doivent être deux tangentes conjuguées. Il est naturel d'étendre un peu cette définition et de chercher les surfaces telles que, si, dans chacun de leurs plans tangents et par le point de contact de ce plan, on mène les deux tangentes à une surface fixe du second degré, ces deux tangentes soient conjuguées relativement à la surface cherchée. Quand la surface du second degré ou quadrique se réduira au cercle de l'infini, là définition précédente coïncidera avec celle des surfaces minima. Si la quadrique se réduit à une conique, la surface cherchée deviendra la transformée homographique d'une surface minima. Si la quadrique (Q) se réduit à un cône, la surface sera la corrélative d'une surface minima. Le seul cas réellement nouveau à envisager est donc celui oij la quadrique appartient à la classe la plus générale ; nous la désignerons, pour abréger, par la lettre (Q) et les surfaces cherchées seront appelées ici les surfaces (M).