Soit alors

l'équation de la quadrique (Q) rapportée à un tétraèdre conjugué quelconque et considérons, sur la surface (M) cherchée, les deux familles de lignes conjuguées dont les tangentes sont en même temps tangentes à la quadrique. Ces deux familles sont distinctes si nous écartons le cas exceptionnel où la surface (M) se réduirait à une développable circonscrite à la quadrique (Q) ; nous pourrons donc prendre pour variables indépendantes leurs paramètres a jet p. Si l'on mène par un point (^, y^ z^ t) de (M) la tangente définie par les valeurs dx^ dy^ dz, dt des différentielles, la condition pour que cette droite soit aussi tangente à la quadrique s'exprime par l'équation suivante

\ - {xdx-\- y dy -\- zdz ^ t dt)'^ = o.

Supposons qu'on ait multiplié'les coordonnées homogènes de

chaque point par une fonction telle que l'on ait constamment

(3) ^'■i4-jK--+-32+^2=r,

la condition précédente se simplifiera et deviendra

( 4 ) <r/^2 -+- dy""^ dz^'-\- dr-=o.

On exprimera donc que les tangentes aux lignes de paramètres a et p sont aussi tangentes à la quadrique en écrivant les deux équations

'dxy /OyY /ôzy [01 Y

/dxY /OvY /àzY /àty

Pour exprimer de plus que les lignes de paramètres a. et p sont conjuguées, il faudra écrire que x^y, z^ t sont quatre solutions particulières d'une équation linéaire de la forme