A- + B-^ 4- GO

où A, B, G désignent des fonctions inconnues de a et de |^. Noiis allons montrer en premier lieu que A et B sont nulles.

Pour cela, multiplions l'équation précédente par -r- et faisons la

somme des quatre équations que l'on obtient en y remplaçant B par XjjKj ^7 t successivement. Gomme on a, d'après les équations

(5)et(3),

dx ô'^x ày rpy ôz <nz Ot ù'^ t

dx ày àz ùt

d'x -^ ôy. O'JL ôy. '

il viendra

r, ( àx ùx ôy Oy Oz Oz Ot Ot \Jl ^~^ Tx ^ '^ &x T^^ ~ô'%^

c'est-à-dire, puisque le coefficient de B ne peut être nul,

On aura de même

en sorte que la question est tout entière ramenée à la suivante : Trouver une équation linéaire à invariants égaux

dont quatre solutions particulières satisfassent à la relation

(8) ;r^-+-JK'^-^^2^2^ ,.

Sous cette forme le problème est susceptible d'une solution élégante.

832. Comme on trouve, en différentiant deux fois l'équation (8), dx dx dy dy dz dz dt dl

^ ~ dâ ^p ~ ^ "^ " ^ ^ "" ^ ^ V

on aura, en remplaçant les dérivées secondes par leurs valeurs déduites de l'équation (7),

le signe S désignant une somme étendue aux quatre coordonnées. En tenant toujours compte de ce que x^ y^ 5, t sont solutions particulières de l'équation (7), on déduit de là sans difficulté les équations suivantes :

dont nous aurons à faire usage plus loin. Posons maintenant

On aura

àj^ Ç\ d^ d^x r\ d^x à

et de même

RAPI'ROCHEJIENTS I;T AXALOiilKS. 475

R Cl K, dépendent donc rcspeclivemcnl des scalcs variables ceci [i et l'on peut écrire

11 faiil écarter riiypotlièse où Tune de ces fonctions serait nulle, le lecteur s'en assurera aisément. On j^ourra alors, en remplaçant les vaiiabics v. cl (B par des foiictions convenablement clioisies de ces vai-iablcs, réduire R et R| à l'unité. Nous supposerons donc, dans la suite,

(i'> ) K = I, Kl — [.

Désignons maintenant par u, r, (v, y;^ les coordonnées tangentielles, coordonnées dont les rapports mutuels sont déterminés ])ar les trois équations

On peut évidemment toujours trouver quatre fonctions A, A,, H, D telles que l'on ait

ù''''X . ùx . dx ^^ ^

et les équations analogues obtenues en remplaçant x et u par j^ et v^ z et (P, t el p respectivement. Multiplions l'équation précédente par œ et ajoutons-la aux trois équations analogues relatives aux autres coordonnées. En tenant compte des identités déjà signalées, on trouvera

Opérant de même, après avoir multiplié par — » on aurait

dx Multipliant maintenant par -^ et remarquant que l'on a

Sôx d-x <) r\ dx dx ùC on trouve

476 LIVRE Vil. — CHAPITRE XIV.

Ij'éqiiation (i4) se réduit donc à la forme très simpltî

ù'-x I âC dx (I )) -.-, = -^ — —■ -h Dm.

Si l'on assujettit en outre les coordonnées langentielles à vérifier aussi la relation

(16) ui -\- ci -^ w'^ ^ p"^ =z \ ^

l'élévation au carré de l'équation précédente et son addition aux équations analogues nous donneront la condition

En remplaçant, s'il est nécessaire, a par /a, on pourra toujours prendre 1) =: i , ce qui donnera l'équation

à laquelle on peut joindre la suivante, toute semblable :

ô'^T I ôC dx

ces équations étant encore vérifiées quand on y remplace x Qi u par jK et v^ z et w, t et/?.

833. Si on les retranche membre à membre, on reconnaîtra que les quatre coordonnées ponctuelles satisfont à l'équation linéaire aux dérivées partielles

à-'-x d^x I ()G (J3? I. dC dx ^'^^ da^' d^i C^da da "^ G dp" â^ ~ ^'

en même temps qu'à l'équation (7), et il est clair que Ja principale difficulté du problème se réduit à la détermination de C. Or, si

l'on multiplie l'équation précédente par -^ et qu'on l'ajoute aux

équations analogues, on trouvera

Sd^x d^x i dC ndx d^x

dfi 'd'x^ " ^ ~ C d^ Od^ df^ ~^'

OU, en icnant compte des relations (lo).

->< à^x à^.v î dC dC

D'autre paît, la première des relations (lo) dC Ç\dx d'^x

nous donne, en différentiant par rapport à p,

()2C n d'^x d^-x n àx ô^x

d^i: n <Px ô^-x r\ àx <Px

Remarquons que l'on a

^'^ =Uc.) = c^^J^

En portant dans l'équation précédente cette valeur de la dérivée troisième de x, il viendra donc

à'- C rj â^ ô^x

de sorte que l'équation (20) se transformera dans la suivante

ou encore

Telle est l'équation aux dérivées partielles qui déterminera C.

834. Une fois connue C, les coordonnées ^,jKî -^j ^ seront définies par les équations aux dérivées partielles (7) et (19), qui ne peuvent évidemment admettre que des solutions contenant des constantes arbitraires. A chaque valeur de G correspondent une infinité de surfaces (M); mais toutes ces surfaces se transforment les unes dans les autres par la substitution homographique qui conserve la quadrique (Q), c'est-à-dire la forme quadratique

Si l'on remplace dans l'équation (21) G par e-'^, elle prend la D. - III. 3i

forme

(22) __ = sm2a>,

qui ne diffère que par les notations de celle dant V intégration détermine les surfaces à courbure constante.

835. Quand on aura déterminé x^y^ z^ ^, le§ formules {i^)^ovl (i8) feront connaître les coordonnées tangentielles, c'est-à-dire les coordonnées ponctuelles du pôle du plan tangent par rapport à la qimdrique (Q). La Géométrie nous montre immédiatement que la polaire réciproque de la surface cherchée (M) par rapporta (Q) donne une seconde solution du problème que nous avons en vue. En effet, dans la transformation par polaires réciproques, à des tangentes conjuguées c/e (M), correspondent des tangentes con-' juguées de la polaire-réciproque ; et, à des tangentes de (Q), correspondent encore des tangentes de {Ç^).

On peut vérifier cette proposition par l'Analjse de la manière suivante :

Diiférentions Féquation (17) par rapport à P; il viendra

du d^x d / i dC dx\

d^ ~ dc^dfi dp \G da. da)

ou. en tenant compte des équations (7) et (21),

d^\ogC\dx I à âad'^ JdoL ~ C d

On trouvera de même

du \ dx

et

I d^x I dC dx ~ G dps G* ap dp

ou, en tenant compte de l'équation (18),

On voit bien ainsi que la polaire réciproque de (M) est une sur-

face de même définition que (M), qui correspond à celte solution de Téqualion (21) que l'on obtient en changeant G en p»

836. Potrr indiquer d'une manière complète la signification des résultats précédents, nous allons rappeler la généralisation des notions d'angle et de distance qui est due a M. Cajlej (* ).

Cette généralisation a pour point de départ la substitution d'une quadrique quelconque (Q) au cercle de l'infini.

Etant donnés deux points dans l'espace M, M^appelons distance de ces deux points la fonction S définie par l'équation

R désignant le rapport anharmoniqup de M, M^ et des deux points où la droite MM' rencontre la quadrique (Q). Si x^ y, 2, i\ x\ y\ 3', t' désignent les coordonnées des deux points et si la quadrique (Q) est définie par l'équation homogène

on aura

,df ,df ,df ,df , ^. ^ \ dx -^ dy âz dt

La distance de deux points pourra donc être considérée comme nulle quand ils seront sur une même tangente à la quadrique (Q) et seulement dans ce cas.

Si la quadrique (Q) se réduit à une conique, la distance de deux points quelconques devient nulle dans tous les cas, d'après la définition même ; mais on peut employer l'artifice suivant.

Supposons, pour fixer les idées, que l'on ait pris l'équation de

(') Voir le Mémoire intitulé:^ sixth Memoir upon Quantics {Philosophical Transactions, vol. CXLIX, p. 61-90; iSSp) et the Collected Mathematical Papers of A. Cayley, vol. II, p. 56r. On pourra consulter aussi un Mémoire de M. F. Klein Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Géométrie inséré en 1871 au tome IV des Mathematische Annalen, p. 578-625.

En ce qui concerne la généralisation des notions de lignes de courbure, focales, normales, etc., consulter l'Ouvrage déjà cité Mémoire sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques, Paris, Gautliier-Villars; 1878.

48o LIVRE VII. — CHAPITRE XIV.

la qiiadrlque sous la forme

(•29) ar2-}-j2^^2 R2r-=0,

OU, si l'on veut, que la quadrique (Q) rapportée à des axes rectangulaires soit une sphère de rayon R. La formule (28) nous donnera

R2 — xu, — y y' — zz'

coso

V/^R2— a: — JK^— .s2)(R2^'2 y2^'2)

en faisant t z=^ t' =^ i.

Si R devient infini, on trouve

cos 8=1,

et l'on peut prendre 0 = o. Mais posons

3'2 (3o) COS0 = I-|--^ 8'2=2R2(C0S8 — I),

et développons en série, suivant les puissances de ^r, il viendra

(3i) ^'2^ i^oc - x'Y-^- {y - yy^ {z - z'y-,

les termes négligés contenant tous -^ en facteur. Nous retrouvons

à la limite l'expression habituelle de la distance de deux points. De même, étant donnés deux plans, appelons angle de ces plans la fonction V définie par la formule

où Si. désigne le rapport anharmonique des deux plans donnés e|^ des deux plans tangents menés par leur intersection à la quadrique (Q). Si

est l'équation tangentielle de cette quadrique et si w, ^, «^, /?; u\ v\ w', /)' désignent les coordonnées tangentielles des deux plans donnés, leur angle sera défini par la formule

(34) cosA/ /" ■"' "^ ^P

Cette déiioition se réduit, sans qu'il soit nécessaire de faire aucune

transformation, à la définitiori ordinaire-quand la qiiadriqiie (Q) se transforme da:ns le cercle de l'infini. Il est clajr que, dans la Géométrie de M. Cayley, l'angle de denx plans est égal à la distance de leurs pôles par rapport à la qnadriqne (Q).

On appellera de même angle de deux droites qui se coupent la fonction V définie toujours par l'équation (Sa), où Jldésignera le rapport anharmonique des deux droites et des deux tangentes menées par leur point d'intersection et dans leur plan à la quadrique (Q).

Deux plans seront perpendiculaires quand l'un contiendra le pôle de l'autre. Deux droites seront perpendiculaires quand l'une contiendra le pôle d'un plan passant par l'autre.

Une droite sera perpendiculaire à un plan quand elle sera per pendiculaire à toutes les droites passant par son pied dans le plan. Elle passera alors par le pôle du plan.

L'angle d'une droite et d'un plan sera le complément de l'angle de la droite et de la perpendiculaire menée au plan par le pied de cette droite dans le plan.

837. Une fois définies les notions d'angle et de distance, les autres définitions de la Géométrie métrique ordinaire subsistenr et peuvent être introduites sans aucune difficulté.

Cherchons, par exemple, l'élément linéaire de l'espace et, pour cela, remplaçons dans la formule (28) qui donne la distance de deux points x' ^y\ z\ t' par x -h dx^ y 4- dy^ z + dz,, t H- dt. En développant en série les deux, membres, nous trouverons

COSÔ = I h . . .,

(35) ds'^

f{dx,dy,dz,dt) i \dx Oy -^ dz dt J

TÏ^TyT^Tt) 4 p{x,y,z,t)

Si, en particulier, on suppose que les coordonnées homogènes aient été multipliées par une fonction telle que l'on ait constamment

(36) fix,y,z,t) = i,

on aura

df=o,

4o2 LIVRE VII. — CHAPITRE XIV.

et la formule (35) se réduira à la suivante (37.) ds'^ =f{clx, dy, dz, dt).

838. Ces formules conduisent à différentes conséquences. Nous remarquerons d'abord que, si l'on considère différentes directions émanant d'un même point, les angles de ces directions [relativement à la quadrique (Q)] sont ceux que nous avons définis au n° 572 et que nous avons rattachés à la considération purement analytique d'upe forme quadratique. Cette forme quadratique est iei celle qui est définie par l'équation (35) ou par l'équation (37) en tenant compte de la relation (36).

Remarquons en effet que, si nous considérons seulement les angles des droites et des plans qui passent par un point déterminé M, on peut, sans changer la \aleur de ces angles, substituer dans leur définition à la quadrique (Q) toute autre quadrique inscrite à celle-là suivant la conique (C) d'intersection par le plan polaire du point M ; en particulier, on peut prendre cette conique (C) elle-même.

Si l'on a rapporté la surface à un tétraèdre conjugué ayant Vxxn de ses sommets en M, on pourra réduire son équation à la forme

simple

le point M ayant pour coordonnées

Ceh posé, considérons deux directions partant du point M et définies par les caractéristiques û^ et 8; on aura, en assujettissant les coordonnées à vérifier toujours l'équation de condition (36),

dt =^^t =^ o,

et l'angle {ds^ Zs) de ces deux directions sera donné parla formule

( 38 ) ds 85 cos{ ds^ ùs) — dx^x ^ dy ly -\- dz hz

loiTt à fait identique à la formule ordinaire. Cela résulte immédiatement de la remarque précédente, puisque nous pouvons, dans le calcul de l'angle, substituer à la quadrique (Q) la conique définie

par les équations

conique qui, avec les notations cartésiennes, deviendrait, identique au cercle de l'infini. Or l'angle {ds, 85), défini par la formule (38), est bien identique à l'angle de deux directions tel que nous l'avons défini au n*' 572, relativenient à l'une ou l'autre des formes quadratiques (35) ou (37). Gela se vérifie presque immédiatement.

839. La formule (3^) va nous permettre encore de généraliser la propriété des lignes géodésiques d'une surface et de montrer que, dans la Géométrie de M. Gajley comme dans la Géométrie ordinaire, le plan osculateur d'une ligne géodésique est normal à la surface sur laquelle elle est tracée.

Soit, en effet, v

(39) e(a7,JK,>5, 0 = 0

l'équation homogène d'une surface (0) dont on veut déterminer les lignes géodésiques. Il faudra trouver le minimum de l'intégrale

Jds,

où ds est donnée par l'une des formules (35) ou (37). En supposant que x^ y, Zy t vérifient toujours la relation (36), ce qui est évidemment permis, l'application des méthodes du Calcul des variations conduit aux équations différentielles suivantes.

Désignons par x' , y, z\ t' ; x", y" ^ z" ^ t" les dérivées premières et secondes de Xy y, Zj t, considérées comme fonctions de s et posons, pour abréger,

(40) f = f{x,y,Jè,t), f==f{x\y\z\t'), ^ f"=f{x\y",z'',f).

Les équations différentielles cherchées sont

dx" dx dx

àf ày'-

ày

àf àz" ~

dz

de ^Tz'

'fiât"

àt ^

Les coordonnées u, (^, w, p du plan osculateur à la ligne géodésique sont évidemment définies par les trois équations

Va;r.= o, Vwa;' = o, ^ux" = o.

Les coordonnées X, Y, Z, T du pôle de ce plan s'obtiendront en i*emplaçant dans les équations précédentes m, v^ w, p respectivement par les dérivées relatives à X, Y,. Z, T de la fonction /(X, Y, Z, T), ce qui donnera, d'après une identité bien connue, les équations

^xf^o, sxf,=.o, Qxf:=o.

Cela posé, multiplions les équations (4i) respectivement par X, Y, Z, T et ajoutons-les. En tenant compte des relations précédentes, nous aurons

et, par suite, [jl n'étant pas nul (*),

Cette équation exprime que le pôle du plan osculateur se trouve dans le plan tangent à la surface (0). En d'autres termes, le plan osculateur de la ligne géodésique est perpendiculaire au plan ta»v^ent, les angles étant évalués par rapport à la quadrique fondamentale.

Il résulte de ce théorème que la ligne la plus courte entre deux points de l'espace est, dans la Géométrie de M. Cayley,.la ligne droite qui joint ces deux-points. Car la ligne la plus courte réunissant deux points de l'espace sera géodésique sur toutes les sur-

(') Si jx était nul, les équations (40 ne dépendraient pas de 0 et fee réduiraient aux suivantes