X -\- x" — O^ y -t- y = 0, Z-\- z" — Oy t ->r t" — O

qui définissent la ligne la plus courte dans l'espace. Cette ligne la plus courte est une droite; nous allons le signaler dans un instant.

faces qui la contiendront et, par conséquent, devra avoir son plan osculateur indéterminé. Ainsi

Dans la Géométrie de M, Cayley, les lignes droites sont les lignes les plus courtes entre deux points.

On suppose toutefois qu'en allant d'un point à l'autre on ne rencontre pas la surface (Q), car alors il y aurait discontinuité, la distance de deux points devenant infinie quand l'un d'eux se trouve sur la quadrique fondamentale. Ainsi les deux points <loivent être à l'intérieur ou à l'extérieur de la surface (Q).

Il suit du théorème précédent qu'on saura déterminer les lignes géodésiques tracées sur toute surface (S) du second degré. Car la surface développable qui a son arête de rebroussement sur (S) et est en même temps tangente à une quadrique quelconque (Q')

inscrite dans la développable (S), (Q)| aura précisément pour arête

de rebroussement une ligne géodésique de (S). Cela résulte des propriétés bien connues des faisceaux tangentiels de quadriques. Le développement des calculs est identique à celui qui concerne les lignes géodésiques dans la Géométrie ordir/aii-e, comme le montre immédiatement la remarque suivante. Les lignes géodésiques d'une quadrique (S) conservent encore leur propriété d'être géodésiques lorsqu'on substitue à la quadrique fondamentale (Q)

toute autre quadrique inscrite dans la développable (S), (Q) et,

en particulier, l'une des lignes doubles de cette développable; et, par conséquent, pour les transformer en lignes géodésiques orû^i- /ia/r^5, il suffit d'effectuer une transformation homographique qui remplace cette ligne double par le cercle de l'infini.

840. Dans la Géométrie de M, Cajley les lignes de courbure peuvent être définies de la manière suivante. Ce sont les courbes telles que les normales à la surface en tous leurs points engendrent une surface développable. Les normales sont les droites qui joignent le point de contact du plan tangent au pôle de ce plan par rapport à la quadrique fondamentale. Mai« ici le principe de dualité exige que nous introduisions une autre droite que nous appellerons seconde normale et qui sera l'intersection du plan tangent avec le plan polaire du point de contact. La première et la seconde

normale sont des droites polaires l'une de l'autre. D'après cela, il est clair que, si les premières normales engendrent une surface développable, il en est de même des secondes normales et vice versa.

Nous allons montrer qu'il y a sur toute surface une double famille de lignes de courbure et que, comme dans la Géométrie ordinaire, ces deux familles forment un réseau conjugué.

Soient, en effet, M un point quelconque d'une surface (S) et P le pôle de son plan tangent, pôle qui correspond à M sur la surface (2') polaire réciproque de (S); soient MP, M' P^eux positions infiniment voisines de la droite MP qui engendrent un élément de développable. Pour que l'élément de surface réglée (MP, M'P') soit développable, il faut et il suffît que les droites MM', PP' soient dans un même plan. Mais alors il en sera de même des polaires de ces droites, qui sont, l'une la tangente conjuguée de PP' en P relativement à (S^), l'autre la tangente conjuguée de MM' en M relativement à (S). On voit donc que, si MM' est, sur la surface (S), la direction d'une ligne de courbure, il en sera de même de la tangente conjuguée. Ainsi

Les développahles de la congruence engendrée par les normales MP découpent sur les surfaces (S), (S') deux réseaux de courbes conjuguées qui sont, diaprés notre définition, les lignes de courbure de ces surfaces.

De plus, le pôle du plan principal PMP'M' se trouvant à Tinlersection des deux tangentes conjuguées de MM' et de PP', on voit que

Les deux plans principaux seront conjugués, c'est-à-dire normaux, par rapport à la quadrique fondamentale.

Ainsi les développables formées par les normales découpent sur les deux surfaces (S), (S') aussi bien que sur la quadrique (Q) un réseau conjugué. Il y a, sur toute surface, deux familles de lignes dont les tangentes sont conjuguées à la fois relativement à la surface et à la quadrique fondamentale et qui sont telles que, pour chacune de ces lignes, soit les premières, soit les secondes normales forment une surface développable.

RAPPROCHEMENTS ET ANAIrCMîIES. 487

C'est la généralisation aussi complète que possible des propriétés des lignes de courbure dans la Géométrie euclidienne-.

84i. Il ne sera pas inutile pour ce qui va suivre de retrouver quelques-unes de ces propriétés par l'Analyse et d'indiquer ici un système de formules analogues aux équations d'Olinde Rodrigues (n° 141) èl relatives aux lignes de courbure dans la Géométrie de M. Cayley.

Soient toujours x, y, z, t les coordonnées homogènes d'un point M d'une surface donnée, liées par la relation

et w, p, w, /? les coordonnées du pôle P du plan tangent relativement à la quadrique (Q) dont l'équation sera prise ici sous la forme

Nous supposerons ces coordonnées du pôle P liées également par la relation

Un point situé sur la normale MP à une dislance p du point M aura alors ses coordonnées X, Y, Z, T déterminées par les formules

suivantes

X = 37 cosp -f- M sinp,

^ Y=^cosp + P sinp,

' Z = ^ cosp -H (V sinp,

T = ^ cosp -\- p sinp.

Exprimons qu'il est un centre de courbure principal, c'està-dire qu'il existe un déplacement de la normale dans lequel il décrit une courbe tangente à cette droite. Nous serons conduit à des équations telles que les suivantes

û?Y = X^ H- [jif, cTT = X« -i- (x/>, ou encore, en remplaçant ûTX, û?Y, . . . par leurs valeui^s cosp <i!iF -h sinp (iw = X'iT -f- |x'w,

A^S UVRE VII.— CHAPITRE XiV.

Si l'on multiplie ces équations re5pectivement par ^, y, z, t et qii on les ajoute ensuite, si Ton recommence ensuite la même opération après les avoir multipliées par ?/-, ç^, w, p en tenant compte des relations (44), (45) et des identités

on trouvera

Elles prennent donc la forme très élégante dx -h tangp du = o,

i dz H- tanp^p dw = o, \ dt -i- tangp dp = o,

toute semblable à celle des équations d'Olinde Rodrigues.

Si l'on désigne par <i et S les caractéristiques des différentielles relatives aux deux directions des lignes de courbure, on en déduira facilement les identités

(/Î8) V «^37 037 = o, V û?W §37 = o, V<i37 8w=0, V ûfw 8m = O,

d'après lesquelles on reconnaît que les directions principales sont à la fois perpendiculaires relativement à la quadrique fondamentale, et conjuguées, dans le sens de Dupin, relativement à la surface sur laquelle sont tracées les lignes de courbure.

842. Si nous voulions poursuivre, ces analogies, nous pourrions reprendre ici la théorie tout entière des surfaces. En employant par exemple la méthode de Gauss, nous n'aurions qu'à remplacer les cosinus directeurs de la normale par les coordonnées du pôle du plan tangent relativement à la quadrique fondamentale, et nous serions conduits à la reproduction presque textuelle des formules données au Chapitre III. Le théorème de Gauss, relatif à l'expression de la courbure totale par l'élément linéaire, subsiste dans la Géométrie cajle^'enne et l'on peut édifier, relativement aux surfaces dont les rayons de courbure sont fonctions l'un de l'autre, une théorie toute semblable à celle que nous devons à M. Wein-

garten. Cette étude est loin d'être dépourvue d'intérêt, mais \e lecteur pourra aisément la réconstituer à l'aide des indications précédentes. Nous nous contenterons de montrer ici que les surfaces (M), étudiées au début de ce Chapitre, sont les analogues des surfaces minima dans la Géométrie de M. Cajlej.

Cela résulte d'abord de leur définition elle-même, les lignes dont les tangentes sont aussi tangentes à la quadrique fondamentale sont aussi, d'après nos définitions, les lignes de longueur nulle de la surface dans la Géométrie cajle yenne. Or, ces lignes doivent former un système conjugué, de même que, dans la Géométrie ordinaire, les lignes de longueur nulle des surfaces minima.

843. Plaçons-nous maintenant à un autre point de vue, et cherchons les lignes de courbure d'une surface (M). En appliquant les équations différentielles précédentes et tenant compte des relations (23) et (24), on verra qu'elles prennent ici la forme suivante

tançp , ,

et se réduisent, par suite, aux deux équations très simples

(49) rfoc+i^PrfP = o, d^-^'^d.^o.

Éliminant p, on trouve

Cette équation s'intègre aisément. Celle qui détermine les rayons de courbure principaux devient

(5i) tang2p — G2 = o.

Ainsi les deux rayons de courbure principaux sont ici égaux et de signes contraires.