Réciproquement, toute surface dont les rayons de cour

buresont égaux et de signe contraire dans la Géométrie cayleyenne est une surface (M). Pour le démontrer, désignons par a et p les paramètres des lignes de courbure et désignons par pj et p2, non plus les rayons de courbure principaux, mais les tangentes de ces. rayons de courbure. Les équations (47) nous donnent le système fondamental

dx du

àx

H- Pi

du

ày

-+-Pi

àz

+ Pi

dw là.

dt

+ Pi

dp da

dy dif

dz dw

dt dp

Si donc on pose

(54 j ^s2== C c?^2=:Ec?a2-^G«?p«,

on trouvera sans peine

KJ Pi p2

(56) ^dudx = ——da^ — — dià*.

^ ^ U Pl P2 ^

Ces équations nous serpnt utiles plus loin. Si maintenant on élimine u entre les deux premières équations des groupes (62) et (53), on aura

dp Vpi 'd^j ~ da l p2 dp",

ou

(1 ±\ ^^^ ^ ^ \Pi/ àx \pj Vpi pa/dadp da d^ dp dp

dx dx

et de là on déduit, en multipliant successivement par -r-? ^, puis ajoutant les équations analogues,

Upi pJà?'^'' d?

2 \pi pi/ dct. doL

RAPPROCHflMjrPO'S ET ANALOGIES. 49I

Ces rélalions sont tout à fait générales et s'appliquent à toute surface. Supposons maintenant que l'on ait

^lles deviendront

et l'on en déduira

(58) E = pi/(a), G = p,oO).

Les formules (54) et(55)nous donneront donc

Par suite, les lignes de longueur nulle de la surface, définies par

l'équation

ds^ = o,

seront bien conjuguées par rapport aux lignes asjmptotiques, définies par l'équation

/(a)rfai cp(P)rf§2 = o.

C'est ce qu'il fallait démontrer, et l'on voit de plus qu'on détermine les unes et les autres par des quadratures.

845. Une troisième propriété rapproche les surfaces (M) des surfaces minima. Remarquons d'abord que l'aire, dans la Géométrie cajle^'enne comme dans la Géométrie ordinaire, a sa définition qui se ramène à celle de la longueur. Si l'élément linéaire d'une surface a pour expression

ds^ = Edfx^ -h G dp -i- 2F du d% dans l'une et l'autre Géométrie Taire sera l'intégrale double

JJ v/ËG - F2 d% rfp,

étendue à la portion de surface considérée.

Étant admise cette définition de l'aire, les surfaces nouvelles jouissent relativement à l'aire ca^'leyenne de la même propriété

que les surfaces minima, relativement à l'aire euclidienne. C'est un point que l'on établira comme il suit.

Portons sur la normale en un point M d'une surface quelconque (S) une longueur MM'= s. Les coordonnées du point M'

seront

iX = X coss -+- u sins, Y = y coss -T- v sins, ' Z = z coss -h (vsins,

T = ^ cos£ -h p s'int.

Si l'on prend comme variables les paramètres a, ^ des lignes de courbure, les formules (54) à (56) nous permettront d'établir l'identité

(61) ^dX^ = de^^E(coss- ^-^Yda'^-i-Gfcosz—^-^yd^^,

d'où l'on pourrait déduire toute une généralisation de la théorie des surfaces parallèles.

Si l'on suppose que e soit une fonction infiniment petite de a, P, le point M' décrira une surface (S') infiniment voisine delà surface (S) et l'aire de cette surface (S') sera représentée par

'intégrale double

ff^H'-v.-yù'^'^'

où l'on néglige le carré de £. Le calcul est tout semblable à celui que nous avons donné au n° 185.

On voit donc que la variation de l'aire de la surface (2) ne sera nulle que si l'on a, en chacun des points de cette surface,

pi-hp2=0,

et nous avons déjà constaté que cette relation entre les rayons de courbure caractérise les surfaces (M).

846. Pour terminer ce Chapitre, nous indiquerons une transformation ( ' ) qui permet de transporter en quelque sorte à la Géo-

(*) Cette transformation a été étudiée avec développement en diverses parties de l'Ouvrage que nous avons cité plus haut [p. 479]'

métrie des relations métriques euclidiennes, les propositions que l'on a obtenues relativement à la Géométrie de M. Cayley et, en particulier, celles qui concernent les surfaces (M). Comme toutes les définitions généralisées d'angle, de longueur, de distance sont fondées sur la notion du rapport anharmonique, nous pourrons supposer que l'on ait ramené, par une transformation homographique, la quadrique fondamentale à être une sphère (S). Cela nous permettra d'énoncer sous forme plus claire les définitions et les résultats.

A chaque poi»nt M de l'espace faisons correspondre l'un des points m, m! qui sont les centres des sphères de rayon nul passant par l'intersection de la sphère (S) et du plan polaire de M par rapport à (S). La transformation ainsi définie jouira des propriétés suivantes.

A chaque point M correspondent deux points m, m'\ mais a un point m correspond un seul point M, admettant pour plan polaire le plan radical de (S) et du point-sph^e qui a son centre en m.

Les deux points m, m! qui correspondent à un même point M sont inverses l'un de l'autre par rapport à la sphère (S) et ils sont sur la droite qui joint le point M au centre de cette sphère.

Voici d'ailleurs les formules qui définissent la transformation.

Prenons pour origine le centre de la sphère (S) qui aura alcrà pour équation

et soient x^ y^ z les coordonnées du point m.

Le plan radical de là sphère (S) et du point-sphère m aura pour équation

Xï-f. Yî-h Z2— K2- (X — 57)2— (Y ^)2 (Z — zY = 0.

Le pôle de ce plan, qui doit être le point M, se détermine donc sans difficulté et l'on trouve pour ses coordonnées X, Y, Z les expressions suivante^

.,.yZ

494 LIVRE yil. — CHAPITRE XIV.

Ces formules définissent la transformation. Elle a deux propriétés communes avec l'inversion. D'abord la droite réunissant les points qui se correspondent va passer par un point fixe. En second lieu, le point M ne coïncide avec m que si l'on a

c'est-à-dire si le point m est sur la sphère (S).

Mais si l'on veut déduire Xy y^ z des relations précédentes, les résultats sont plus compliqués. On trouvera

et de là on déduira

847. Au lieu de nous servir de ces formules employons uniquement la Géométrie. Pour abréger, nous désignerons sous Je nom de première figure celle qui contient les points M et sous le nom de seconde figure celle qui contient les points m, m' . D'après laddéfinition même de la transformation , melm' sont les points-sphères passant par l'intersection de (S) et du plan polaire (P) de M par rapport à (S). Donc toute sphère orthogonale à (S) et ayant son centre dans le plan (P) passera nécessairement par les deux points m et m' .

D'après cela, considérons trois points quelconques M, M< , Mg de la première figure et soient (P), (Pi ), (Pg) leurs plans polaires par rapport à (S). La sphère (S) orthogonale à (S) et ayant pour centre le point d'intersection des plans (P)^ (P^), (Pg), c'està-dire le pôle du plan MMi M25 contiendra nécessairement les couples de points de la seconde figure m, m'\ m^, m\\ ma, m^ qui correspondent respectivement à M, M^, Mg. Supposons maintenant que M, M,, M2 soient trois points infiniment voisins d'une surface (U) appartenant à la première figure. Alors m, w,, /Wg d'une part et m', m\^ m!^ d'autre part seront trois points infiniment voisins sur les deux nappes de la surface (V) qui est dans la seconde figure l'homologue de la surface (U). Quand les points M,, M2 se rapprochent du point M, le centre de la sphère (S) toujours orthogonale à (S) devient le pôle du plan tangent en M à la

UAPPROCIIEM i:\TS ET AXVLOC, [KS. 49$

surface (U). Gomme /??,, fu.2 se riipproclient de /;? ri /;?'j. nt^ de //i', cette sphère {^) devient langente en /??, /// nu\ deux nappes de la snrface (V). Et de là résulle la ])ropositlon suivante, qui constitue la meilleure définition de ]i\ Iranslormation :

A une surface quelconque (U) de la première figure la transformation fait correspondre la surface analla^matique {y) em^eloppe de la sphère variable qui est loufouis orihogonale à la sphère (S) et a son centre sur la polaire léciproque (U') de (U) par rapport à (S') ( ').

Supposons, par exemple, que la surface (U) soit un ])lan, la surface (L)') se réduira au pôle de ce plan et la surface (V) deviendra la sphère orthogonale à (S) passant par rinlersection de (S) et du plan. C'est ce que permettentde vérifier les lonnulcs

données plus haut.

Fig. 8i.

Supposons maintenant que la surface (U) se réduise à uuq droite {d). La polaire réciproque de [d) sera une droite (cf) et les sphères variables qui auront leur centre sur (<:/') contiendront toutes le cercle (C), orthogonal à (S), passant par rinlersection de {d) et de (S) {fig. 8 1). C'est ce cercle qui corresj>ondra

'(') Voir pour la définition des surfaces analiagiiialique.-i [I, p. 258], On dil quelquefois que (S) est la sphère directrice et (U') la surface déférente de ranallagnialique. On pourra consulter sur ce point l'Ouvrage cité plus haut [p. /179].

à la droite (o?), comme il est aisé de le vérifier encore par les formules données plus haut.

Comme la tangente en m au cercle va couper la droite (rf) en un point qui est évidemment dans le plan polaire du point homologue M de la première figure, on voit que, si Votï considère dans les deux figures deux courbes correspondantes, les tangentes en M et en m à ces deux courbes vont couper en un même point le plan polaire de M par rapport à la sphère (S). Pour le reconnaître il suffît de substituer à la courbe décrite par le point M la droite qui passe par deux points infiniment voisins de cette courbe. On déduit immédiatement de là que, si l'on considère non plus deux courbes, mais deux surfaces correspondantes, les plans tangents à ces surfaces en M et m se coupent suivant une droite située dans le plan polaire de M par rapport à la sphère (S).

848. Ces propositions étant établies, nous pouvons démontrer la propriété fondamentale de la transformation : elle conserve les angles, c'est-à-dire que les angles de la première figure mesurés par rapport à la sphère (S) sont égaux aux angles ordinaires de la seconde.

Soient, en efifet, M/, M^' les tangentes à deux courbes passant en M et soient t^ t' les points où elles rencontrent le plan polaire de M. Les tangentes en m aux deux courbes correspondantes seront les droites mt^ ml' . D'ailleurs la droite tt' va rencontrer la s;>hère (S) en deux points a, a!\ et il est clair que les deux faisceaux de quatre droites

inl^ jnt\ ma^ ma\ M^ M/', Ma, Ma'

ont le même rapport anharmonique R.

Mais les droites M«, Ma' soat des tangentes à la sphère, puisque M est le pôle du plan (P) qui contient a, a'. L'angle V, mesuré par rapport à la sphère (S), des deux droites M^, Mi', c'est-à-dire des deux courbes de la première figure, est donc

-.lo-R.

De même, puis(|ue m est le centre d'une sphère de rajon nul

qui passe par rintersection de (S) et de (P) et, par conséquent, par les points a, a\ ma., ma' sont des droites allant rcnconircr le cercle de l'infini; et, par suite, l'angle ordinaire des droites mt^

mt' est aussi égal à

Il ^

La proposition est donc démontrée pour l'angle de deux courbes; elle subsiste évidemment pour l'angle de deux surfaces ou ])our l'angle d'une surface et d'une courbe.

849. On peut d'ailleurs la démontrer analjtiquement de la manière suivante :

Si l'on applique la formule (35), on verra que la distance de deux points infiniment voisins de la première figure, prise par rapport à la sphère (S), est définie par l'équation

,,..'' , , (X-M.Y2-i-Z2 R2)(^X24-^Y2^fl'Z2)-(\6/X-4-YrfY-hZf/Z)2 (^-^ ^^-^- -— ^ ^-X2+Y2-KZ2-K2y^ —'

Faisons usage des formules de la transformation et substituons à X, Y, Z leurs expressions (62) en x\ y^ z. Nous trouverons

(6G) Ch''-^ -— =^-5^ ï7TTïï(^^^+^J"^^^-')i

ou plus simplement

Ainsi la transformation a lieu de telle manière que l'élément cajleyen dv de la première figure soit proportionnel à l'élément euclidien ds de la seconde. Or, la définition donnée au n° 572 de l'angle de deux directions évalué par rapport à une forme quadratique montre immédiatement que cet angle subsiste sans modification quand la forme est multipliée par une fonction finie quelconque. Il résulte de là que l'angle de deux directions de la première figure évalué relativement à la forme quadratique 6/0-, c'est-à-dire l'angle cayleyen (n" 838), est identique à Pangle des directions correspondantes de la seconde figure évalué relativement à f/,ç, c'est-à-dire à l'angle euclidien.

850. Les conséquences les plus importantes de ce principe de la conservation des angles se rapportent au cas où les angles sont droits et, en nous souvenant que les directions à angle droit dans la Géométrie cajlejenne sont celles qui sont conjuguées par rapport à la sphère (S), nous pouvons énoncer les propositions suivantes :

Si deux courbes de la première figure se coupent et si les tangentes, en leur point commun, sont conjuguées par rapport à la sphère, les courbes anallagmatiques correspondantes se coupent à angle droit.

Si deux surfaces de la première figure se coupent et si les plans tangents en un de leurs points communs sont conjugués par rapport à (S), les surfaces anallagmatiques correspondantes se coupent à angle droit au point correspondant.

Si l'on a, dans la première figure, un système triple formé de surfaces telles que, en tous les points communs à deux surfaces*, les plans tangents soient conjugués par rapport à la sphère (S), le Système triple d'anallagmatiques correspondant sera formé de surfaces orthogonales.

On peut indiquer encore ce que deviennent, lorsqu'on leur applique la transformation, les propriétés signalées plus haut (n'' 839) relativement aux lignes géodésiques dans la Géométrie cayleyenne.

D'après la formule (67), cette transformation fait correspondre aux lignes géodésiques cayleyennes de la première figure les lignes de la seconde qui rendent minimum l'intégrale

ds

étendue à l'arc euclidien ds pris entre deux quelconques de leurs points. On peut donc énoncer les propositions suivantes, qui ont été développées dans l'Ouvrage déjà rappelé.

Les lignes de V espace qui rendent minimum V intégrale

ds

prise entre deux quelconques de leurs points sont des cercles

orthogonaux à la sphère {^) définie par Inéquation

Sur une surface donnée (U) les lignes gui rendent minimum la même intégrale sont définies par une propriété différentielle, analogue à celle qui caractérise les lignes géodésiques. La sphère qui est orthogonale à (S) et qui «, avec la courbe, le contact d^ordre le plus élevé, c'est-à-dire qui contient le cercle osculateur en un quelconque de ses points, doit être, en ce point y normale à la surface.

851 . Examinons en particulier ce que donne notre transformation appliquée aux surfaces (M). Pour cela, il sera nécessaire de rappeler une généralisation très étendue de la théorie des tangentes conjuguées de Dupin (*).

Considérons un ensemble de surfaces (F) représenté par une équation de la forme suivante

(68) f{oo,yy z, a, b, c) = o,

qui contient trois paramètres arbitraires a, b, c. Tels sont les plans, les sphères passant par un point fixe ou orthogonales à une sphère fixe, etc.

Si l'on veut que les surfaces (F) soient tangentes à Une surface donnée (A), on aura à établir une certaine relation

cp(a, b, c) =,o,

qui réduira à deux le nombre des paramètres contenus dans l'équation (68). Supposons, par exemple, que l'on élimine c; l'équation des surfaces (F) qui sont tangentes à (A) prendra la form.e

où a et 6 seront entièrement arbitraires.

Gela posé, supposons que, lorsqu'on se déplace à partir d'un point quelconque M de (A) dans une direction M [jl, la surface (F)

( ' ) Voir le Mémoire sur tes solutions singulières des équations aux dérivées partielles du premier ordre inséré par l'auteur au tome XXVII des Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des Sciences de l'Institut de France, § 10.

relative au point M soit coupée par la surface (F) relative au poiut infiniment voisin suivant une courbe admettant en M la tangente Ma^ La relation entre les deux tangentes Mjjl, M;jl' sera évidemment homographiqae. mais elle sera de plus involutive^ c'està-dire que, si l'on se déplace suivant la direction Mjx' (au lieu deM;jL), l'intersection des deux surfaces (F) infiniment voisines correspondantes sera tangente à Mu (au lieu de Ma').

Admettons cette proposition, pour la démonstration de laquelle nous renverrons au Mémoire cité, et qui donne évidemment la théorie de Dupin quand les surfaces (F) se réduisent aux plans tangents de (A). Nous remarquerons seulement que. par sa nature même, la relation entre deux directions conjuguées ainsi définies subsiste quand on effectue une transformation ponctuelle quelconque, pourvu qu'aux surfaces (F) on substitue les transformées 1 F") de ces surfaces dans la transformation considérée.

D'après cela, considérons les surfaces (M) qui dérivent des surfaces (M) par la transformation que nous avons définie au n°846.

Nous voyons tout de suite, d'après la formule (67). qu'aux lignes de longueur nulle fcayleyenne) des surfaces (M) correspondent des lignes de longueur nulle (euclidienne) dans les surfaces (M). Ces lignes étaient conjuguées par rapport à (M); elles le seront aussi sur la surface (M'), pourvu que, dans la définition des tangentes conjuguées, on substitue aux plans tangents de (M) /es sphères orthogonales à (S) qui leur correspondent dans la transformation. Voilà donc une propriété géométrique qui perm élirait de définir directement les surfaces (M').

D'autre part, toujours d'après la formule (67), à Taire prise dans le sens de la Géométrie cayleyenne de la surface (M) correspondra, en laissant de côté un facteur constant, l'intégrale

relative à la surface ( M' ). dS désignant l'élément d'aire euclidien de cette surface. Les surfaces (M' 1 seront donc celles pour lesquelles cette intégrale, étendue à toute la portion de surface comprise dans un contour donné, aurait sa variation première égale à zéro.

Nous nous contenterons de remarquer ici qu'en effectuant une

RAPPROCHEMENTS F:T ANALOGIES. 5oi

inversion dont le pôle serait sur la sphère (S), on pourrait réduire cette intégrale à la forme plus simple

z désignant la distance a un plan fixe qui serait Vùn^'erse de la sphère (S).