CHAPITRE III

'•âges.

De la représentation géodésique de deux surfaces l'une sur l'autre. ... l\o Problème de M. Beltrami : Déterminer toutes les surfaces qui peuvent^ être représentées sur le pliju de telle manière que les géodésiques correspondent aux droites du plan. — Solution directe et complète de ce problème : les surfaces à courbure constante sont les seules qui puissent être représentées de cette manière sur le plan. — Problème de M. Dini : Déterminer tous les couples de surfaces tels que l'on puisse établir entre de.ux surfaces de chaque couple une correspondance dans laquelle les géodésiques correspondent aux géodésiques.

— Solution de M. Dini. — Théorème de M. Tissot. — L'élément linéaire des surfaces cherchées se ramène à la forme de M. Liouville^

— Application : propriété remarquable de la transformation homographique. — Solution nouvelle et directe des deux problèmes précédents. Si l'on cherche à déterminer les courbes pour lesquelles l'intégrale

f{u, V, v')du prise entre deux points donnés est maximum ou

minimum, on est ronduit à une équation différentielle du second ordre définissant les couhjcs cherchées. — Cette équation peut être consrdérée comme étant la plus générale du second ordre; et à chaque équation de cet ordre correspondent une infinité de fonctions /(m, f, v' ). — ' Détermination effective de ces fonctions quand on sait intégrer l'équation différentielle. — Relations avec la théorie du multiplicateur de Jacobi. — Application à l'équation v"^= o et aux problèmes de MM. Beltrami et Dini.