CHAPITRE VIII

Les triangles géodésiques et le théorème de Gauss 167

Du système de coordonnées polaires dans une surface quelconque. — Développement suivant les puissances de u de la courbure totale et de la ({uantitc a (|iii figure dans l'expression

ds^ — du' — X- dv^

de l'élément linéaire. — Distance géodésique de deux points quelconques. — Son carré est développabie en série. — Calcul des ^.remicrs termes de cette série. — Triangles géodésiques infiniment petits. — Théorème de Gauss. — Expression de la surface du triangle. — .\pplication des résultats précédents à la détermination de quelques infiniment petits relatifs à une courbe quelconque tracée sur la surface. — Expressions de l'arc approchées jusqu'aux termes du cinquième ordre. — Étude d'une question posée par M. Christoffel : recherche des surfaces pour lesquelles il y a, entre les six éléments d'un triangle géodésique, ufie ou plusieurs relations indépendantes des coordonnées des sommets. — Travaux de MM. Weingarten et von .Mangoldt. — Les surfaces à courbure constante sont les seules pour lesquelles il y ait plus d'une relation en^re les six éléments: et le nombre de ces relations est égal à trois. — Les surfaces applicables sur des surfaces de révolution sont les seules pour lesquelles il y ait une relation, et une seule, entre les six éléments. — Démonstration de ce dernier résultat par la considération des triangles géodésiques infiniment aplatis.