AG-B»)*' " (AG-B«)>' ^"(AC-B

Par suite la valeur de/ sera

<57) •^- AC-Bi V

et Ton pourra vérifier que cette valeur satisfait effectivement à Téquation du problème, qui est l'équation (5i) où Pon remplacerait M et p par x et y.

Posons

W sera une fonction homogène et du second degré des trois variables dont elle dépend, et Ton aura, pour l'élément linéaire de la surface cherchée, l'expression

..«. . W(dx,dy,ydx-xdy)

V^»> ^* - (ÂC - Bî)« '

On peut interpréter comme il suit les résultats obtenus. Les lignes de longueur nulle de la surface sont définies par l'équation différentielle

qui est une équation de Clairaut et qu'on intégrera en supposant j/^ constante. Dans le plan, y' et y — xj/ peuvent être considérées comme les coordonnées d'une droite dont le coefficient angulaire serait j^. L'équation précédente définit donc, en coordonnées tangentielles, une conique quelconque et le dénominateur AC — B* égalé à zéro donnera l'équation en coordonnées ponctuelles de la même conique. Il suit de là que les lignes de longueur nulle de la surface correspondent, dans le plan, aux droites qui sont tangentes à cette conique.

Nous avons déjà rappelé que l'équation (53) se conserve lorsqu'on effectue une transformation homographique. En s'appuyant

sur cette remarquable propriété, on peut classer très simplement les résultats obtenus :

1° Si la fonction <E> se décompose en deux facteurs, la conique se réduit à deux points, nécessairement distincts puisque ^élément linéaire ne peut être un carré parfait. Amenons, par une homographie, ces deux points à coïncider avec les deux points à rinfîni sur le cercle. On aura alors

et la forme correspondante de l'élément linéaire sera (6o) ds^= dx^-hdy^.

La surface obtenue sera plane ou développable.

2** Si la fonction ^ est indécomposable, on peut toujours la ramener par une transformation homographique, et même d'une infinité de manières, à la forme (6i) * = a2(i-+-y2)±(^a.y)2^

ce qui revient à supposer que la conique est un cercle, réel ou imaginaire, concentrique à l'origine. On trouve alors

/fia^ ^«2 - ^M^^' -^dy^)±(xdj^~y dx)^

Ces formes de l'élément linéaire sont identiques, aux notations près, à celles que nous avons déjà obtenues plus haut, au n** 599. Nous reviendrons d'ailleurs sur ce sujet lorsque nous nous occuperons de la Géométrie non euclidienne et des surfaces à courbure constante.

608. Considérons maintenant le problème de M, Dini et proposons-nous, d'une manière générale, de trouver deux surfaces qui puissent être représentées géodesiquement l'une sur l'autre.

Soient

ds'*- = E du?^ -H 2F dadv -\-Ç, dv^^

ds\ = E| du^ -h 2F1 du dv -h G, dv^ les éléments linéaires de ces deux surfaces. Si l'on pose

/ = /E-i-2F(»'-t-Gt>'*, /i = v/E,-h2K,P'-+-G,p'*,

on peut dire que la même équation différentielle définit les courbes pour lesquelles l'une ou l'autre des deux intégrales

f/^u, ff,

1 du

est minimum. Par conséquent, d'après la proposition établie plus haut, cette équation différentielle, qui est celle des lignes géodésiques de la première surface, devra admettre l'intégrale première

En faisant le calcul, on trouve

EG — F» /Ei-f-2Fi(^'-hGiy'«\^ E,G,-F; \ ëh-îFp'+Gp'» / -consi.,

ou, en élevant les deux membres à la puissance ^>

/ EG — F» y E|-f-2Fip'-f-Gti''» \E,G, — FJV E-+-2Fp'-f-Gp'« -const.

On peut mettre cette équation sous la forme

/coN / EG — F2 y f^ du^ . dudv dv^\

qui donne immédiatement le résultat suivant :

Si une sur/ace peut être représentée géodésiquement sur une autre surface, ^équation différentielle de ses lignes géodésiques doit admettre une intégrale première homogène et

du second degré par rapport à -j-y ^ •

609. Nous sommes ainsi ramené à un problème que nous avons traité dans le Chapitre précédent; et il n^est pas difficile de reconnaître que la condition précédente, qui est nécessaire, est aussi suffisante.

En effet, elle ne peut être remplie, nous l'avons vu, que dans les deux, cas suivants :

1® L'élément linéaire est réductible à la forme de Liouville

(04) c/i» = (U - V)( u; rfa« H- VJ dv*).

Alors l'équation des lignes géodésiques est

et, en résolvant par rapport à la constante a, on a l'intégrale première du second degré

qui est bien de la forme (63). En identifiant les premiers membres des deux équations, on obtient les relations

d'où l'on déduit

La seconde surface aura donc pour élément linéaire (66) ^,.= (^^__j[^__— ^___J,

ce qui s'accorde bien avec les résultats obtenus au n° 601. L'élément linéaire avec deux constantes, donné par la formule (34), correspond à la forme plus générale

(a4-/0 = m(U-V)[uî(V + A)^'4-V?(U-+-A)g]

que l'on peut donner à l'intégrale du second degré (65).

2** Il y a encore une intégrale du second degré quand l'élément linéaire est de la forme

donnée au n** 591. L'équation des lignes géodésiques admet alors l'jjitégralc première

REPRÉSENTATION G ÉO DÉS I(i U E DE DEUX SURFACES. 65^

On peut l'écrire sous la forme

(|ui est bien du second degré par rapport aux dérivées -77' -r--

En appliquant la même méthode que dans le cas précédent, on obtiendra l'élément linéaire cls^ de la surface correspondante par la formule

(08) ds\ = .U V -H Y, ) '^^ ^-^^JI' dy'..

Ce cas exceptionnel a été signalé, nous l'avons déjà dit, par M. Lie. Il échappe à la méthode de M. Dini, parce que la correspondance établie entre les deux surfaces est telle que le théorème de M. Tissot cesse d'être applicable. Nous rencontrons ici, en eft'et, le cas d'exception que nous avons signalé, où une des deux familles de lignes de longueur nulle de la première surface admet pouî* homologue une famille de lignes de longueur nulle de la seconde. La correspondance étant imaginaire, nous nous contenterons des indications précédentes.

D— Ilf.