CHAPITRE IV
INTÉGRALES HOMOGENES DE DEGRÉ SUPÉRIEUR ET INTÉGRALES d'une FORME DÉTERMINÉE.
Division des intégrales en classes d'après le nombre de leurs facteurs linéaires distincts. — Équations aux dérivées partielles par lesquelles on exprime qt^'il y a une intégrale d'une forme déterminée, -r- Application au cas où l'élément linéaire est exprimé au moyen de» coordonnées symétriques. — Équations générales. — Première application; intégrale fractionnaire dont les deux termes sont linéaires par rapport à j9 et à 9; la valeur correspondante de X est l'intégrale générale de l'équation E (~> - J; les solutions homogènes de cette équation fournissent l'élément linéaire de certaines, surfaces spirales que l'on peut déterminer par des quadratures, -r- Intégrale à deux facteurs distincts; première méthode. — Un cas particulier de l'intégrale à trois facteurs. — Intégrale à deux facteurs distincts; réduction du problème à l'intégration d'une équation linéaire' qui admet un nombre illimité de solutions homogènes.
610. Après avoir fait une étude approfondie du cas où le problème des lignes géodésiques admet des intégrales du premier et du second degré, nous' allons indiquer les résultats obtenus par Bour et les géomètres qui l'ont suivi en ce qui concerne les intégrales de degré supérieur. Dans le Mémoire que nous avons cité plus haut, Bour avait considéré les intégrales entières et les avait classées d'après leur degré. M. Bonnet, dans des recherches restées inédites, a considéré, le premier, des intégrales fractionnaires (*).
(') L'éminent géomètre a exposé ces recherches dans un Cours fait à la Sorbonne vers 1873. Considérant, en premier lieu, le cas où il existe une intégrale fractionnaire dont les deux termes sont du premier degré par rapport à /? et à 7, il a montré que, dans ce cas, on peut déterminer la valeur la plus générale de X (l'élément linéaire étant défini par la formule ds* = l^\ dx dy) et qu'il existe même certaines valeurs particulières de X pour lesquelles on peut obtenir des surfaces admettant cet élément linéaire. Nous démontrerons plus loin ces résultats par une méthode nouvelle. M. O. Bonnet a dit aussi quelques mots du cas où il existe une intégrale du troisième degré admettant un facteur double.
Enfin, dans une série de Communications insérées en 1877 ^" tome LXXXV des Comptes rendus, M. Maurice Lévy a mis en évidence ce fait intéressant 'qu'au lieu de classer les intégrales homogènes 'f (/?, q^ u\ v) d'après leur degré par rapport à yo et à ^7, il vaut mieux les classer d'après le nombre des facteurs linéaires distincts dans lesquels on peut les décomposer; c'est-à-dire que, si Ton pose
(i) ^ip,q,u,v) = 6(m, P)JJ(/?~«/^)a<,
il conviendra de réunir dans une même recherche toutes les intégrales pour lesquelles le nombre n des facteurs est le même, les exposants constants a/ pouvant d'ailleurs changer quand on passe d'une des intégrales à une autre de la même classe. Comme il est permis de donner à ces exposants des valeurs négatives, la recherche ainsi entendue comprendra les intégrales fractionnaires aussi bien que les intégrales entières; et, de plus, si les intégrales sont entières, leur degré pourra prendre des valeurs quelconques sans que le nombre de leurs facteurs linéaires distincts soit changé.
611. Nous commencerons en indiquant une forme remarquable que l'on peut donner aux intégrales cherchées. Nous avons vu (n" o90) qu'elles doivent vérifier identiquement l'équation
(2) (A, cp) = o.
Or si l'on pose, pour abréger,
Zi^p — aiq, on a
et un calcul facile permet de mettre l'équation de condition sous la forme
(4) (A,cp)=|(A,0)-l-2^(A,^,) = o.
Tous les termes du second membre contiennent en évidence le
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facteur zf', excepté le suivant
qui paraît contenir le facteur z-i seulement à la puissance a< — i . 11 faudra donc, pour que Féqualion soit vérifiée, que Texpression (A, z/), qui est du second degré par rapport à/> et à ^, soit divisible par le facteur zi et, par suite, que l'on ait .
lorsque p et q satisferont à l'équation
Zi—p — atq — o.
Cette condition s'interprète aisément : elle indique que Ton peut tyo-uYcr une fonction 9/, solution commune des deux équations
AO = consi., — =a/^-
du ov
En iTJuitîpliant cette fonction par un facteur constant convenable, on peut toujours supposer qu'elle est solution de l'une des
équations
AO = I ou A6 = o,
et, si l'on désigne ses dérivées par pi et qi, on aura
Pi ÛT/ = ^ .
Remplaçant ai par cette valeur dans Texpresision de cp, on reconnaît qu'on peut donner aiix intégrales cherchées la forme suivante
où /?i, qi désignent les dérivées d'une fonction 0/, solution particulière de l'une des équations '
(6) AO/ = I ou AO, = o.
Celte expression, que nous adopterons dans la suite, simplifie beaucoup les calculs. Il résulte de la formule (4) que, dans tous
les cas, l'équation de condition
se ramène alors à une équation homogène et du premier degré par rapport à/? et à q. En égalant à zéro les coefficients de p et de q^ on aura donc seulement deux équations de condition. Si l'on ajoute à ces déui équations les n relations (6), on aura exprimé toutes les conditions du problème et écrit toutes les conditions qui doivent être vérifiées par les fonctions/, 9/ et les coefficients E, F, G de Télément linéaire.
612. Pour développer les calculs, supposons que l'on ait choisi des coordonnées symétriques. L'élément linéaire aura pour expression
(8) ds^— ^\dxdy\ l'équation à intégrer deviendra
(9) pq = ^,
et cp prendra la forme suivante
(10) > =/(^, y)p'^q^{pqi — qpiY"^ • • • {pqk—qpkY'^^
Les équations (6) deviendront ici
(11) piqi=piq^ = ,..:=p^qi.=z\.
L'équation (7) deviendra, de même, pI dx À^ Pqi—qPii ql ày jU ^pqi — qpi\
L/> Zàpqi—qpi\ dx ' Iq ^pqi — qpi] dy
Eflectuons les réductions en tenant compte des équations (11) et de leurs dérivées; nous trouverons ♦
^ L ^^ ^^ ^ Pi J
l ày ^ dy ^ qt \
En égalant à zéro les coefficients de p et de q^ on est. conduit
aux deux équations
5zii ^ a ^z L y ^ = o, .
ôx dx ^^ pi
dy ^ dy Ad qi
que l'on peut intégrer immédiatement et remplacer par les suivantes
où X et Y désignent des fonctions arbitraires dépendant respectivement de :r et de j^; et il ne reste plus qu'à trouver les solutions les plus générales du système des équations (ii) et (12). On a ainsi k-\-i équations contenant k-\-i fonctions inconnues : /, X et les k fonctions 8/.
Posons
5 — /7ii -I- . .. . -h rrik -fa — p,
( s — m^-r-. . .^ lUk + p — a.
Nous allons montrer que l'on peut, en choisissant convenablement les coordonnées symétriques, réduire à l'unité la fonction X si la somme s n'est pas nulle, et la fonction Y s'il en est de même de la somme s' .
Supposons, en effet, que l'on change la coordonnée x et qu'on la remplace par une fonction de jc
(i4) à:i = cp(a7).
Il faudra remplacer \ par \^\x), p par'/?cp'(a;), /?/ par pi^\x)^ et, par suite, /par/[cp'(a;)]~^~P, afin que l'expression de cp définie par la formule (10) ne soit pas changée. La première des équations (12) ne sera pas altérée, mais la seconde sera remplacée par une équation toute semblable où figurerait dans le second membre, à la place de X, la nouvelle fonction
Toutes les fois que s ne sera pas nul, il est clair que Ton pourra cnoisir pour œ^ une fonction de x telle que la nouvelle valeur Xi
de X se réduise à l'unité. On démontrera de même que, si s' n'est pas nul, on peut réduire Y à l'unité.
Si la somme s est nulle, la fonction X demeure toujours lu même; mais le changement de variable permet, si elle n'est pas constante, de la réduire à telle forme que l'on voudra, par exemple
à .r ou à -• Nous aurons à faire usage de cette remarque au numéro suivant.
Nous ne poursuivrons pas davantage l'étude de la méthode générale, et nous nous attacherons de préférence aux exemples particuliers suivants, dans lesquels on peut achever les intégrations.
613. Supposons d'abord que l'on prenne (î6) k = 2, a =^ = o, nii — — filial .
On aura
(17) ^^fPîmJfA..
pq^-qpi
L'intégrale cp est fractionnaire et linéaire. C'est le cas considéré par M. O. Bonnet. Les équations (12) deviennent alors
(18) fil = Y, Pi
Elles donnent, par suite,
