XY

Si les fonctions X et Y s^ réduisent l'une et l'autre à des constantes, on reconnaîtra aisément que la surface est développable. Ecartons ce cas exceptionnel; il n'j aura à examiner que les deux h}' po thèses suivantes :

i" Une seule des fonctions, X par exemple, se réduit à une constante, l'autre dépendant réellement àey. Ce fait exceptionnel ne peut se présenter que pour des surfaces imaginaires. Un calcul que nous omettons conduit aux surfaces, déjà considérées au

n^ 594-, dont l'élément linéaire est réductible à la forme

L'intégrale linéaire et fractionnaire correspondante à cette forme n'est autre que l'intégrale (22) du n° 594 dont le premier membre

serait divisé par ^- On trouve ainsi

ou, plus généralement,

\p — i\q -h m' g ^ ~ \p — 7.x q -^ mq

m, m! désignant des constantes quelconques.

2° Si X et Y sont de véritables fonctions, et non plus des constantes, on pourra toujours, en choisissant convenablement les coordonnées symétriques, les réduire aux formes suivantes

(ao) X= -, Y= i.

On aura alors

L'élimination de 82 nous conduira à l'équation

dont le développement donne

(22) Si(x—y)—^pi-i-^qi = o.

Nous retrouvons l'équation E(-, -j dont nous avons déjà

donné l'intégrale au Chapitre III du Livre IV [II, p. 69].

Si Ton substitue les valeurs de /, p2 et q^ dans l'intégrale (17), elle devient

^ pq\^ — qp\y*

INTÉGRALES HOMOGÈNES DE DEGRÉ SUPÉRIEUR. 'j'i

Si l'on tire/> et ^ des équations

OÙ C désigne une constante, on aura

^=p^\/wz^' "^^^'sA

Si donc on pose

'-fW^o<^-Wy^^''\

réquation des géodésiques sera

Tout se ramène, on le voit, à l'intégration de l'équation (22).

614. L'intégrale générale de cette équation est de forme très compliquée; mais nous avons indiqué les moyens d'obtenir un nombre illimité d'intégrales particulières très simples.

Par exemple, les intégrales homogènes de tous les degrés, définies au n° 347 [II, p. 5^], peuvent être utilisées et conduisent à des éléments linéaires pour lesquels \ est une fonction homogène de X et dé y. Ces intégrales homogènes offrent de l'intérêt parce qu'on peut alors déterminer non seulement l'élément linéaire, mais aussi certaines surfaces qui admettent cet élément linéaire.

Gela résulte du théorème suivant :

Toutes les fois que, dans T élément linéaire défini par la

formule

ds^ = E du^ -^2¥ dudv-h G dv^^

E, F, G sont des fonctions homogènes du même degré m, cet élément linéaire convient a une infinité de surfaces que Von pourra déterminer par des quadratures. Ce sont des surf aces spirales [I, p. 107] si m est différent de — 2, et des hélicoïdes ou dès surfaces de révolution si m = — 2.

Si l'on fait, en effet, la substitution (23) a = e*', - = €»,

l'élément linéaire prend la forme

(24) ds'' = 6(m-h2)v''[ A du'^-^2Bdu' dv' -^ G dv"^\

où A, B, C sont des fonctions de ii! ^ et qui conduira aisément au théorème précédent si on la rapproche des résultats donnés au Livre T, Chapitre IX [t, p. 109].

6io. Envisageons maintenant le cas plus général caractérisé par les hypothèses suivantes

(25 ) a = p = «13 = in<, = . . . = o,

lYi^ et /W2 étant quelconques. En élevant l'intégrale à une puissance convenable, on ramènera /n, à l'unité. Nous poserons, pour la commodité des calculs,

m^— im — I .

Les sommes s et 5', définies par les formules (i3), ne seront pas nulles ici et l'on pourra, par suite, réduire X et Y à l'unité. Les deux équations (12) nous donneront alors

(^6) fpxpV"-' = ^. f<ixqV"-' = ^'

On tire de là en multipliant et, par suiie,

OU, en remplaçant )» par sa valeur /?^^27

(^7) Pi = p\-"'q'i'. <ix=p'i'q[-'"-^

et il suffira d'écrire que l'expression

P\""q'i'dx ^p'^'ql-"'dy

est une différentielle exacte pour obtenir l'équation aux dérivées partielles

à laquelle devra satisfaire Ôa* Une transformation bien connue de Legendre ramènerait cette équation à là forme linéaire; mais nous

allons revenir plus loin, par une autre méthode, sur le cas des deux facteurs distincts. Remarquons seulement que, pour m = \, on trouve l'équation

qui correspond aux intégrales du second degré.

616. Voici encore une autre hypothèse dans laquelle on peut obtenir la détermination effective de la valeur de X. Supposons que le nombre k des fonctions 8/ se réduise à l'unité, mais que les exposants a et p ne soient pas nuls. On pourra, en élevant «^ à une puissance convenable et en la multipliant par une puissance de

^j ramener les valeurs de a, p, m, à satisfaire aux conditions

On aura ici

et, par conséquent, si la valeur absolue de a n'est pas égale à- (*),

on pourra remplacer par l'unité les deux fonctions X, Y qui figurent dans les deux équations (12). On aura ainsi

qi = X2 -

En exprimant que />, et cjt sont les dérivées d'une même fonction, on obtient pour X l'équation linéaire

(i-2a)X-«^=(.-f-2a)X«^, dy ' ôx

(') L'hypothèse a = dr - ne pourrait conduire qu'à des surfaces imaginaires.

/^Vi-

ce qui donne

et, par suite.

dont l'intégrale générale est donnée parla formule

(33). (i-h2a)XV-+-(i — ^2c)X-*Jc = cp(X).

Telle est la relation qui fera connaître X. L'élément linéaire correspondant pourra convenir à des surfaces réelles si a est purement imaginaire et si f(X) désigne une fonction réelle.

617. Nous allons maintenant revenir aux intégrales à deux facteurs distincts pour les traiter par une méthode plus simple. Soit

(34) ? ^f{u,v){pqi—qpx)'^ipqi— qpî)-^

une telle intégrale, écrite avec des. variables tout à fait quelconques. Si l'on rapporte la surface aux deux familles de courbes

coordonnées

6i=:eonst., 62=const.,

l'intégrale considérée se ramènera à la forme simple

(35) cp = A^,

où h désigne une fonction inconnue de u et de v. D'ailleurs les deux familles coordonnées étant formées de courbes parallèles, l'élément linéaire de la surface aura pour expression (n° 527)

ds^

du^-^ dv^-\- icosa

dudv

On aura

A6 = p^-{- q^— ipq cos a.

Po&ons

cosa = X,

et écrivons

Téquation

de condition

nous serons conduits

aux deux relations

. dh ^ dl \ dv dv \ .dh ^d\ du du

dh du dh dv

qui détermineront à la fois "k et h. Comme la première s*écrit

cr.^^^^>

dh

on y

satisfera

en

prenant

Xh

de dv

<T désignant une fonction auxiliaire.

On a donc

^ dû , Os

â(s âv

dv

et, en portant ces valeurs de h et de \ dans la seconde équation, on trouve

Eflectuons la substitution de Legendre et posons

d<s de dd da -

du -^ dv du dv

z^ considérée comme fonction de ce et de ^, sera définie par l'équation

(42) y{r-T-mt)'^x{i-i-m)s = ()f

qui est linéaire et beaucoup plus simple de toute manière que celle du n" 615,

On aperçoit immédiatement utie infinité de solutions homogènes de celte équation

mx^ — y^f ^xy^ — (i-î-2/n)x', ..., et, d'une manière tout à fait générale;

cc^vll^^, ^, ■ + (-"')('-|^), c\ \ 2 2 2 x^ /

F désignant la série hypergéométrique de Gauss oy toute autre solution de l'équation du second ordre à laquelle satisfait cette série. Il sera donc aisé, si l'on suit les règles employées en Physique

mathématique, de former des séries ou des intégrales définies satisfaisant à l'équation et contenant des constantes ou des fonctions arbitraires.

618. On ppurrait aussi essa^^er d'appliquer à Téquation (4^) les méthodes exposées dans le Livre IV; mais, pour cela, il faudrait commencer par la ramener à la forme normale en intégrant l'équation différentielle des caractéristiques. Cette intégration est possible, mais elle parait conduire à un résultat compliqué.

Si l'on pose

(43) x'^xsTrn-^-y, y'^xs/m—y,

l'équation prend une forme un peu plus simple. Elle devient.

[( 3 m -)- I )x' ~f- ( I — m)y' ] r — [( 3 tîi -+- r )/' -f- < i — m)x'\t' ~ o. Dans le cas où l'on a

elle se réduit à la suivante

Les équations des caractéristiques sont alors

y"^ i x'^^ — consl.

Posons

l'équation prendra la forme nouvelle

()2 z dz dz

OÙ m et n sont des fonctions à déterminer. On obtient leurs, valeurs rapidement en employant l'artifice suivant. L'équation (44) admet évidemment les deux solutions

Exprimant que ces solutions appartiennent à la nouvelle équa-

tion, on trouve les deux relations

m -f- Al = o, H- ^ = (m— Ai)(a — P),

d'où l'on déduil

6 a — p' et l'équation devient

r. à^^ i àz \ dz

C'est l'équation E(^> ^)> qui rentre dans celles que nous avons

étudiées et intégrées [II, p. 54].

L'intégrale correspondante

peut, par une élévation à la puissance — 3, être remplacée par une autre

(46) ^=h-^pq\

qui sera entière et du quatrième degré, mais aura un facteur triple. Pliusi nous savons déterminer complètement la forme de l'élément linéaire qui correspond à ce cas spécial de l'intégrale homogène du quatrième degré.

619. Les recherches précédentes admettent pour point de départ la classification des intégrales que nous avons donnée au n° 610, d'après Bour, MM. O. Bonnet et Maurice Lévy. Mais, au lieu de séparer les intégrales d'après leur degré ou le nombre de leurs facteurs distincts, on peut se demander s*il en existe d'une forme déterminée, s'il y en a, par exemple, qui ne contiennent pas quelques-unes des variables w, ^, p^ </. En nous plaçant à ce point de vue, nous avons été conduit aux deux résultats suivants, qui nous paraissent nouveaux et que nous allons présente^* d'une manière synthétique.

Si l'on pose, pour abréger,

(47) ^~ËG — Fi' ^ ~ EG — F2' <^~EG-F2'

Téqualion qu'il s'agit d'intégrer sera

<48) ^^ = ep^'^?.fpq+S'q'=^'

Supposons que e, /, g aient les valeurs suivantes f e = au -^ ùv -^ c, (49) I /= «'" -^à'v-h c,

qui sont linéaires par rapport k u el k i^ -^ on reconnaîtra aisément qu'il existe une intégrale <p ne dépendant que de p et de q.

En effet, si l'on suppose cp indépendante de u et de v^ Téquatibn de condition

■ (A, cp) = o

nous donne simplement

Oo do

-^(ap^-hia'pq-h a"q^) -^ ■^(bp^-{-2b'pq -¥■ b^q^) =^ o.

Les coefficients ne contenant ni u ni t^, il existe bien une fonction cp qui satisfait à cette équation aux dérivées partielles. Pour la déterminer, il faudra intégrer l'équation homogène

dp{bp^-i- ib'pq H- b'q^) — dq{ap^-h2a'pq -h a" q^) = o. Par exemple, on pourra prendre

— fi^P'-^'^^'pÇ -+- b" q^) ffp — { ap^ -^ ia' pq -+- a" q^) dq ^ ~~J p{bp'-hib'pq ^ b"q^) —q{ap^-<r-'2a'pq -h a'',q^)

Des formules (47) on déduit facilement l'élément linéaire de. la surface. On a, en effet.

EG - F2 ' et Ton déduira de là

620. Nous laisserons au lecteur le soin de faire Ja discussion de tous les cas particuliers qui peuvent se présenter ici et qui sont assez nombreux. Nous indiquerons seulement le« suivants.

Prenons d'abord

INTEGRALES HOMOGÈNES DE DEGRÉ SUPÉRIEUR. 8t

L'élément linéaire sera donné par la formule

^ vu

L'intégrale cp, qui se réduira ici à 7; \o^{p'^ — r/-^), nous donnera l'équation

(55) pz-.n^=c,

qu'il faudra joindre à la suivante

(56) vp^-\-uq^ = i,

pour déterminer /? et q. Ce cas spécial a été déjà signalé par Laguerre ( * )*.

L'élément linéaire étant homogène, on pourra déterminer effectivement des surfaces spirales qui admettent cet élément (n°614). 11 en est de même, dans le cas général, toutes les fois que les fonctions e^ fj g ne sont pas linéairement indépendantes. Alors une substitution de la forme

permettra de rendre homogène l'élément linéaire de la surface. Nous signalerons encore le cas particulier suivant

( 57 ) e = M, / = mvy g — \-

On aura ici l'intégrale

(58) p'^ni^Ç^q^

en sorte que p et q seront déterminés par cette équation jointe à la suivante

( 59 ) M/>2 + g» mvpq -4-^^=1.

Mais on peut trouver une seconde intégrale en remarquant que, si l'on fait la substitution

(6o) i^2= iv',

( • ) Laguerre, Sur un genre particulier de surfaces dont on peut déterminer les lignes géodésiques {Bulletin de la Société mathématique^ 1. 1, p. 81; ■«73).

l'équation précédente devient

(6i) up- ^^ l\mv' pq' -V- 2p'^'2=i,

et appartient encore à la forme que nous étudions. H y a donc une nouvelle intégrale de la forme

En la recherchant et en la combinant avec l'intégrale (58), on obtient le résultat suivant :

(62) i^rj-r- ^ =C'.

L'élimination de p et de q entre les trois équations (58), (69) et (62) donnera en termes finis l'équation générale des lignes géodésiques.

L'élément linéaire de la surface correspondante a pour expression

,„^ , . diû — 2 mv du dv -\- u dv^

(63) ds^=

Si l'on introduit la variable t>', il prendra la forme homogène

v' ( du- — 7. m du d\>' ) -\ — dv"^

(64) ds^-= rr- i-7T-^

^ V {u — im^v )

On pourra donc encore obtenir des surfaces spirales admettant cet élémient linéaire.

621. Considérons maintenant les surfaces dont l'élément linéaire est réductible à la forme générale

(65) r/52= V[c?a2-h(M-i-Vi)2£/t;2j,

où V, V| désignent des fonctions quelconques de v. L'équation à intégrer devient ici

Cherchons si l'on ne pourrait pas y satisfaire en prenant pour 8 une fonction linéaire par rapport à u

0 = Pt^-^-Q,

P et Q étant des fonctions de v. On trouvera ainsi la condition

qui nous conduit aux deux équations

11 faudra donc d'abord intégrer l'équation différentielle

(68) P^ , , ^^ puis Q se déterminera par une quadrature

(69) 0==fVidP.

L'intégration de l'équation différentielle introduira la constante arbitraire dont la présence est nécessaire pour assurer la généralité nécessaire à la solution 8.

Ici, on le voit, le succès est moins grand que dans les exemples précédents. On n'a pas la solution complète du problème; mais on a fait un pas vers cette solution et l'on peut dire que l'on a ramené l'intégration de l'équation différentielle du second ordre des lignes géodésiques à celle de l'équation (68), qui est seulement du premier ordre.

Dans le Mémoire que nous avons cité plusieurs fois, M. Lie avait déjà signalé une proposition du même genre relative à la détermination des lignes géodésiques des surfaces spirales. Ce premier résultat se trouve compris comme cas particulier dans celui que nous venons d'établir. On reconnaît, en effet, très simplement que l'élément linéaire (65) se réduit à celui des surfaces spirales les plus générales quand on y fait

On a alors

(70) ds'-= \{du'--^u'-dv^).

et, si l'on effectue la transformation définie par les formules

(71) 11=6"', ^ydi=du',

on esl conduit à la forme

(72) ds^'— e^'[du'^-r- f(u')dv'-^],

qui convient, nous Pavons déjà remarqué (n" 90), à une infinité de surfaces spirales.

Dans ce qui précède, nous avons déjà appris à déterminer complètement les lignes géodésiques d'un nombre illimité de surfaces spirales. De là résulte, on le reconnaîtra sans peine, qu'on pourra intégrer l'équation différentielle (68) dans un nombre illimité de cas et, par suite, déterminer, pour une infinité de formes de la fonction V, et quelle que soit la fonction V,, les lignes géodésiques xles surfaces correspondantes (').

L'élément linéaire défini par la formule (65) peut être transformé de la manière suivante. Nous avons déjà montré [n° 70] que, si l'on pose

(73) ds"^=du'^-^{u-^\^ydv'^,

ds' sera l'élément linéaire d'un plan rapporté à des lignes droites ((;=const.) et à leurs trajectoires orthogonales (M = const.). Soient X ei y les coordonnées rectangulaires d'un point de ce plan, qui seront des fonctions de u et de ^. On aura

ds'^ =-- dx^ -^ dy^,

et, par suite, on pourra ramener ds- à la forme suivante

(74) ds-i =^ \ ( dx'^ ^i- df^ ).

(') Une surface spirale peut être soumise, nous l'avons vu, à une déformation homothétique continue, dans laquelle la surface ne cesse pas de coïncider avec elle-même. Dans celle déformation progressive, une ligne géodésique vient occuper une série continue de positions dont l'ensemble constituera une famille. Les trajectoires orthogonales de cette famille de géodésiques se détermineront toujours (n°» 523 et 533) par une simple quadrature qui fera connaître une solution de l'équation