AO

relie solution particulière est précisément celle que nous obtiendrons ici par l'intégration de l'équation (68). Toutes les fois que l'on saura déterminer par une méthode quelconque les géodésiques de la surface spirale, on pourra donc aussi obtenir par une quadrature l'intégrale générale de l'équation correspondante (<i8).

V est une quantité qui doit demeurer conslanle avec p, c'csl-à-dlrc sur les droites d'une famille donnée; elle sera nécessairement déterminée par une équation de la forme

(75) j = ^cp(V)4-4.(V).

Telle est l'expression nouvelle que l'on peut donner à l'élémenr linéaire (65).

Si l'on applique maintenant le principe de la moindre action [II, p. 45o]. on reconnaîtra que la détermination des lignes géodésiques équivaut à la solution d'un problème de Mécanique dans lequel la fonction des forces serait V et l'équation des forces vives

De là résulte le théorème suivant :

La solution de tout problème de Mécanique dans le plan pour lequel il existe une fonction des forces y les lignes équipotentielles étant, des droites d'ailleurs quelconques, se ramène à l^ intégration d'une équation différentielle du premier ordre et du second degré de la forme (68).