CHAPITRE V

LE PLUS COURT CHEMIN ENTRE DEUX POINTS d'uNE SURFACE.

Comparaison d'un segment de géodésique à tous les chemins infiniment voisins réunissant ses extrémités. — Considérations géométriques; enveloppe de toutes les géodésiques passant par un point. — Énoncé d'une propriété générale qui s'applique à un grand nombre de problèmes de maximum. — Méthode analytique de M. O. Bonnet. — Détermination des géodésiques infiniment voisines d'une géodésique donnée. — Deux théorèmes de Sturm sur les équations différentielles linéaires. — Application aux lignes géodésiques. — Formule qui donné la variation de longueur d'un arc de courbe quelconque. — Conditions auxquelles doit satisfaire le plus court chemin entre deux points d'une surface limitée d'une manière quelconque. — Extension que l'on peut donner au problème du plus court chemin. — Introduction de la notion de la longueur réduite d'xxn segment de géodésique due à M. Christoffel.

622. Nous avons vu que, si Ton prend deux points suffisamment rapprochés A. et B sur une géodésique, cette ligne sera le plus court chemin entre les deux points. Mais la démonstration que nous avons donnée cesse, en général, d'être applicable quand les deux points s'éloignent l'un de l'auti'e.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de la sphère. Dans ce cas, la géodésique sera un grand cercle; si l'arc AB, d'abord plus petit qu'une demi -circonférence, augmente et finit par dépasser cette limite, il cessera d'être la ligne la plus courte entre A et B.

Nous allons considérer une surface quelconque, et nous nous proposerons le problème suivant : Étant donnés deux points A et B sur la surface, déterminer le plus court chemin entre ces deux points. II est impossible de résoudre ce problème d'une manière générale; mais nous allons faire connaître différentes propositions qui permettront de l'aborder dans chaque cas particulier

Construisons toutes les géodésiques passant en un point A de la surface et soit {g) l'une d'elles {fig^ Sg). Supposons que la géodésique infiniment voisine {g') aille rencontrer {g) en un ou plusieurs points et désignons par B' celui de ces points qui est le

LE PLUS COURT CHEMIN ENTRE DKUX POINTS d'uNE SURFACE. 87

plus rapproché de A. Je vais montrer que, si l'on prend un point B sur la ligne (^), l'arc AB sera plus petit que tout autre chemin infiniment voisin réunissant les mêmes points, tant que le point B sera situé entre A et B'.

Fig. 39.

En effet, supposons que le point B soit entre A et B'. Menons par le point A deux géodésiques AG, AC qui iront rencontrer AB pour la première fois en des points voisins de B' et considérons la région de la surface limitée par la courbe CDED'C'C formée du trait G'G réunissant les deux géodésiques et voisin de B, des deux portions GD, G'D' de géodésiques et de la courbe DED' entourant le point A. Il est clair que la région ainsi définie jouit de la propriété

Fig. 4o.

que, par un quelconque de ses points et par le point A, il passe une seule géodésique située tout entière dans la région. Alors les points de la région pourront être rapportés au système de coordonnées curvilignes formé des géodésiques passant en A et de leurs trajectoires orthogonales; la démonstration du n** 52i s'appliquera sans modification, Tare AB sera plus court que tout autre chemin tracé sur la région et, par conséquent, que tous les chemins infiniment voisins.

Nous allons voir que cette propriété ne subsiste plus quand le point B est au delà de B'. Pour cela ffous emploierons la notion suivante, qui est due à Jacobi (*).

(') Voir, par exemple, Jacobi, Vorlesungen iiber Dynamik. Sixième Leçon.

Puisque nous supposons que la ligne géodésique (g) est rencontrée par les géodésiques infiniment voisines partant de A, nous pouvons admettre que cette propriété appartient à une infinité de géodésiques passant en A, que ces géodésiques ont une enveloppe. Soit PQ cette enveloppe {Jig. 4i) et soient AB', AB, deux lignes

Fig. 4i.

géodésiques la touchant en deux points B', B'^. La ligne PQ pouvant être regardée comme la développée du point A, 'on aura, quelh; que soit la grandeur de l'arc B'B,,

arcAB'= arcABj -+- arcB',B'.

Cela résulte immédiatement de la formule relative à la différentielle d'un segment de géodésique, donnée au n° 32o [II, p. 417]-

D'autre part, l'enveloppe PQ ne sera jamais une ligne géodésique. En effet, en chacun de ses points, elle est tangente à une des lignes géodésiques partant de A, et l'on sait qu'il y a une seule ligne géodésique passant par un point et y admettant une tangente déterminée. Donc la ligne PQ ne saurait être géodésique.

D'après cela, si l'on considère le chemin formé par AB', et par l'arc B'^B', chemin qui est égal à l'arc AB', il sera possible de substituer à la seconde partie B, B' de ce chemin une route plus courte. Remarquons d'ailleurs que, si B', est infiniment voisin de B', le nouveau chemin sera infiniment voisin de AB'; donc l'arc AB' peut être remplacé par un chemin infiniment voisin et plus court.

Il en sera de même, a fortiori^ si le point B est au delà de B'; car il suffira, pour obtenir un chemin plus court que l'arc AB, de prendre l'un des chemins plus courts que AB' qui aboutissent en B' et ensuite de parcourir l'arc B'B.

623. Lu démonstration précédente repose sur des considérations