LE PLUS COURT CHEMIN ENTRE DEUX POINTS DUNE SUHFACE
de continuité et sur l'hypothèse de rexistence d'une enveloppe. Nous allons en donner une autre plus analj'tique. Mais auparavanl nous appellerons l'attention sur un fait qu'elle met en évidence, et qui est un cas particulier d'une loi qui paraît s'appliquer à tous les problèmes de maximum ou de minimum.
Reprenons l'arc AB' égal au chemin AB' B' et supposons qu'en substituant à l'arc B'B', de l'enveloppe la route la plus directe entre ces deux points, on raccourcisse la roule d'une longueur h. On pourra donc aller de A en B' par un chemin égal à AB' — h. h étant une quantité finie. Prenons en avant de B' un point p. On pourra y parvenir, soit par l'arc A^
Ap = AB'— B'p,
soit par le chemin AB' — A qui passe en B' auquel on fera succéder
le chemin B' ^
AB'-A-hB'p.
Or ce second chemin sera plus court que le premier A|i tanl
que B'P sera inférieur à la quantité finie -• Donc la ligne géodé-
sique cessera d^être le minimum absolu avant de cesser d^être minimum relativement aux chemins qui s^en écartent infiniment peu.
En résumé, il y aura autour du point A deux courbes distinctes : l'une sera le lieu du premier point où chaque ligne géodésique est rencontrée par une autre géodésique de longueur égale; l'autre sera l'enveloppe des lignes géodésiques. Si le point B se déplace sur une des géodésiques AX {fig^ 4^), le chemin AB demeurera
Fig. 42.
le minimum absolu tant que le point B n'aura pas atteint le poinl G de la première courbe pour lequel la géodésique devient égale à une autre géodésique terminée aux mêmes points. Cela est évident, car le chemin AB, qui est le plus court lorsque le point B est très voisin de A, ne peut perdre celte propriété qu'au moment
OU il d€\ient égal à un autre chemin. La ligne AB cessera d'être minimum absolu dès que le point B dépassera le point C (*), mais demeurera minimum par rapport aux chemins infiniment voisins, tant que B n'aura pas atteint le point où l'enveloppe des géodésiques est touchée pour la première fois par AX.
Dans certaines surfaces exceptionnelles, les deux courbes précédentes pourront se confondre et la loi que nous signalons disparaîtra. C'est ce qui a lieu, par exemple, dans le cas de la sphère ou pour l'ensemble des méridiens d'une surface de révolution.
La loi générale que nous venons de signaler se retrouve dans l'étude de tous les problèmes de maximum ou de minimum. Considérons, par exemple, une courbe plane PP' {fig. 43), et,suppo-
Fig. 43.
sons qu'il s'agisse de trouver le plus court chemin d'un point M pris dans le plan de cette courbe à la courbe elle-même. Ce chemin ne peut être, comme on sait, qu'une des normales menées de M à la courbe.
Considérons Fune d'elles, normale en P, et soit C le centre de courbure relatif au point P. Le Calcul infinitésimal nous apprend que, tant que M sera du même côté que le point P par rapporta C, la normale MP sera plus courte que totis les chemins infiniment voisins. Mais supposons que M vienne en C et soit C'P^ une autre
(',) En effet, soit D' une position de B un peu au delà de C. Le chemin AD' est égal au chemin AMDGD', et il est évident que l'on raccourcira ce dernier chemin si, arrivé en un point D très voisin de C, on se dirige directement vers le point D' par l'arc DD'. Il est donc impossible que AD' soit le plus court chemin entre A et D'.
LE PLUS COURT CHEMIN ENTRE DEUX POINTS d'uNE SURFACE. 9I
normale à la courbe. D'après les propriétés de la développée, nous
aurons
CP=-C'P'-4-arcGG' et, par suite,
CP>G'P'+cordeGC'.
On démontrera par suite, comme on l'a fait plus haut, que la normale MP cessera d'être le plus court chemin d'une manière absolue avant que le point M soit venu se confondre avec le point C
Comment cela peut-il s'expliquer? Quand le point M s'est déplacé de P vers C, il y a eu un instant où une autre normale menée à la courbe a eu la même longueur que MP. Ensuite, cette seconde normale devient la plus courte; mais MP, qui a perdu la propriété d'être le minimum absolu, demeure encore plus courte que tous les chemins infiniment voisins jusqu'au moment où le point M vient coïncider avec le centre de courbure. Une discussion complète du problème doit donc faire intervenir, en même temps que l'enveloppe des normales, le lieu des points d'où l'on peut mener à la courbe deux normales égales. C'est ce que montre clairement l'exemple de Tellipse {fig» 44)- Ici le lieu des points
d'où l'on peut mener deux normales égales se compose des deux axes, et toute normale PH rencontre le grand axe en H avant de devenir tangente à la développée en C. Quand le point M sera du même côté que P par rapport à H, il y aura minimum absolu; de H à C, le minimum n'aura plus lieu que relativement aux chemins
infiniment voisins. Au delà de C, la normale ne sera plus d'aucune manière un chemin minimum.
On serait conduit à une discussion analogue si l'on demandait le chemin recliligne le plus long que l'on puisse mener d'un point à l'ellipse.
624. On peut étudier la question que nous venons de résoudre en suivant une méthode toute différente qui conduit à des propositions élégantes et qui a été employée en premier lieu par M. Ossian Bonnet (<).
Soit MQM' une ligne géodésique {fig. 45)- Pour déterminer les
Fig. 45.
points P de la surface qui sont dans le voisinage de cette ligne, nous emploierons le système de coordonnées formé par les lignes géodésiques normales à MM' et par leurs trajectoires orthogonales. Alors, si u désigne la longueur de la normale géodésique abaissée de P sur MM' et si v désigne la longueur de l'arc MQ, l'élément linéaire de la surface sera donné par la formule
ds'^ = du*- -f- G^ ^P? ;
C est une fonction de w et de (^ qui doit se réduire à i pour ^^ = 0. De plus, si l'on exprime que la ligne MM' est géodésique, on
aura
dC
-— = o pour u = o.
du ^
Remarquons d'ailleurs qu'en vertu de la formule de Gauss on a, pour toutes les valeurs de u et de t^,
dui~ RR*
(') O. Bonnet, Sur quelques propriétés des lignes géodésiques {Comptes rendus, i. XL, p. i3ii; i85o). — Note sur les lignes géodésiques (Même Recueil, t. XLI, p. 32; i85i).
LE PLUS COURT CHEMIN ENTRE DEUX POINTS d'uNE SURFACE. gS
Cette formule nous permet de développer C suivant les puissances de u\ et, en tenant compte des résultats que nous venons d'indiquer, on obtient le développement suivant
^'^ ~'" 2KR' 6 dwVRRV'
où nous négligeons seulement les termes du quatrième ordre par rapport à u. Les valeurs des coefficients ^^, et ^(5177) sont prises pour w = o.
Gela posé, menons par les points M, M' une ligne MPM' s'écartant infiniment peu de la ligne géodésique et pour tous les points de laquelle u sera une fonction infiniment petite de p. L'arc de cette ligne aura pour expression
u' désignant la dérivée de u et les termes négligés contenant tous u' en facteur. Si nous supposons que la dérivée iif ne devienne jamais infinie et soit, par conséquent, de l'ordre de u ('), nou-
(^) Nous introduisons .ici, on le remarquera, une hypothèse restricLive que nous pouvions laisser de côté dans notre première méthode : par sa définition même, la fonction u est infiniment petite pour tous les chemins infiniment voisins de la ligne géodésique; mais, pour assurer la convergence de notre développement en série, nous sommes obligés maintenant d'ajouter la condition que la dérivée u' soit infiniment petite comme u et ne devienne jamais infinie. Or c'est ce qui n'aura pas lieu si l'on prend des valeurs de u telles que les suivantes :
U = <xy' , u — av o{v),
où a est une constante infiniment petite et (fiv) une fonction finie pour v= o. Des difficultés du même genre se présentent dans l'étude générale des problèmes du Calcul des variations. Si, par exemple, on cherche le maximum ou le minimum de l'intégrale
j f{x, y, y'yy")dx,
remplacer y par 7 H- 8 j et développer en série revient à admettre que la fonction ôy de X est telle que ce développement en série soit toujoui-s possible, c'està-dire que les dérivées 5y', 5y de ^y ne deviennent jamais infinies. On voit ainsi que les méthodes directes au moyen desquelles nous avons établi les propriétés de minimum relatives aux lignes géodésiques sont préférables à celles que l'on peut déduire du Calcul des variations et qu'elles nous permettent d'établir un résultat à la fois plus précis et plus étendu.
f^ LIVRE VI. ~ CHAPITRE V.
aurons, en négligeant les termes du quatrième ordre,
