V — MM

~ ^ Jm l ^^' 3RR' au \ Kr) J '^^''

Bornons-nous, dans la formule précédente/aux termes du second ordre qui, lorsqu'ils ne sont pas nuls, donnent leur signe à la variation de l'arc; on aura

Ci) ,Mu'-.L£{,---~^.)é.

Si la surface est à courbures opposées, cette variation sera toujours positive. Donc^ dans ce caSj la ligne géodésique ne cessera jamais d'être la plus courte si on la compare seulement auj chemins infiniment voisins.

Supposons, au contraire, la courbure positive. L'intégrale précédente se composera de deux parties de signes contraires. Pour déterminer son signe, nous introduirons les solutions deTéqualioii

^^^ dç-^ RR'

et nous allons, en premier lieu, indiquer la signification géométrique de ces solutions.

625. Pour cela, considérons, d'une manière générale, un système de coordonnées dont l'une des familles soit formée de lignes géodésiques. L'élément linéaire de la surface sera donné par la

formule

ds'- = du'- -^ C^ dv\

et Cdw représentera l'arc de la trajectoire orthogonale compris entre les deux lignes géodésiques (p) et (v -^ dv). En d'autres termes, ce sera la longueur de la normale infiniment petite qu'il faudra élever en chaque point de la géodésique (v) pour obtenir la géodésique (i>-^dv). Supposons v et dv constants; les diverses valeurs que prend la quantité C â?t^ en tous les points de la géodésique ((^) seront des fonctions de ti. c'est-à-dire de l'arc de cette géodésique compté à partir d'une origine fixe. Or on a, en vertu de la formule de Gauss,

I __ i â^ RR' ~ G du^ '

LE PLUS COURT CHEMIN ENTRE DEUX POINTS d'uNE SURFACE. 95

Si donc on pose C <^r =/>, on x'oit que p satisfera à l'équation différentielle

*^ diC^ RR'

ce qui conduit au théorème suivant :

Etant donnée une ligne géodésique quelconque^ si l'on désigne par u Vaj^c de cette géodésique compté à partir d'une

origine quelconque et par ^^ la courbure de la surface, qui,

pour les différents points de la ligne géodésique, sera une fonction de w, la longueur p de la normale qu'il faudra élever en chaque point de la géodésique, pour obtenir la géodésique infiniment voisine, sera une fonction de u qui deçra satisfaire à l équation linéaire (5).

Cette équation (5) coïncide, aux notations près, avec l'équation (4), et nous avons ainsi l'interprétation géométrique de la fonction />.

Au reste, on peut chercher directement le minimum de l'intégrale

qui donne l'expression approchée de l'arc de toute courbe infiniment voisine de la géodésique MM'. Si l'on recherche celle de ces courbes qui passe par deux points donnés {uq, Vq), (w,, v^) et pour laquelle l'intégrale précédente est un minimum, l'application pure et simple des règles du Calcul des variations montre immédiatement qu^elle doit être définie par l'équation différentielle (4). On retrouve ainsi, de la manière la plus simple, le résultat précédent.

626. Supposons qu'il soit possible de trouver une solution p de l'équation (4) ne s'annulant ni pour M, ni pour M', ni pour aucun point compris entre M et M'. Si nous posons

u = \p, \ devra s'annuler comme u pour les points M et M' et il ne de-

viendra jamais infini entre M etM!. En substiluant la valeur précédente àe u dans la formule (3), on aura

0M1V1'=^ r l\-.p'i-r-l\Vpp'-r-p'^V^- S^\dv

ou, en remplaçant ^jT^ par — ~,

I /-*'' 8MM'=- / {\-ip'-2-hill'pp'-^p^l''-^l''pp'')dv

= - / dO^^pp' )-¥- - jp^-V'-dv.

À éUnt nul aux deux limites et fini dans l'intervalle de M à M', la première intégrale est nulle; il reste donc

(6) iMW=lJ%^("-ycl..

On voit que la variation de MM' est essentiellement positive; par Suite, ta ligne géodésique est plus courte que tous les chemins infiniment xwisins.

Ce point étant établi, considérons la solution p de l'équation (5) qui s'annule pour *le point M {fig- 4^) et supposons que cette

Fig. 46.

solution s'annule de nouveau au point M, en conservant son signe dans toute l'étendue de MMj. Cela veut dire que les géodésiques partant de M et infiniment voisines de MM, viendront couper de nouveau cette ligne géodésique au point M, ou en un point infiniment voisin, sans la rencontrer entre M et M, . Nous allons montrer que, si l'on prend un point M' entre M et M,, le segment géodésique MM' sera plus court que tous les chemins infiniment voisins réunissant ses extrémités. En effet, la solution p de Téquation (5) qui s'annule en un point N infiniment voisin et à gauche de M ne