LE PLUS COURT CHEMIN ENTRE DEUX POINTS DUNE SURFACE

s'annulera une seconde fois qu'en un point Ni infiniment voisin de M< et, par conséquent, au delà de M^ Il y aura donc une solution p ne s'annulant en aucun point du segment MM', et cela suffit, nous venons de le montrer, à établir la proposition que nous avions en vue.

627. Jacobi avait énoncé sans démonstration (*) une proposition qui complète la précédente : Le minimum cesse certainement d'avoir lieu si le point M' est placé au delà du point Mt. Ce résultat a été démontré par M. O. Bonnet dans les Notes citées plus haut. On peut encore l'établir comme il suit.

Prenons au delà de M^ (Jig. 4?) un point M' assez voisin de M4 pour que la solution de l'équation (4) qui s'annule au point M' ne s'annule pas dans l'intervalle M^M', y compris le point M,. J'ap-

Fig. 47.

pelle q celle solution; il sera alors possible de déterminer entre M et M, un point M'' tel que la solution q ne s'annule pas dans l'intervalle M' M''. Je désigne, comme précédemmeiil, par p la solution de l'équation qui s'annule aux points M et Mj et j'achève de déterminer celte solution, qui n'est connue qu'à un facteur constant près, par la condition qu'au point M'' on ait

Cela posé, dans la variation

u>-Ay-

je remplace u par /> de M à M" et par q de M'' à M', ce qui est évidemment permis, ces valeurs successives de u définissant un

(• ) Jacobi, Sur le Calcul des variations et sur la Théorie des équations différentielles {Journal de Liouville, t. III, p. 44; x836). Voir aussi' la Note VI dans le deuxième Volume de l'édition de la Mécanique analytique due à M. Bertrand et la quatrième Leçon des Vorlesungen iiber Dynamik.

gS LIVRE VI. — CHAPITRE V.

chemin parfailement continu. La variation prendra la valeur

ou encore

Si l'on intègre et si l'on remarque que p est nul en M el ^ en iVF, on obtient pour la variation du chemin l'expression suivante

[pp'-qq'\yy,.

Comme on a, pour le point M", p=^q^ on peut écrire cette variation sous la forme

[qp' — pq']yi«.

Or, étant données deux solutions quelconques/? et q de l'équation (4). on sait que le déterminant

qp~pq'

est constant; on pourra donc calculer sa valeur pour tel point que l'op voudra, par exemple pour le point M, , où l'on a /? = o. Il reste alors

Cette quantité est négative. Supposons, en effet, pour fixer les idées, que la valeur de q soit positive entre M' et M"; d'après les hypothèses faites, il en sera de même de la valeur de /? entre M et M,. Or, un peu avant le point M4, p el p' doivent être de signe contraire; il faut donc que la valeur de p' au point M< soit négative.

La variation du chemin étant négative, la ligne géodésique a perdu, on le voit, sa propriété de minimum.

Il est aisé d'interpréter géométriquentent là méthode que nous venons de suivre et de reconnaître comment on y est conduit. S'il existe un chemin MHM' plus court que l'arc de géodésique MM', en substituant à ce chemin les deux portions de géodésiques MH et HM' on ne pourra que diminuer sa longueur, et l'on formera un nouveau chemin qui devra être encore plus court que l'arc MM'.

628. Il nous reste à établir une remarquable proposition; mais,

m: plus COl'KT CHEMIN ENTRE DEUX POINTS 1) LNE SURFACE. 90

avant de la faire connaftre, nous allons démontrer, par une mctliode nouvelle, de beaux ihéoi èmes sur les ('([nations linéaires du second ordre, Cjui sont dus à Sturni (').

('considérons l'équation

(7) fA' = "V-

et soit V 3= cp(jc) une solution de cette équation s'annulant pour une valeur ^o <Jg x. Nous désignerons par x^ la racine de V inimédiatenient supérieure à 'Xq\ x^ sera remplacé par -\-zo quand V ne s'annulera pour aucune valeur de x supérieure à x^^. Nous allons d'abord montrer (\i\'aiicune intégrale de Véquation linéaire ne .H annulera plus cV une fois entre ,r„ et .r, .

En elTet, soit a une valeur de x comprise entre Xq et .r,. La solution de Téquation qui s'annule pour cette valeur de x est donnée, comme on sait, par la formule

où C désigne une constante arbitraire. Aucun des facteurs de ce produit ne s'annule pour les valeurs de x comprises entre x^^ et Xi'j pour toutes ces valeurs de x, l'intégrale a toujours un sens déterminé, car son élément ne devient pas infini enire les limites de l'intégration. La proposition que nous venons d'énoncer est donc établie.

Si l'on donne à G la valeur 'f (a), on a la solution

que nous désignerons par 0(:r, a). EUc a sa dérivée égale à l'unité poui' j; r= a; elle est évidemment positive pour toutes les valeurs (le X comprises entre a et Xi, négati\e pour les valeurs de ^ comprises entre Xq et a. Pour x^ ou ^<, elle revêt une forme indéterminée; mais on obtient facilement sa vraie valeur, qui n'est ni nulle

(') SiuiiM, Mémoire sur les équations dijférentielles du second ordre (^Journal de Liouville, L. I, p. io6; i83(.)).

lOO LIVRE Vï. — CHAPITRE V.

ni infinie, en faisant usage de la relation

qui a lieu pour toutes les valeurs de x»