LE PLUS COURT CHEMIN ENTRE DEUX POINTS D UNE SURFACE
membre est fournie, d'après le théorème de Cauchy, par l'intégrale
^(x, a) ^{(x) da;
par suite, toutes les solutions de Téquatiori (i3) qui s'annulent ir ûc — Xn seront de la forme
où C désigne une constante arbitraire. Si donc V désigne une solution de l'équation (ii) s'annulant pour x =-. Xq^ nous aurons, en substituant (H^ — H)V' à 'ii{x)^
V'= C'^{çc)-^ f Ot.r,a)[(n'~n)V']a^a,
l'indice a indiquant que l'on remplacer par a dans la parenthèse. On peut exprimer la constante C en fonction de la dérivée de \' pour la valeur x^ de x. Si l'on prend, en effet, les dérivées des deux membres de l'équation précédente en faisant ^ = .^o, on a
) =Gcp'(^o).
V doc
Oh obtient donc définitivement la formule suivante
qui ne peut être d'aucun secours immédiat pour la détermination de V, mais qui va nous permettre d'établir la proposition que nous avons en vue.
Imaginons, en effet, que .r varie de Xq k x^, La fonction V, qui est nulle pour x=^ Xç^, commence par avoir un certain signe, celui
de sa dérivée pour ^ =:= .Tq, ( -7- ) • Supposons, par exemple, que
ce signe soit positif; la fonction le conservera évidemment de x^ à ^4, si elle ne s'annule pas; et, pour prouver qu'elle ne s'annule pas, il suffira de faire voir que, si la fonction demeure positive pour toutes les valeurs inférieures à un nombre donné x\ elle demeure positive même pour x=^x'. Or c'est ce qui résulte
I0.>. LIVRE Vf. — CHAPITRE V.
immédiatement de la formule précédente. Le premier terme du second membre sera évidemment positif pour x de même de tous les éléments de l'intégrale
e(a7',a)[(H'-H)V'J^rfa:
8(^', a) est en effet positive, puisque a est inférieur à x\\ il en est de même par hypothèse de (H' — H), et aussi de V^, qui correspond à des valeurs a de ^ toutes comprises entre x^ et x' ,
La proposition est donc établie. On en déduit comme corollaire la suivante :
Etant données les deux équations (lo), (i i)^s*il arrive que U on ait constamment ïi'^^. et qu'une solution de la première s^ annule pour x r=^ Xq et x = Xi^ la solution de la seconde qui s* annule po^tr x ^=z Xq aura au moins une seconde racine dans ^intervalle {xq^Xs),
Car, si cette solution ne s'annulait pas dans Fintervalle considéré, il en serait de même a fortiori de la solution de la première équation, en vertu même de la proposition que nous venons de démontrer (<).
630. Appliquons ces résultats au problème des lignes géodésiques et reprenons l'équation
^'^^ dv^ - RR'
Soient p une solution de cette équation et (^q, v^ deux racines consécutives de p correspondantes à deux points Mq, M,. Nous savons que l'arc Mo M sera le plus court tant que M sera entre Mq et M< mais qu'il perdra cette propriété dès que M sera au delà de M,.
Supposons qu'en tous les points de MqM< on ait
(') Les propositions établies ici ont. moins d'étendtie et de généralité que celles de Sturm ; mais elles suffisent pour l'objet que nous avons en vue et, d'ailleurs, le lecteur pourra appliquer notre méthode à la démonstration des résultats les plus généraux contenus dans l'admirable Mémoire de Sturm.
LK 1>LUS COURT CHEMIN ENTRE DEUX POINTS d'iNE SURFACE. Io3
la soliitio?) (le l'équalion
qui b'annule pour c = ç;q sera
G sin >
el la racine immédiatement supérieure à Pq sera
D'après la proposition de Sturm, celte racine doit être supérieure à ^j. Nous obtenons ainsi ce beau théorème de M. O. Bonnet, démontré dans les Notes citées plus haut :
Si y le long cV une ligne géodésiquej le produit des rayons de courbure est positif et inférieur àa^^ la ligne ne peut être le plus court chemin dans un intervalle supérieur àiza{^).
On peut ajouter la proposition suivante, qui complète celle de M. Bonnet.
Supposons qu'en tous les points de l'arc MoM, on ait
Alors, si l'on considère l'équation
l'intervalle entre deux racines consécutives sera nb. Comme il ne saurait être inférieur, d'après la proposition de Sturm, à l'intervalle entre deux racines consécutives de la première, on est conduit au résultat suivant :
(') M. Bonnet a déduit de sa proposition les conséquences suivantes :
Si, dans une surf ace fermée coni>exe, le produit des rayons de courbure est inférieur à a', la longueur de la droite qui joint deux points quelconques de la surface est certainement inférieure à Tza.
Si, dans une surface convexe, le produit des rayons de courbure est inférieur à une quantité fixe a*, la surface ne peut avoir de nappes infinies.
Si, en tous les points de la ligne géodésique, le produit des rayons de courbure est supérieur à 6^, la géodésique est plus courte que tous les chemins infiniment voisins dans un intervalle au moins égal à nb.
Considérons l'ellipsoïde, par exemple. La courbure en chaque point est donnée par la formule
